向量共线与平面向量的基本定理教师版.docx
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向量共线与平面向量的基本定理教师版
§3
从速度的倍数到数乘向量
课标解读
1.掌握数乘向量的运算及几何意义.(重点)
2.理解两个向量共线的含义,掌握向量共线的判定定理和性质定理.(难点)
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
数乘向量及其运算律
1.数乘向量
(1)定义:
实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa.
(2)长度:
|λa|=|λ||a|.
(3)方向:
λa的方向
(4)几何意义:
将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当|λ|>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍;当|λ|<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的|λ|倍.
2.运算律
向量的数乘运算满足下列运算律:
设λ,μ为实数,则
(1)(λ+μ)a=λa+μa;
(2)λ(μa)=λμa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
共线向量定理
1.判定定理:
a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.
2.性质定理:
若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa.
向量的线性运算
计算:
(1)3(6a+b)-9(a+
b);
(2)
[(3a+2b)-(a+
b)]-2(
a+
b);
(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.
【自主解答】
(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
(2)原式=
(2a+
b)-a-
b=a+
b-a-
b=0.
(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
1.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,主要是“合并同类项”、“提取公因式”,但这里的“同类项”、“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
2.对于线性运算,把握运算顺序为:
运算律去括号→数乘向量→向量加减.
(1)化简
[(4a-3b)+
b-
(6a-7b)];
(2)设向量a=3i+2j,b=2i-j,求(
a-b)-(a-
b)+(2b-a).
【解】
(1)原式=
[4a-3b+
b-
a+
b]=
[(4-
)a+(-3+
+
)b]
=
(
a-
b)=
a-
b.
(2)原式=
a-b-a+
b+2b-a=(
-1-1)a+(-1+
+2)b
=-
a+
b=-
(3i+2j)+
(2i-j)
=(-5+
)i+(-
-
)j=-
i-5j.
共线向量定理及应用
已知两个非零向量a、b不共线,
=a+b,
=a+2b,
=a+3b.
(1)证明:
A、B、C三点共线.
(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.
【思路探究】
(1)
=
-
→
=
-
→找出
与
的等量关系
(2)令ka+b=λ(a+kb)→利用a与b不共线,求λ、k
【自主解答】
(1)证明 由于
=a+b,
=a+2b,
=a+3b,
则
=
-
=a+2b-a-b=b,而
=
-
=a+3b-a-b=2b,
于是
=2
,即
与
共线,又∵
与
有公共点A,∴A、B、C三点共线.
(2)解 由于a、b为非零向量且不共线,∴a+kb≠0.
若ka+b与a+kb共线,则必存在唯一实数λ使ka+b=λ(a+kb),
整理得:
(k-λ)a=(λk-1)b,
因为非零向量a、b不共线,
因此
,∴
,或
,
即存在实数λ=1,使ka+b与a+kb共线,
此时k=1.或存在实数λ=-1,使ka+b与a+kb共线,
此时k=-1,因此,k=±1都满足题意.
1.本题中证明点共线的关键是由点构成的向量要有公共点,并且共线.
2.证明两个向量a与b共线时,只需证明a=λb(b≠0).若已知a与b(b≠0)共线,则可利用两向量共线的性质,得到λ1a=λ2b.
利用向量共线定理可以解决点共线、线共点及两直线平行等问题,如要证A,B,C三点共线,只需证
=λ
或
=k
(λ,k∈R)等;要证AB∥CD,只需证
=λ
(λ∈R).也可解决相关求参问题.
已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1.若a与b共线,则( )
A.λ=0 B.e2=0
C.e1∥e2D.λ=0或e1∥e2
【解析】 e1∥e2时,显然a与b共线;若e1,e2不共线,设a=kb,则有(1-2k)e1+λe2=0,于是
,即
【答案】 D
向量线性运算的综合应用
图2-3-1
如图所示,已知▱ABCD的边BC,CD上的中点分别为K,L,且
=e1,
=e2,试用e1,e2表示
,
.
【思路探究】 解答本题可先将
,
视为未知量,再利用已知条件找等量关系,列方程(组),通过解方程(组)求出
,
.
【自主解答】 法一 设
=x,则
=
x,
=e1-
x,
=
e1-
x,
又
=x,由
+
=
得x+
e1-
x=e2,解方程得x=
e2-
e1,
即
=
e2-
e1,由
=-
,
=e1-
x,得
=-
e1+
e2.
法二 设
=x,
=y,则
=
x,
=-
y.
由
+
=
,
+
=
得
用2乘以②与①相减得
x-2x=e1-2e2,解得
x=
(2e2-e1),即
=
(2e2-e1),同理得y=
(-2e1+e2),即
=-
e1+
e2.
1.由已知向量表示未知向量时,要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律,还应重视平面几何定理的应用.
2.当用已知向量表示未知向量比较困难时,应考虑方程思想,利用方程的观点进行求解.
(2013·大连高一检测)如图所示,D,E分别是△ABC中边AB,AC的中点,M,N分别是DE,BC的中点,已知
=a,
=b,试用a、b分别表示
、
、
.
【解】 由三角形中位线定理,知DE綊
BC,故
=
,即
=
a.
=
+
+
=-a+b+
a=-
a+b.
=
+
+
=
+
+
=-
a-b+
a=
a-b.
数形结合思想在向量线性运算中的应用
(12分)如图所示,在△ABC中,
=
,DE∥BC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N,设
=a,
=b,用a,b表示向量
,
,
,
,
,
.
图2-3-3
【思路点拨】 利用DE∥BC等条件进行转化.
【规范解答】 ∵DE∥BC,
=
,1分
∴
=
=
b,
=
-
=b-a.4分
由△ADE∽△ABC,得
=
=
(b-a).6分
又∵AM是△ABC底边BC的中线,DE∥BC,
∴
=
=
(b-a).8分
=
+
=a+
=a+
(b-a)=
(a+b).10分
∵△ADN∽△ABM,
=
,
∴
=
=
(a+b).12分
建立已知向量与未知向量之间的关系时,应注意结合几何图形,利用平面几何中的一些结论,转化为相等向量、相反向量、共线向量及比例关系.
课堂小结
1.学习了数乘向量的概念以及数乘的运算律,明确了λa的大小、方向以及几何意义.
2.学习了向量共线的判定定理和性质定理.
3.掌握了向量加、减、数乘的线性运算,从而进行化简求值.
4.能够应用向量共线的判定定理证明三点共线或两直线平行.
1.设a是非零向量,λ是非零实数,则以下结论正确的有( )
(1)a与-λa的方向相反;
(2)|-λa|≥|a|;
(3)a与λ2a方向相同;
(4)|-2λa|=2|λ|·|a|.
A.1个 B.2个C.3个D.4个
【解析】 由向量数乘的几何意义知(3)(4)正确.【答案】 B
2.下列各式计算正确的是( )
A.a+b-(a+b)=2aB.2(a+b)+c=2a+b+c
C.3(a-b)+3(a+b)=0D.a+b-(b-3c)=a+3c
【解析】 A,不正确,结果应为0;B不正确,C不正确;D正确,故选D.
3.(2013·郑州高一检测)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若
=a,
=b,则
=( )
A.
a+
bB.
a+
bC.
a+
bD.
a+
b
【解析】 如图所示:
作OG∥EF交DC于G,由于DE=EO,得DF=FG.
又由AO=OC得FG=GC,于是
=
=
(-
b+
a),
那么
=
+
=(
a+
b)+
(-
b+
a)=
a+
b.【答案】 B
4.如果向量
=i-2j,
=i+mj,其中向量i、j不共线,试确定实数m的值,使A、B、C三点共线.
【解】 ∵A、B、C三点共线,即
、
共线,∴存在实数λ使得
=λ
,
即i-2j=λ(i+mj).∴i-2j=λi+λmj.
于是
解得m=-2,
即m=-2时,A、B、C三点共线.
一、选择题
1.已知|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,若a=λb,则λ的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】 由于
=
,且a,b反向,所以a=-
b,故选B.【答案】 B
2.如图,已知AM是△ABC的边BC上的中线,若
=a,
=b,则
等于( )
A.
(a-b)B.-
(a-b)C.
(a+b)D.-
(a+b)
【解析】 ∵M是BC的中点,∴
=
(a+b).【答案】 C
3.在四边形ABCD中,
=a+2b,
=-4a-b,
=-5a-3b,且a、b不共线,则四边形ABCD的形状是( )
A.梯形 B.平行四边形C.菱形D.矩形
【解析】 ∵
=
+
+
=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b=2(-4a-b)=2
,∴
∥
,又∵
与
不平行,所以四边形ABCD为梯形,故选A.【答案】 A
4.已知向量a、b,且
=a+2b,
=-5a+6b,
=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A、B、DB.A、B、C
C.B、C、DD.A、C、D
【解析】
=
+
=2a+4b=2(a+2b)=2
,
∴
与
共线,∴A、B、D三点共线.【答案】 A
5.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若
=2
,
=
+λ
,则λ等于( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】 如图所示:
=
+
=
+
=
+
(
-
)=
+
.所以λ=
.【答案】 A
二、填空题
6.设a、b是两个非零向量,若8a-kb与-ka+b共线,则实数k=________.
【解析】 由题意知8a-kb=λ(-ka+b),
即
∴k=±2
.【答案】 ±2
7.在▱ABCD中,
=a,
=b,
=3
,M为BC的中点,则
=________.(用a、b表示)
【解析】 由
=3
,得4
=3
=3(a+b).又∵
=a+
b,
所以
=
-
=
(a+b)-(a+
b)=-
a+
b.【答案】 -
a+
b
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- 向量 共线 平面 基本 定理 教师版