三角函数与解三角形专题讲座docx.docx
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三角函数与解三角形
一、角的有关概念
1.角的概念的推广
(1)定义:
角可以看成平面内的一条射线绕其竝从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
7」按旋转方向不同分为正角、负角和零角.
(2)分类[按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角:
所冇与角a终边相同的角,连同角u在内,
可构成_个集合S={〃|〃=a+&・360。
,圧Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.
⑵公式
角a的弧度数公式
14—厂(弧长用/表小)
角度与弧度的换算
①『-而说;②1rad—(=)
弧长公式
弧长l=\a\r
扇形面积公式
119
S=K=^|a|广
3.象限角与轴线角的表示:
(1)象限角的表示:
1第一象限角的表示:
2第二象限角的表示:
3第三象限角的表示:
4第四象限角的表示:
(2)象限角的表示:
1终边落x轴非负半轴上的角的表示:
2终边落x轴非正半轴上的角的表示:
3终边落x轴上的角的表示:
;
4终边落y轴非负半轴上的角的表示:
5终边落y轴非正半轴上的角的表示:
6终边落y轴上的角的表示:
;
7终边落在坐标轴上的角的表示:
o
二、任意角的三角函数
注:
1.三角函数的定义屮,当角g终边上的点P(兀,y)是单位圆上的点时,有sin«=y,
cosa=x>(ana=¥,但若角a终边上的点P(x,y)不是单位圆上的点时,图屮圆的半径为/-0P=Jx2+y2,则sina=\cosa=~,ttana=\
!
tX
2.已知三角函数值的符号确定角的终边位置时,不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
3.在解简单的三角方程或三角不等式时,单位圆中的三角函数线是一个很好的工具.
2.三角公式
(1).同角三角函数的基本关系
1平方关系:
sin2a+cos2a=1;
2商数关系:
tanct=2^・
注:
1・在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
2•注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
3.弦切互化法:
主要利用公式tan成正、余弦.
4.和积转换法:
利用(sin&土cos&)2=l±2sin0cos0的关系进行变形、转化.
(2).三角函数的诱导公式
1把ct+2刼伙WZ)、±兀土a、一a的三角函数化成a的三角函数时,遵循的原则是“函数名不变,符号看象限”;
2把土-±a、±—±a的三角函数化成&的三角函数时,遵循的原则是“函数名改变,符
22
号看象限”;
Ljr
3一般的把——±Q伙WZ)的三角函数化成G的三角函数时,遵循的原则是“奇变偶不变,符
2
号看象限”
(3〉•两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(么切)=sinacos/^土costzsin";
cos(aT0)=cosacosB±sinasin/?
;
tana土tan"tanW)=1Ttanatan/?
•
(4)・二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2a=2sinacosa•
cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a.
、2tana
lan2(z="~•
1—tana
<5).有关公式的逆用、变形
1tana+tanp=tan(a±/?
)(ITtan 71+cos2a、1—cosla 2cos・@=,sina=、 22 31+sin2a=(sina+cosa)29 1—sin2a=(sina—cosa)2,sina±cosa=^/2sin f- (6)・函数f(a)=asina+bcosa(a>/? 为常数),可以化为 a1+b2sin(a+中住m或弘)=寸庄匚产・cos(a—卩)(其中tan(p 注: 三角恒等变换的常用方法与技巧 1. 等变换的核心, 如〃=(a+0)—弘20=@+0)—(a—0), a=2xf,^=(^^)-|等, 变角: 通过对角的拆分尽可能化为同角、特殊角、己知角的和与差,角的变换是三角恒 这种手法通常叫“配凑”. 2.变名: 通过变换尽可能减少函数种类、降低次数、减少项数,其手法通常有“切化弦”、“升幕与降幕”等. 3.变式: 根据式子的结构特征进行变形,使其更简化、更贴近某个公式或某个期待的目 标,其手法通常有: “常值代换”(如1根据需要可换成tan兰.sin2674-cos2tz,丄根 42 7171 据需要可换成Si陀或C。 込等)、“逆用或变形用公式”、“通分与约分”、“分解与 组合”、"配方与平方”等. 3.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图彖 2x4 牡 定义域 R R gz} 值域 [T,1] [T,1] R 周期性 2兀 2jt 兀 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 兀71 2kn~2^2刼+㊁ 伙WZ) [2刼一兀,2换]伙ez) 仏_务刼+功 伙WZ) 递减区间 2紅+彳,2刼+¥ (MZ) [2fac,2ht+兀]伙丘Z) 无 对称中心 伽,0)(胆Z) 仏+号,0)伙ez) 俘,0)伙WZ) 对称轴 兀=换+号伙WZ) x=kn伙GZ) 无 最值 TT 当x=2k7t+—ykwZ时2 y=sinx取最大值1 TT 当x=2k兀——,keZ时 2 y=sinx取最小值-1 当兀=2R龙,keZ时y=cosx取最大值1当x=2k兀+兀,kwZ时y=cosx取最小值・1 无 4.函数y=Asin(0r+0)的图象与性质 ⑴函数y=Asin(ft>x+e)的物理意义 当函数y=Asin(ex+°)(q〉O,e>0),[0,+°°)表示一个振动量时,A叫做振幅, 2兀1 卩=诗叫做周期,戶訓做频率,cox+(p叫做相位,0叫做初相. (2)函数丿=/1"11(亦+。 )图象的“五点法”作图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与兀轴相交的三个点(平衡 位置点),作图的一般步骤为: 1定点: 如下表所示(由cox+(p的取值分别确定相应的x与y) X co 兀 3 71—(/) 3 371 3 2兀爭 CD ujx+(p 0 71 2 7C 3兀T 271 y=Asin(ojx+(p) 0 A 0 -A 0 2作图: 在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到y=Asin(如+卩)在一个周期内的图象. 3扩展: 将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin@x+0)在R上的图象. 4 (3)函数j=sinx的图象经变换得到y=Asin@x+0)的图象的两种途径 得至Uy=sin(69x+e)的图象—步骤3_得到y=sin(cox+(p)的图象 纵坐标变为原来I的4倍 得至lJy=Asin(ex+卩)的图象—步骤4—得至lJy=Asin(ex+卩)的图象 (4)由图象求解析式j=Asin(tox+^)+B(A>0,他>0)的一般步骤: 1一般由函数的最值确定A、B的值,即A=儿滅-儿山,b=儿兀*儿^; 22 2/r 2由函数的周期來确定0的值,即T=—; co 3由函数图彖最高点(或最低点)的坐标得到关于0的方程,再由(p的范围得卩的值, 也可以由起始点的横坐标得卩的值,若利用图象与y=B的交点即平衡位置点的坐标列方程解卩时,要注意这个点所在区间的单调性,以排除不符合条件的解。 ⑸求函数y=Asin((ox+(p)+B的单调区间、最值、对称轴、对称中心等问题时要注意 整体思想的运用,这里主要是将ojx+9看成整体,对照j=sinx的相应性质分析完成 三、解三角形 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 abc? a2=b2+c2—2〃ccosA; 内容 sinAsinBsinCv b2=c2+a2~2cacosB; (尺为△ABC外接圆半径) c2=a2+b2—2abcosC fe2+c2—/ a=2RsinA,方=2RsinBfc=2RsinC; cos4—2bc; 变形形式 (边角转化) abc sinA—sinB—qr,sinC—鸟尺; c2+a2—ft2 C0SB~2ca; a•b•c=sinA: sinB: sinC /+宀2cosC-lab 注: 当已知两边及其中一边的对角时,运用正弦定理解三角形的可能情况如下: A为锐角 4为钝角或直角 图形 X A fy丿 a 3 AB—Bf 八B 关系式 a=bsinA
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