三角函数大题专项含答案.docx

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三角函数大题专项含答案

三角函数专项训练

22

1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sinA﹣sinC）＝

（a﹣b）sinB．

222

（1）证明a+b﹣c＝ab；

（2）求角C和边c．

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣）．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．

3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α﹣β）的值．

4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC＝2

，求BC．

2

sinxcosx．

5．已知函数f（x）＝sinx+

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣

，m]上的最大值为

，求m的最小值．

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为

a，b，c．已知asinA＝4bsinB，ac＝

2

（a

﹣b2﹣c2）

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值

7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣

）+sin（ωx﹣

），其中0＜ω＜3，已知f（

）＝0．

（Ⅰ）求ω；

（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的

2倍（纵坐标不变），再将

得到的图象向左平移

个单位，得到函数

y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣

，

]

上的最小值．

8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝

1

．

（Ⅰ）求b和sinA的值；

（Ⅱ）求sin（2A+）的值．

9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．

10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为

2

．

a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin

（1）求cosB；

（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．

11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．

（I）求f（x）的最小正周期；

（II）求证：

当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．

12．已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．

（1）若，求x的值；

（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．

（1）求sinC的值；

（2）若a＝7，求△ABC的面积．

14．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）求f（x）的单调递增区间．

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．

（1）证明：

A＝2B；

（2）若cosB＝，求cosC的值．

16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．

2

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得

到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．

（1）求B；

（2）已知cosA＝，求sinC的值．

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．

（Ⅰ）证明：

A＝2B；

（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．

（Ⅰ）证明：

sinAsinB＝sinC；

（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tanB．

20．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝．

（1）求AB的长；

（2）求cos（A﹣）的值．

21．已知函数f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．

22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

3

4

参考答案

22

1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sinA﹣sinC）＝

（a﹣b）sinB．

2

2

2

（1）证明a+b﹣c＝ab；

（2）求角C和边c．

【解答】证明：

（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为

1，

∴由正弦定理得：

＝2R＝2，

∴sinA＝，sinB＝

，sinC＝

，

22

∵2（sinA﹣sinC）＝（a﹣b）sinB，

∴2（）＝（a﹣b）?

，

222

化简，得：

a+b﹣c＝ab，

222

故a+b﹣c＝ab．

222

解：

（2）∵a+b﹣c＝ab，

∴cosC＝＝＝，

解得C＝，

∴c＝2sinC＝2?

＝．

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA＝acos（B﹣）．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．

【解答】解：

（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA＝asinB，

又bsinA＝acos（B﹣）．

∴asinB＝acos（B﹣），即sinB＝cos（B﹣）＝cosBcos+sinBsin＝cosB+

，

∴tanB＝，

5

又B∈（0，π），∴B＝

．

（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝

，

由余弦定理得b＝

＝

，由bsinA＝acos（B﹣

），得sinA＝

，

∵a＜c，∴cosA＝

，

∴sin2A＝2sinAcosA＝

，

2

，

cos2A＝2cosA﹣1＝

∴sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB＝

＝

．

3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α﹣β）的值．

【解答】解：

（1）由，解得，

∴cos2α＝；

（2）由

（1）得，sin2，则tan2α＝．

∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），

∴sin（α+β）＝＝．

则tan（α+β）＝．

∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．

4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC＝2，求BC．

【解答】解：

（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．

∴由正弦定理得：

＝，即＝，

6

∴sin∠ADB＝＝，

∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，

∴cos∠ADB＝＝．

（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，

∵DC＝2，

∴BC＝

＝

＝5．

2

sinxcosx．

5．已知函数f（x）＝sinx+

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣

，m]上的最大值为

，求m的最小值．

2

sinxcosx＝

+sin2x

【解答】解：

（I）函数f（x）＝sinx+

＝sin（2x﹣

）+

，

f（x）的最小正周期为T＝

＝π；

（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣

，m]上的最大值为

，

可得2x﹣∈[﹣

，2m﹣

]，

即有2m﹣

≥

，解得m≥

，

则m的最小值为

．

6．在△ABC中，内角

A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA＝4bsinB，ac＝

2

（a

﹣b2﹣c2）

7

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值

【解答】（Ⅰ）解：

由，得asinB＝bsinA，

又asinA＝4bsinB，得4bsinB＝asinA，

两式作比得：

，∴a＝2b．

由，得，

由余弦定理，得

；

（Ⅱ）解：

由（Ⅰ），可得

，代入asinA＝4bsinB，得

．

由（Ⅰ）知，A为钝角，则

B为锐角，

∴

．

于是

，

，

故

．

7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣

）+sin（ωx﹣

），其中0＜ω＜3，已知f（

）＝0．

（Ⅰ）求ω；

（Ⅱ）将函数

y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的

2倍（纵坐标不变），再将

得到的图象向左平移

个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣

，]

上的最小值．

【解答】解：

（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣

）+sin（ωx﹣

）

＝sinωxcos

﹣cosωxsin

﹣sin（

﹣ωx）

＝sinωx﹣cosωx

＝sin（ωx﹣），

又f（

）＝

sin（ω﹣

）＝0，

∴

ω﹣

＝kπ，k∈Z，

解得ω＝6k+2，

8

又0＜ω＜3，∴ω＝2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），

将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y

＝sin（x﹣）的图象；

再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，

∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；

当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，

∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，

∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．

8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝

．

（Ⅰ）求b和sinA的值；

（Ⅱ）求sin（2A+）的值．

【解答】解：

（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，

故由sinB＝，可得cosB＝．

由已知及余弦定理，有＝13，

∴b＝．

由正弦定理，得sinA＝．

∴b＝，sinA＝；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA＝，∴sin2A＝2sinAcosA＝，

cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．

故sin（2A+）＝＝．

9

9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．

【解答】解：

（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝acsinB＝，

∴3csinBsinA＝2a，

由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，

∵sinA≠0，

∴sinBsinC＝；

（2）∵6cosBcosC＝1，

∴cosBcosC＝，

∴cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣＝﹣，

∴cos（B+C）＝﹣，

∴cosA＝，

∵0＜A＜π，

∴A＝，

∵＝＝＝2R＝＝2，

∴sinBsinC＝?

＝＝＝，

∴bc＝8，

222

∵a＝b+c﹣2bccosA，

22

∴b+c﹣bc＝9，

∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，

∴b+c＝

∴周长a+b+c＝3+．

10

10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为

2

．

a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin

（1）求cosB；

（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：

（1）sin（A+C）＝8sin2，

∴sinB＝4（1﹣cosB），

22

∵sinB+cosB＝1，

22

∴16（1﹣cosB）+cosB＝1，

32

∴16（1﹣cosB）+cosB﹣1＝0，

∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，

∴cosB＝；

（2）由

（1）可知sinB＝，

∵S△ABC＝ac?

sinB＝2，

∴ac＝

，

2

2

2

2

2

×

∴b＝a+c﹣2accosB＝a+c﹣2×

2

2

2

＝a+c

﹣15＝（a+c）﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，

∴b＝2．

11．已知函数f（x）＝

cos（2x﹣

）﹣2sinxcosx．

（I）求f（x）的最小正周期；

（II）求证：

当x∈[﹣

，

]时，f（x）≥﹣．

【解答】解：

（Ⅰ）f（x）＝

cos（2x﹣

）﹣2sinxcosx，

＝

（

co2x+sin2x）﹣sin2x，

＝cos2x+sin2x，

＝sin（2x+），

∴T＝＝π，

11

∴f（x）的最小正周期为π，

（Ⅱ）∵x∈[﹣

，

]，

∴2x+

∈[﹣

，

]，

∴﹣≤sin（2x+

）≤1，

∴f（x）≥﹣

12．已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣

），x∈[0，π]．

（1）若

，求x的值；

（2）记f（x）＝

，求f（x）的最大值和最小值以及对应的

x的值．

【解答】解：

（1）∵

＝（cosx，sinx），＝（3，﹣

），∥，

∴﹣

cosx＝3sinx，

当cosx＝0时，sinx＝1，不合题意，

当cosx≠0时，tanx＝﹣，

∵x∈[0，π]，

∴x＝，

（2）f（x）＝＝3cosx﹣sinx＝2（cosx﹣sinx）＝2cos（x+），

∵x∈[0，π]，

∴x+∈[，]，

∴﹣1≤cos（x+）≤，

当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，

当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．

13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．

（1）求sinC的值；

（2）若a＝7，求△ABC的面积．

【解答】解：

（1）∠A＝60°，c＝a，

12

由正弦定理可得sinC＝sinA＝×＝，

（2）a＝7，则c＝3，

∴C＜A，

2

2

，

∵sinC+cosC＝1，又由

（1）可得cosC＝

∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝

×+×＝

，

∴S△ABC＝

acsinB＝×7×3×

＝6

．

14．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）求f（x）的单调递增区间．

【解答】解：

f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx，

＝sin2ωx+cos2ωx，

＝，

由于函数的最小正周期为π，

则：

T＝，

解得：

ω＝1．

（2）由

（1）得：

函数f（x）＝，

令（k∈Z），

解得：

（k∈Z），

所以函数的单调递增区间为：

[]（k∈Z）．

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．

（1）证明：

A＝2B；

（2）若cosB＝，求cosC的值．

【解答】

（1）证明：

∵b+c＝2acosB，

∴sinB+sinC＝2sinAcosB，

∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，

∴sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），

13

∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去）．

∴A＝2B．

（II）解：

cosB＝，∴sinB＝

＝

．

2

，sinA＝

＝．

cosA＝cos2B＝2cosB﹣1＝

∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB＝

+×＝．

2

16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）．

（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得

到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．

【解答】解：

（Ⅰ）∵f（x）＝2

sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）

2

2

＝2sinx﹣1+sin2x

＝2?

﹣1+sin2x

＝sin2x﹣

cos2x+

﹣1＝2sin（2x﹣

）+

﹣1，

令2kπ﹣

≤2x﹣

≤2kπ+

，求得kπ﹣

≤x≤kπ+

，

可得函数的增区间为

[kπ﹣，kπ+

]，k∈Z．

（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2倍（纵坐标不变），可得y

＝2sin（x﹣

）+

﹣1的图象；

再把得到的图象向左平移

个单位，得到函数

y＝g（x）＝2sinx+

﹣1的图象，

∴g（）＝2sin+﹣1＝．

17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．

（1）求B；

（2）已知cosA＝，求sinC的值．

【解答】解：

（1）∵asin2B＝bsinA，

∴2sinAsinBcosB＝sinBsinA，

∴cosB＝，∴B＝．

（2）∵cosA＝，∴sinA＝，

14

∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝＝．

18．在△A