中考试题图形的相似.docx
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中考试题图形的相似
图形的相似
一、基本知识及需要说明的问题:
(一)比例的性质
1.比例的基本性质:
此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法.
2.合、分比性质:
注意:
此性质是分子加(减)分母比分母,不变的是分母.
如:
已知
证明:
∵
∴
∴
∴
3.等比性质:
若
则
.
4.比例中项:
若
的比例中项.
(二)平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,
ADl1
BEl2
CFl3
可得
等.
2.推论:
平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A
DE
BC
由DE∥BC可得:
.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
3.推论的逆定理:
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.
4.定理:
平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.A
DE
BC
说明:
①此定理和平行线分线段成比例定理的异同
相同点:
都是平行线
不同点:
平行线分线段成比例定理的推论是两条平行线截其它两边所成的对应线段成比例,即AD与AE,DB与EC,AB与AC这六条线段,而此定理是三角形的三边对应成比例.即
,只要有图形中的
它一定是△ADE的三边与△ABC的三边对应成比例.
②注意:
条件(平行线的应用)在作图中,辅助线往往是做平行线,如图
(1),已知BD:
CD=2:
3,AE:
ED=3:
4
求:
AF:
FC
A
FAA
FF
EEGE
BDCBDCBDGC
图
(1)图
(2)图(3)
辅助线当然是添加平行线。
但如图
(2),如果过D作DG∥BF,则在FC中插入了G点,不利求结论AF:
FC;如图(3)如果过F做FG∥AD交CD于G时,在CD上插入G,条件BD:
DC=2:
3就不好用了。
因此应过D做DG∥AC交BF于G,此辅助线做法既不破坏BD:
DC,又不破坏AE:
ED,还不破坏AE:
FC.
解:
过D做DG∥AC交BF于G
∵BD:
DC=2:
3∴BD:
BC=2:
5A
则DG:
CF=2:
5设DG=2
CF=5
F
AE:
ED=3:
4AF:
DG=3:
4AF:
2
=3:
4GE
AF=1.5
AF:
FC=1.5
:
5
=3:
10
BDC
(二)相似三角形的定义与判定:
1.相似三角形定义:
对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法:
用符号“∽”表示,读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比:
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理:
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。
(三)三角形相似的判定方法
(1)定义法:
对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似。
(2)平行法:
平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(3)判定定理1:
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
简述为:
两角对应相等,两三角形相似。
(4)判定定理2:
如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
简述为:
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
(5)判定定理3:
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
简述为:
三边对应成比例,两三角形相似。
(6)判定直角三角形相似的方法:
①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,
那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
例1.(2015·江苏连云港,第16题3分)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为
.
考点:
相似三角形的判定与性质;平行线之间的距离;勾股定理.
分析:
过点B作EF⊥l2,交l1于E,交l3于F,在Rt△ABC中运用三角函数可得
=
,易证△AEB∽△BFC,运用相似三角形的性质可求出FC,然后在Rt△BFC中运用勾股定理可求出BC,再在Rt△ABC中运用三角函数就可求出AC的值.
点评:
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、特殊角的三角函数值、勾股定理、平行线的判定与性质、同角的余角相等等知识,构造K型相似是解决本题的关键.
例2.(2015•娄底,第18题3分)一块直角三角板ABC按如图放置,顶点A的坐标为(0,1),直角顶点C的坐标为(﹣3,0),∠B=30°,则点B的坐标为 (﹣3﹣
,3
) .
考点:
相似三角形的判定与性质;坐标与图形性质.
分析:
过点B作BD⊥OD于点D,根据△ABC为直角三角形可证明△BCD∽△COA,设点B坐标为(x,y),根据相似三角形的性质即可求解.
例3.(2015•宜昌,第20题8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D为边CB上的一个动点(点D不与点B重合),过D作DO⊥AB,垂足为O,点B′在边AB上,且与点B关于直线DO对称,连接DB′,AD.
(1)求证:
△DOB∽△ACB;
(2)若AD平分∠CAB,求线段BD的长;
(3)当△AB′D为等腰三角形时,求线段BD的长.
考点:
相似形综合题..
分析:
(1)由∠DOB=∠ACB=90°,∠B=∠B,容易证明△DOB∽△ACB;
(2)先由勾股定理求出AB,由角平分线的性质得出DC=DO,再由HL证明Rt△ACD≌Rt△AOD,得出AC=AO,设BD=x,则DC=DO=8﹣x,由勾股定理得出方程,解方程即可;
(3)根据题意得出当△AB′D为等腰三角形时,AB′=DB′,由△DOB∽△ACB,得出
=
,设BD=5x,则AB′=DB′=5x,BO=B′O=4x,由AB′+B′O+BO=AB,得出方程,解方程求出x,即可得出BD.
解答:
(1)证明:
∵DO⊥AB,
∴∠DOB=∠DOA=90°,
∴∠DOB=∠ACB=90°,
又∵∠B=∠B,
∴△DOB∽△ACB;
(2)解:
∵∠ACB=90°,
∴AB=
=
=10,
∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DO⊥AB,
∴DC=DO,
在Rt△ACD和Rt△AOD中,
,
∴Rt△ACD≌Rt△AOD(HL),
∴AC=AO=6,
设BD=x,则DC=DO=8﹣x,OB=AB﹣AO=4,
在Rt△BOD中,根据勾股定理得:
DO2+OB2=BD2,
即(8﹣x)2+42=x2,
解得:
x=5,
∴BD的长为5;
(3)解:
∵点B′与点B关于直线DO对称,
∴∠B=∠OB′D,BO=B′O,BD=B′D,
∵∠B为锐角,
∴∠OB′D也为锐角,
∴∠AB′D为钝角,
∴当△AB′D为等腰三角形时,AB′=DB′,
∵△DOB∽△ACB,
∴
=
=
,
设BD=5x,
则AB′=DB′=5x,BO=B′O=4x,
∵AB′+B′O+BO=AB,
∴5x+4x+4x=10,
解得:
x=
,
∴BD=
.
点评:
本题是相似形综合题目,考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识;本题难度较大,综合性强,特别是
(2)(3)中,需要根据题意列出方程,解方程才能得出结果.
(三)单选题:
1.如图:
PQ∥BC,若S△APQ=3,A
S△PQB=6,则S△CQB等于()PQ
A.20B.18
C.16D.9
BC
2.△ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的中线,
并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,则S△ABC等于:
A.12B.14C.16D.18
3.如图:
DE∥BC,EF∥AB,在下面的比例式中,正确的有:
①
②
A
③
④
DE
⑤
⑥
BFC
A.①③B.①②③C.③⑤⑥D.①③⑤
二.填空题(共7小题)
4.已知线段b是线段a、c的比例中项,且a=1,c=4,那么b= _________ .
5.如图,点M是△ABC内﹣点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是1,4,9.则△ABC的面积是 _________ .
6.如图,在▱ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形:
_________ .
7.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则
= _________ .
8.劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米,底边为6厘米的等腰三角形,她想用这个等腰三角形加工出一个边长比是1∶2的平行四边形,平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角,平行四边形的其他顶点均在三角形的边上,则这个平行四边形的较短的边长为___.
三.解答题(共8小题)
9.如图:
已知四边形ABCD是正方形,AED
E是AD中点,BF=3AF,EG⊥CF于G,
求证:
EG2=FG·CGFG
BC
12.如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似?
(3)当t为何值时,△APQ的面积为
个平方单位?
13.将一副三角尺如图①摆放(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°;在Rt△DEF中,∠EDF=90°,∠E=45°)点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C.
(1)求∠ADE的度数;
(2)如图②,将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°),此时的等腰直角三角尺记为△DE’F’,DE’’交AC于点M,DF′交BC于点N,试判断的值是否随着α的变化而变化?
如果不变,请求出的值;反之,请说明理由.
14.如图,AB∥FC,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,分别延长FD和CB交于点G.
(1)求证:
△ADE≌△CFE;
(2)若GB=2,BC=4,BD=1,求AB的长.
14.如图,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线段PD绕点P顺时针旋转90°后,得到线段PE,且PE交BC于F,连接DF,过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.
(1)求线段PQ的长;
(2)问:
点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由.
15.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.M为AD中点,连接CM交BD于点N,且ON=1.
(1)求BD的长;
(2)若△DCN的面积为2,求四边形ABNM的面积.
16.已知,如图,△ABC中,AD是中线,且CD2=BE·BA.求证:
ED·AB=AD·BD.
16.(10分)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,连接DE,点F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:
△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.
17.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△BAP中,∠BAP=90°,已知∠CBO=∠ABP,BP交AC于点O,E为AC上一点,且AE=OC.
(1)求证:
AP=AO;
(2)求证:
PE⊥AO;
(3)当OE=
,AB=10时,求线段BO的长度.
18.(2013·四川成都)如图,点B在线段AC上,点D,E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.
(1)求证:
AC=AD+CE;
(2)若AD=3,CE=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作PQ⊥DP,交直线BE于点Q.
①当点P与A,B两点不重合时,求
的值;
②当点P从点A运动到AC的中点时,求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长.(直接写出结果,不必写出解答过程)
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