高等数学作业.docx

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高等数学作业

高等数学作业

cn

吉林大学公共数学教学与研究中心

2013年3月

第一次作业

学院班级姓名学号

、单项选择题

1.平面yz1（）.

（A）平行于yoz平面；

（C）平行于xoz面；

22

2.平面z1与曲面4xy

（A）不相交；

（C）交线为一个椭圆；

（B）平行于x轴；

（D）平行于xoy平面.

z21（）.

（B）交于一点；

（D）交线为一个圆.

22

3.方程—匚z所表示的曲面为（）.

24

（A）椭球面；（B）柱面;

（C）双曲抛物面；（D）旋转抛物面.

4•过点（1,2,4）且与平面2x3yz

4垂直的直线方程是（

）.

（A）x1

y

2z

4.

；

2

3

1

（C）x1

y

2z

4.

；

1

2

4

5.设有直线

L1:

x1

y5

1

2

（）.

（A）

（B）

；

6

4

x

3y

2z1

6.设有直线L:

2x

y

10z3

（A）平行于；（B）在

（D）x

1

y2

!

z

4

2

3

1

z8.

x

y

6

1与L2的夹角为

—8与1

L2:

则L

1

2y

z

3，

（C）

；

（D）

3

2

0…K

及平面

0

:

4x

2y

z2

0,

则直线L（）.

:

;（C）

垂直于

；

（D）与斜交.

（B）2x3yz8；

、填空题

1.设a,b均为非零向量，且|ab||ab|，则a与b的夹角为

2.与直线x2y3z1平行的单位向量为.

xyz0

4.若|a|3,|b|.2，且

3

a,b间夹角为，则|ab|,|ab|

5.xoz平面上的曲线为

x1绕z轴旋转一周所形成的旋转曲面方程

6.曲线Z6x2

2yz3

2

y在xoy面上的投影曲线方程为

0

b,c两两相互垂直，且|a|1,

|b|2,

|c|1,则有

|abc|

二、计算题

x2y1z2

1.求过直线L1：

-

102

，且平行于直线L2：

X

—的平面的

2

方程.

4

2•求点（2到直线宁弓+的距离.

3.设空间三点A（1,1,2）,B（4,5,4）,C（2,2,2），求三角形ABC的面积.

x2yz10

4．设有直线L:

，平面:

xy0

x2yz10

求直线L与平面的夹角；如果L与相交，求交点．

222

5．求过平面2xy0和平面4x2y3z6的交线，并切于球面x2y2z24的平面方程．

第二次作业

学院班级姓名学号

、单项选择题

）.

y2

..3xylim2x02

y0x

2.

二元函数f（x,y）

（B）0；

（C）6；

5

（D）不存在.

xy

~22

xy

0,

（x,y）

（x,y）

（0,0）在（0,0）处（）.

（0,0）

（A）连续，偏导数存在；

（C）不连续，偏导数存在；设f（x,y）y（x1）2x（y

（B）

（D）

2）2，在下列求

（D）fx（1,2）

1计嗨

x1

f（1,2）

1

lim1

2

2（x1）

x1

连续，偏导数不存在；

不连续，偏导数不存在.

fx（1,2）的方法中，不正确的一种是

（）.

（A）因f（x,2）2（x1）2,fx（x,2）4（x1），故fx（1,2）4（x1）|x10；

（B）因f（1,2）0,故fx（1,2）00；

（C）因fx（x,y）2y（x1）（y2）2，故fx（1,2）fx（x,y）x10；

y2

4.若f（x,y）的点（x0,y0）处的两个偏导数都存在，则（）.

（A）f（x,y）在点（人，y。

）的某个邻域内有界；

（B）f（x,y）在点（⑴）的某个邻域内连续；

（C）f（x,y°）在点x处连续，f（x°,y）在点y。

处连续;

（D）f（x,y）在点（花，丫0）处连续.

z—

5.设zf（x,y）,牙2，且f（x,O）hfy（x,0）x，则f（x,y）为（）.

y

（A）1xyx2;

（B）1xyy2;

（C）1x2yy2;（D）1x2yy2.

、填空题

1.zin（1：

2yy2）的定义域为

lim

x0

yo

11xy

xy

fy（3,4）

2

xxy22a

f（x,y）

22，xy

xy

0,

的连续性

22

0,xy

0

2•讨论函数

3.设z（1xy）y，求dz•

4.求u

yzet2dt的偏导数.xz

四、应用题

某种数码相机的销售量Qa除与它自身的价格Pa有关外，还与彩色喷墨打印机的价

2502

格Pb有关，具体为Qa12010PbPb,求Pa50，Pb50时

（1）Qa对Pa的弹性；

（2）Qa对Pb的交叉弹性.

微.

五、证明题

2

1.设rx2y2z2，验证：

当r0时，有一2

x

2.证明函数f（x,y）•|xy|在点（0,0）处：

（1）连续；

（2）偏导数存在；（3）不可

学院

班级

、单项选择题

1•设z

y

2―

f（xy）

（A）

2xy

22

f（x

（C）

第三次作业

姓名

学号

，其中f（u）为可导函数，则—=（）.

（B）

2xyf（x2y2）；

f（xy）

yf（x2y2）.

r2,2

f（x

（D）

f（x2y2）yf（x2f2（x2y2）

y2）

2•uf（r）,

rx2

z2，且函数

f（r）具有二阶连续导数，

2

u

-2

x

2

u

-r

y

2

u

—（）.

z

（A）

f（r）

丄f（r）r

1

-f（r）；r

If（r）;

r

（B）f

（r）7f（r）；

12

（D）-2f（r）-f（r）.

r

3.设方程F（x

y,

x）

0确定z是x，

y的函数,

F是可微函数，则

）•

（A）

Fi；

F3

（B）

F；

F3

Fz；

Fz

4.设x

x（y,z）,y

y（z,x）,zz（x,y）都由方程

F（x,y,z）

0所确定的隐函数，则下

列等式中，不正确的一个是

）•

5.设u（x,y）在平面有界闭区域

D上是C⑵类函数，

2u2

——u0,则u（x,y）的（）.

xy

（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；

（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；

（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；

（D）最小值点在D的内部，最得到值点在D的边界上.

二、填空题

2i

1.设uexsin°，则——U在2,—处的值为.

yxy

2

zf（x,f（x,y））在点

（1,1）处的全微分

.已知f（1,2）4,df（1,2）16dx4dy,df（—4）64dx8dy，则

（1,2）处对x的偏导数为.

3.由方程xyyzzxez所确定的隐函数zz（x,y）在点

2.设z（3x2y）3x2y，求dz.

2

3.设Inx2y2arctany，求

xdx

4.设z

v2ut2

2uedt，

sinx,v

x

e，求

dz

dx

6．求函数f（x,y）x2y212x16y在区域D{（x,y）|x2y225}上的最大值和最小值．

四、应用题

某企业在雇用x名技术工人，y名非技术工人时，产品的产量Q8x212xy3y2，若企业只能雇用230人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术工人才能使产量Q最大？

学院

班级

、单项选择题

第四次作业

姓名

学号

1.设f（x,y）连续，且f（X,y）

xy

f（x,y）dxdy，其中D是由y0,yx2,

D

x1所围区域，贝Uf（x,y）等于（

）.

（A）xy;

（B）2xy

（D）xy1.

（C）xy-；

8

1）和（-1,-1）为顶点的三角形区域，D1是D的第

（xycosxsiny）dxdy等于（

D

2.设D是xOy平面上以（1,1）,象限部分，贝U

（-1,

（A）2cosxsinydxdy;

D1

（C）;4（xycosxsiny）dxdy

D1

3.设平面区域D:

1

x2y2dxdy等于（

2

（A）21rf（r）dr；

22

（C）21rf（r）dr;

4.设有空间区域z0，则（

（A）

）.xdV

zdV

二、填空题

积分

2

dxe

x

4,

交换积分次序:

（B）

（D）

xdV

2

zdV;

2

y2dy

1

0dx

设区域D为|x|

设区域D为x2

|y|

直角坐标中三次积分

2xydxdy;

D1

0.

f（x,y）是在区域D

（B）2

（D）2

R2,z0及

2

0rf（r）dr

22

0rf（r）dr

22

2:

xy

上的连续函数，则

1

0rf（r）dr；

12

0rf（r）dr.

22

zR,x0,y0,

（B）

（D）

、x

xf（x,y）dy

1，则（|x|

D

2

x

2da

1讷x

R2，则

4

1dx

ydV4

2

xyzdV4

-X

x2f（x,y）dy

Iyl）dxdy

|1dx.E

2

y

2dxdyb

22

xy

0

ydV；

xyzdV.

2

f（x,y,z）dz在柱面坐标中先z再r后

顺序的三次积分是

D是由直线yX，y0，X2所围成的三角形区

三、计算题

1.计算|cos（xy）|dxdy，其中

D

域.

3.计算（x2y2）dxdy，其中D{（x,y）|0x2,.2xx2y.4x2}.

D

4.计算

xy2z3dV，其中是由曲面zxy与平面yx,x1和z0所围成的闭或

区域.

5•计算I

xyzdV，其中{（x,y,z）|x2

1,x0,y0,z0}.

6•设F（t）

x2y2z2dV，其中

z2t2,f（t）在t0可导，且

f（0）0,求lim

t0

F（t）

T

四、证明题设函数f（x）在闭区间［a,b］上连续且恒大于零，证明

f（x）dx

bdx

af（x）

（ba）2•

阶段测试题

学院班级姓名学号

一、单项选择题（每小题3分，满分21分）

1.a（3,5,2）,b（2,1,4）,ab与z轴垂直，则，满足条件（）.

（A）；（B）；（C）2;（D）2.

2.二元函数zf（x,y）在（xo,yo）连续，且fx（xo,yo）、fy（Xo,yo）存在是zf（x,y）

在（xo,yo）可微的（）条件.

（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）非充分非必要

3.已知fx（x,y）、fy（x,y）在

（0,

0）

连续，则zf（x,y）在（0,0）

处，

（x）

f（x,0）在x

0处（）.

（A）均连续

（B）

均不

一定连续

（C）均不连续

（D）

（x）一疋连续，f（x,y）不一疋连续

4.

设区域D由曲线yx与yx

围成

，则

xyd的值为（）.

D

1

（A）丄

1

；（B）丄

;

（C）丄；（D）丄.

12

12

2424

5.

设D由y

1x2和y0围成

，则

（e

D

ysinxy）dxdy（）.

（A）0

（B）1

（C）

2/3（D）4/3

6

.将极坐标系下的二次积分1

d

0

2sin

0

rf（rcos,rsin）dr化为直角坐标系下的

二次积分，则I=（

）.

1

11y2

2-・『2xx2

（A）1dy

11y2f（x,y）dx;

（B）

dx2f（x,y）dy;

02xx2

1

2yy2

111x2

（C）1dy

2yy2（皿；

（D）

dx1--2f（x,y）dy.

111x

7.

设由z

22222

xy,xyz

2

（z

0）围成，则三重积分（x2y2

z2）dV

化为柱面坐标系下三次积分为（）.

2121.T7222

（C）drdr22dz（D）drdr2（rz）dz

00r2'，00r2''

二、填空题（每小题3分，满分18分）

1.已知a,b,c都是单位向量，且满足abc0,则abbeca.

2x3yz50一，，，一—、“

2.通过点（1,2,1）且与直线门c,门垂直的平面万程.

3xy2z40

3.已知f（x,y）e3xln2y,贝Ufx（0,丄）,fvv（0,1）.

2

11xat

（2）

4.u-[（xat）（xat）]f（t）dt，其中f,C（），贝U

axat

22

u2u

a_

tx

5.设为由z.x~y2,z2围成的空间区域，a为常数，则adV.

HrxRjR2x2、

6.设I02dx0f（x,y）dy2Rdx0f（x,y）dy，改变积分次序I

00R0

2

化为极坐标下二次积分为I.

三、计算题（每小题8分，满分40分）

1.zf（2x

y,ysinx）

xg（exlny），其中

f具有二阶连续偏导数,

g具有二阶导

xy

2．求两个底圆半径相等的直交圆柱面积．

x2y2R2与x2z2R2所围成的立体体

3．计算Ix[1xf（x2y2）]dxdy，其中f（u）是连续函数，D是由曲线yx3，

D

y1及x1所围成的平面区域．

4.计算C°Sydxdy，其中D由y•x,yx围成.

dy

5.设f（x）连续，F（t）[z2f（x2y2）]dV，其中：

0zh,x2y2t2，求

dF

dt

tlinm

F（t）

四、应用题（每小题7分，满分14分）

222

1•求内接于椭球面二爲匕1，且棱平行于对称轴的体积最大的长方体.abc

2.某工厂生产A、B两种型号的产品，A型产品的售价为2000元/件。

B型产品的售价为900元/件，生产x件A型产品和y件B型产品的总成本为4000200x300y3x2xy3y3元，求A、B两种产品各生产多少时，利润最大？

四、证明题（满分7分）

设f（u,v）具有二阶

续偏导数，且满足一2

u

■41,又g（x,y）

v

122

fxy，2（xy），求证:

2

g

2

x

2

g22

2Xy.y

学院

班级

、单项选择题

第五次作业

姓名

设0an丄（n1,2,），则下列级数中肯定收敛的是（n''

（A）an;

n1

若级数

（A）

n

（C）

n

设级数

学号

）.

（Un

1

（B）

n

（1）nan

1

（C）

（D）

n2

1）an.

n,Vn都发散,

n1

Vn）发散;

（B）

u：

v：

发散;

1

（|Un

1

||Vn|）发散;

（D）

（u：

V；）发散.

1

收敛，则必收敛的级数为

（）.

（A）

（1）也;

n1n

（B）

（C）

（u2n1u2n）;

（D）

n1

an|an|

an|an|

n

n

n

2

2.Un;

1

（UnUn1）.

1

n1

2n

则下列命题正确的是（

）.

an条件收敛，则

n1

Pn与

qn

n1

都收敛;

（B）

（C）

（D）

an绝对收敛，则

n1

an条件收敛，则

n1

an绝对收敛，则

n1

设a为常数，则级数

sin

2

n1n

Pn与

Pn与

Pn与

（A）绝对收敛；（B）条件收敛;

qn

n1

qn

n1

qn

n1

都收敛;

的敛散性都不定;

的敛散性都不定.

）.

（C）发散；（D）收敛性取决于a的值.

6.若级数（U2n1U2n）收敛，则（）.

n1

（A）Un必收敛;

n1

（B）Un可能收敛，可能发散;

n1

（C）limUn0，但不收敛;n

二、填空题

（D）Un发散.

n1

1.级数an绝对收敛是收敛的

n1

条件.

2.若级数

an收敛，级

攵数

bn发散,

则级数（anbn）

n1

n1

n1

3.已知级数

ana,

则级数

（an

an1）的和是.

n1

n1

4.已知级数

（1）nan

2,

a2n1

5，则级数an.

n1

n

1

n1

5.级数

1）n当

2，当

时收敛,

当时绝对收敛，当

n1n

时发

散.

（1）n

6.级数丨的和

n04n

三、判断下列正项级数的敛散性.

1

n112n

nsin-

n

（0常数）.

n

3.-

nin（n1）

2nn!

n

2n

（a0）.

四、判断下列级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?

.n

sin-

cosn

ni』2n1

五、证明题

:

a-

1•已知正项级数an和bn均收敛，证明级数■，anbn与-均收敛.

n1n1n1n1n

2.已知limnan0且级数n（an

nn1

an1）收敛，证明：

级数an也收敛.

3•设正项数列｛a.｝单调减少，且

（1）nan发散，试问级数

n1

1

an1

n

是否收

敛？

并说明理由.

学院

班级

第六次作业

姓名

学号

、单项选择题

）.

已知幕级数anxn在x4处条件收敛，则该幕级数的收敛半径（

n0

（A）R

（B）R4;

（C）R4;

（D）

幕级数

n

匚・x2n1的收敛半径（

14n

）.

（A）4；

（C）2;

（D）

将f（x）

1

-展成

x

（x3）的幕级数,

该幕级数的收敛区间为

）.

（A）（0,6）;

（B）

（6,0）;

（C）（1,1）;

（D）

（3,3）.

若级数an（x

n0

\2n

a）

的收敛半径

R3，收敛区间为（

1,5），则常数

（）.

（A）2;

（B）

（C）3;

（D）5.

已知函数

n

an（x1）n在x2处收敛，则在x0处，该级数为（

0

）.

（A）发散;

（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）收敛性不定.

二、填空题

幕级数

n

2x

3

n

1

-的收敛域为

幕级数

n

2n1

-的和函数为S（x）12n1

ex展开成

x3的幕级数为

2n

—（x

n1n

1）n的收敛半径为

，收敛域

设幕级数

anXn的收敛区间为（3,3），则幕级数na.（x1）n1的收敛区间

n0

二、计算题

1•求幕级数

.、n1、、nx2n的收敛半径与收敛域:

n1

2•求幕级数

（1）n1（X4）的收敛域.

n

i

4•求数项级数

nin2n

的和.

5.将f（x）arctanx展成麦克劳林级数.

6.将f（x）

1

2

x3x

展开成（x4）的幕级数.

2

学院

班级

、单项选择题

1.右y1,y2是y

解，，应满足关系式（

（A）

第七次作业

p（x）yq（x）

）.

（B）

F列方程中是齐次方程的是（

2

（A）y—；

xy

（B）

F列方程中可分离变量的是（

（A）sin（xy）dxeydy；

（C）（1xy）dxy2dy0；

给定一阶微分方程

矽2x,dx

（A）

通解为ex2；

（B）

通过点（1,4）

的特解为

1

满足oydx2的解为y

（D）

姓名

学号

（q（x）0）的两个解，要使％

）.

exy

（B）

xsinydx

（D）sin（x

F列结果正确的是（

V2也是该方程的

（D）

（D）

x2

与直线y2x3相切的解为

二、填空题

2

微分方程x（y）

常微分方程xy

常微分方程（3x2

设曲线上任一点

y2dy

y）dx

）.

exydy

15；

x21

2