人教版八年级上册数学等腰三角形知识点和对应练习.docx
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人教版八年级上册数学等腰三角形知识点和对应练习
等腰三角形
一、知识梳理:
专题一:
等腰三角形概念及性质;等腰三角形的判定.
二、考点分类
考点一:
等腰三角形的概念
有两边相等的三角形是等腰三角形。
【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长
【例1】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm,那么它的周长是( )
A.9cmB.12cmC.15cm或12cmD.15cm
解析:
当腰为3cm时,3+3=6,不能构成三角形,因此这种情况不成立.当腰为6cm时,6-3<6<6+3,能构成三角形;此时等腰三角形的周长为6+6+3=15(cm).故选D.
方法总结:
在解决等腰三角形边长的问题时,如果不明确底和腰时,要进行分类讨论,同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.
考点二:
等腰三角形的性质
1、等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
(2)等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、底边上的高互相重合(通常称作“三线合一”).
2、解题方法:
设辅助未知数法与拼凑法.
3、重要的数学思想方法:
方程思想、整体思想和转化思想.
【类型一】利用“等边对等角”求角度
【例2】等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的大小是( )
A.65°或50°B.80°或40°C.65°或80°D.50°或80°
解析:
当50°的角是底角时,三角形的底角就是50°;当50°的角是顶角时,两底角相等,根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
方法总结:
等腰三角形的两个底角相等,已知一个内角,则这个角可能是底角也可能是顶角,要分两种情况讨论.
【类型二】利用方程思想求等腰三角形角的度数
【例3】如图①,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
解析:
设∠A=x,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数.
解:
设∠A=x.∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x.∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x.∵AB=AC,∴∠ABC=∠BCD=2x.在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴x+2x+2x=180°,∴x=36°,∴∠A=36°,∠ABC=∠ACB=72°.
方法总结:
利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系,当这种等量关系或和差关系较多时,可考虑列方程解答,设未知数时,一般设较小的角的度数为x.
①②
【类型三】利用“等边对等角”的性质进行证明
【例4】如图②,已知△ABC为等腰三角形,BD、CE为底角的平分线,且∠DBC=∠F,求证:
EC∥DF.
解析:
先由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB,根据角平分线定义得到∠DBC=
∠ABC,∠ECB=
∠ACB,那么∠DBC=∠ECB,再由∠DBC=∠F,等量代换得到∠ECB=∠F,于是根据平行线的判定得出EC∥DF.
证明:
∵△ABC为等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线,∴∠DBC=
∠ABC,∠ECB=
∠ACB,∴∠DBC=∠ECB.∵∠DBC=∠F,∴∠ECB=∠F,∴EC∥DF.
方法总结:
证明线段的平行关系,主要是通过证明角相等或互补.
【类型四】利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明
【例5】如图①,点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC.
(1)若AD=AE,求证:
BD=CE;
(2)若BD=CE,F为DE的中点,如图②,求证:
AF⊥BC.
解析:
(1)过A作AG⊥BC于G,根据等腰三角形的性质得出BG=CG,DG=EG即可证明;
(2)先证BF=CF,再根据等腰三角形的性质证明.
证明:
(1)如图①,过A作AG⊥BC于G.∵AB=AC,AD=AE,∴BG=CG,DG=EG,∴BG-DG=CG-EG,∴BD=CE;
(2)∵BD=CE,F为DE的中点,∴BD+DF=CE+EF,∴BF=CF.∵AB=AC,∴AF⊥BC.
方法总结:
在等腰三角形有关计算或证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.
【类型五】与等腰三角形的性质有关的探究性问题
【例6】如图①,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE是∠ABC的平分线,DE⊥BC,垂足为D.
(1)请你写出图中所有的等腰三角形;
(2)请你判断AD与BE垂直吗?
并说明理由.
(3)如果BC=10,求AB+AE的长.
解析:
(1)由△ABC是等腰直角三角形,BE为角平分线,可证得△ABE≌△DBE,即AB=BD,AE=DE,所以△ABD和△ADE均为等腰三角形;由∠C=45°,ED⊥DC,可知△EDC也符合题意;
(2)BE是∠ABC的平分线,DE⊥BC,根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称,可得出BE⊥AD;(3)根据
(2),可知△ABE关于BE与△DBE对称,且△DEC为等腰直角三角形,可推出AB+AE=BD+DC=BC=10.
解:
(1)△ABC,△ABD,△ADE,△EDC.
(2)AD与BE垂直.证明:
由BE为∠ABC的平分线,知∠ABE=∠DBE,∠BAE=∠BDE=90°,BE=BE,∴△ABE≌△DBE,∴△ABE沿BE折叠,一定与△DBE重合,∴A、D是对称点,∴AD⊥BE.
(3)∵BE是∠ABC的平分线,DE⊥BC,EA⊥AB,∴AE=DE.在Rt△ABE和Rt△DBE中,∵
∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),∴AB=BD.又∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠C=45°.又∵ED⊥BC,∴△DCE为等腰直角三角形,∴DE=DC,∴AB+AE=BD+DC=BC=10.
①②
考点三:
等腰三角形的判定方法
(1)根据定义判定;
(2)两个角相等的三角形是等腰三角形.
【类型一】确定等腰三角形的个数
【例7】如图②,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
解析:
共有5个.
(1)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;
(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,∴∠EBC=
∠ABC,∠ECB=
∠BCD.∵△ABC是等腰三角形,∴∠EBC=∠ECB,∴△BCE是等腰三角形;(3)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=
(180°-36°)=72°.又∵BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABD=
∠ABC=36°=∠A,∴△ABD是等腰三角形;同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形.故选A.
方法总结:
确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角,然后确定等腰三角形,再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数.
【类型二】在坐标系中确定三角形的个数
【例8】已知平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,3),在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P共有( )
A.3个B.4个C.5个D.6
解析:
因为△AOP为等腰三角形,所以可分三类讨论:
(1)AO=AP(有一个).此时只要以A为圆心AO长为半径画圆,可知圆与y轴交于O点和另一个点,另一个点就是点P;
(2)AO=OP(有两个).此时只要以O为圆心AO长为半径画圆,可知圆与y轴交于两个点,这两个点就是P的两种选择;(3)AP=OP(一个).作AO的中垂线与y轴有一个交点,该交点就是点P的最后一种选择.综上所述,共有4个.故选B.
方法总结:
解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏.
【类型三】判定一个三角形是等腰三角形
【例9】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AE是∠BAC的角平分线,AE与CD交于点F,求证:
△CEF是等腰三角形.
解析:
根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE=∠ACD,然后根据三角形外角的性质求得∠CEF=∠CFE,根据等角对等边求得CE=CF,从而求得△CEF是等腰三角形.
证明:
∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°.∵CD是AB边上的高,∴∠ACD+∠BAC=90°,∴∠B=∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线,∴∠BAE=∠EAC,∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC,即∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,∴△CEF是等腰三角形.
方法总结:
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据,是先有角相等再有边相等,只限于在同一个三角形中,若在两个不同的三角形中,此结论不一定成立.
【类型四】等腰三角形性质和判定的综合运用
【例10】如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:
△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=50°时,求∠DEF的度数.
解析:
(1)根据等边对等角可得∠B=∠C,利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=EF,再根据等腰三角形的定义证明即可;
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE=∠CEF,然后求出∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE,再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B=∠DEF.
(1)证明:
∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△BDE和△CEF中,∵
∴△BDE≌△CEF(SAS),∴DE=EF,∴△DEF是等腰三角形;
(2)解:
∵△BDE≌△CEF,∴∠BDE=∠CEF,∴∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE.∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF,∴∠B=∠DEF.∵∠A=50°,AB=AC,∴∠B=
×(180°-50°)=65°,∴∠DEF=65°.
方法总结:
等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角,判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.
经典例题
考点一:
等腰三角形的概念
【例1】等腰三角形的两边长分别为4和9,则这个三角形的周长为
考点二:
等腰三角形的性质
【例3】已知等腰△ABC中,AB=AC,D是BC边上一点,连接AD,若△ACD和△ABD都是等腰三角形,求∠C的度数。
考点三:
等腰三角形的判定
1、如图①所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )
①②
2、在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,2),点Q在y轴上,△PQO是等腰三角形,则满足条件的点Q共有( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
3、如图②,坐标平面内一点A(2,﹣1),O为原点,P是x轴上的一个动点,如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
拓展提升
1、如图①,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(0,
),点C在坐标平面内.若以A,B,C为顶点构成的三角形是等腰三角形,且底角为30°,则满足条件的点C有 个.
①②③④⑤
2、如图②,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=44°,CD⊥AB于D,则∠DCB等于( )
A.44°B.68°C.46°D.22°
3、如图③,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有( )
A.5个B.6个C.7个D.8个
4、如图④所示,矩形ABCD中,AB=4,BC=
,点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点(点E与点A不重合),点P是点A关于BE的对称点.使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
5、如图⑤,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有( )
A.4个B.5个C.6个D.7个
6、已知等腰△ABC的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围是 .
7、等腰三角形的两边长分别为4和9,则这个三角形的周长为 .
8、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发,能将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的底角等于 度.
等边三角形
一、知识梳理:
专题一:
等边三角形的性质;专题二:
等边三角形的判定;专题三:
含30°角的直角三角形的性质.
二、考点分类
考点一:
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于
【类型一】利用等边三角形的性质求角度
【例1】如图,△ABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.
解析:
因为△ABC三个内角为60°,∠ABE=40°,求出∠EBC的度数,因为BE=DE,所以得到∠EBC=∠D,求出∠D的度数,利用外角性质即可求出∠CED的度数.
解:
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠ABE=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°.∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°,∴∠CED=∠ACB-∠D=40°.
方法总结:
等边三角形是特殊的三角形,它的三个内角都是60°,这个性质常常应用在求三角形角度的问题上,所以必须熟练掌握.
【类型二】利用等边三角形的性质证明线段相等
【例2】如图①:
已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M,求证:
BM=EM.
解析:
要证BM=EM,根据等腰三角形的性质可知,证明△BDE为等腰三角形即可.
证明:
连接BD,∵在等边△ABC中,D是AC的中点,∴∠DBC=
∠ABC=
×60°=30°,∠ACB=60°.∵CE=CD,∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠E=30°,∴∠DBC=∠E=30°,∴BD=ED,△BDE为等腰三角形.又∵DM⊥BC,∴BM=EM.
方法总结:
本题综合考查了等腰和等边三角形的性质,其中“三线合一”的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法.
【类型三】等边三角形的性质与全等三角形的综合运用
【例3】如图△ABC为正三角形,点M是BC边上任意一点,点N是CA边上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,∠BQM等于多少度?
解析:
先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN,再根据全等三角形的性质求得∠BQM=∠ABC=60°.
解:
∵△ABC为正三角形,∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC.在△AMB和△BNC中,∵
∴△AMB≌△BNC(SAS),∴∠BAM=∠CBN,∴∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°.
方法总结:
等边三角形与全等三角形的综合运用,一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等.
考点二:
等边三角形的判定
1、三个角都相等的三角形是等边三角形;
2、有一个角是
的等腰三角形是等边三角形;
3、三边都相等的三角形是等边三角形.
【类型一】等边三角形的判定
【例4】如图等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?
试说明你的结论.
解析:
先证△ABP≌△ACQ得AP=AQ,再证∠PAQ=60°,从而得出△APQ是等边三角形.
解:
△APQ为等边三角形.证明:
∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC.在△ABP与△ACQ中,∵
∴△ABP≌△ACQ(SAS),∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,∴△APQ是等边三角形.
方法总结:
判定一个三角形是等边三角形有两种方法:
一是证明三角形三个内角相等;二是先证明三角形是等腰三角形,再证明有一个内角等于60°.
【类型二】等边三角形的性质和判定的综合运用
【例5】图①、图②中,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形.
(1)如图①,线段AN与线段BM是否相等?
请说明理由;
(2)如图②,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究△CEF的形状,并证明你的结论.
解析:
(1)由等边三角形的性质可以得出△ACN,△MCB两边及其夹角分别对应相等,两个三角形全等,得出线段AN与线段BM相等.
(2)先求∠MCN=60°,通过证明△ACE≌△MCF得出CE=CF,根据等边三角形的判定得出△CEF的形状.
解:
(1)AN=BM.理由:
∵△ACM与△CBN都是等边三角形,∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°.∴∠MCN=60°,∠ACN=∠MCB.在△ACN和△MCB中,∵
∴△ACN≌△MCB(SAS).∴AN=BM.
(2)△CEF是等边三角形.证明:
∵△ACN≌△MCB,∴∠CAE=∠CMB.在△ACE和△MCF中,∵
∴△ACE≌△MCF(ASA),∴CE=CF.∴△CEF是等边三角形.
方法总结:
等边三角形是一个非常特殊的几何图形,它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础,它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形,同样具备三线合一的性质,解题时要善于挖掘图形中的隐含条件.
考点三:
含30°角的直角三角形的性质
性质:
在直角三角形中,如果一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【类型一】利用含30°角的直角三角形的性质求线段长
【例6】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是( )
A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm
解析:
在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的高,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=∠B=30°.在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm,在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
方法总结:
运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形.
【类型二】与角平分线或垂直平分线性质的综合运用
【例7】如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于( )
A.3B.2C.1.5D.1
解析:
如图,过点P作PE⊥OB于E,∵PC∥OA,∴∠AOP=∠CPO,∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°.又∵PC=3,∴PE=
PC=
×3=1.5.∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,∴PD=PE=1.5.故选C.
方法总结:
含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时,关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形.
【类型三】利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系
【例8】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?
请说明理由.
解析:
由条件先证△AED≌△BED,得出∠BAD=∠CAD=∠B,求得∠B=30°,即可得到CD=
DB.
解:
CD=
DB.理由如下:
∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90°.∵DE是∠ADB的平分线,∴∠ADE=∠BDE.又∵DE=DE,∴△AED≌△BED(ASA),∴AD=BD,∠DAE=∠B.∵∠BAD=∠CAD=
∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=∠B.∵∠BAD+∠CAD+∠B=90°,∴∠B=∠BAD=∠CAD=30°.在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,∴CD=
AD=
BD,即CD=
DB.
方法总结:
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.
【类型四】利用含30°角的直角三角形解决实际问题
【例9】某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知AC=50m,AB=40m,∠BAC=150°,这种草皮每平方米的售价是a元,求购买这种草皮至少需要多少元?
解析:
作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中,利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD,即△ABC的高.运用三角形面积公式计算面积求解.
解:
如图所示,作BD⊥CA于D点.∵∠BAC=150°,∴∠DAB=30°.∵AB=40m,∴BD=
AB=20m,∴S△ABC=
×50×20=500(m2).已知这种草皮每平方米a元,所以一共需要500a元.
方法总结:
解此题的关键在于作出CA边上的高,根据相关的性质推出高BD的长度,正确的计算出△ABC的面积.
经典例题
考点一:
等边三角形性质
【例1】已知:
如图,B、C、E三点共线,
,
都是等边三角形,连结AE、BD分别交CD、AC于N、M,连接MN.求证:
AE=BD,MN∥BE.
考点二:
含30°的直角三角形
【例3】如图所示,∠A=60°,CE⊥AB于E,BD⊥AC于D,BD与CE相交于点H,HD=1,HE=2,试求BD和CE的长.
拓展提升
1、如图①,△ABD,△ACE都是正三角形,BE和CD交于O点,则∠BOC= 度.
①②③④
2、如图②,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E,已知DE=2.则AC的长为_________.
3、已知:
如图③,△ABC中,AB=AC,∠ABC=60°,AD=CE,求∠BPD的度数.
4、如图④所示,∠A=60°,CE⊥AB于E,BD⊥AC于D,BD与CE相交于点H,HD=1,HE=2,试求BD和CE的长.
5、如图所示,在等边△ABC中,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,
求证:
BP=2PQ.
6、如图所示,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.试探究线段CN、BM、MN之间的关系,并加以证明.
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