系列模拟积分器的分析正文.docx
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系列模拟积分器的分析正文
1引言
当前信息技术的产品已经与我们的生活息息相关,在通讯、自动控制、国防等诸多领域中,模拟积分电路有着极为广泛的应用。
例如,模拟积分运算电路应用于国防上,可通过建立一个负反馈系统对积累性质的误差进行纠正,应用于国防领域上的弹道导弹的控制上,可以精确地击中目标。
积分电路是模拟计算机、积分型模数转换电路的基本单元之一,是实现电压比较、波形转换、波形振荡、触发器工作以及实现各种自动控制电路的关键环节,在控制和测量系统中也常常用到积分电路。
积分电路具有延迟作用和移相作用,它还可用于延时和定时各种波形(矩形波、锯齿波等)发生电路。
本文将通过对模拟积分运算电路系统的分析,来介绍其基本功能的运作与实现,以及所涉及的相关应用领域和几种相对较为实用的基本积分电路。
其中主要分析有源积分电路,对两种典型的积分电路:
基本反相积分电路和基本同相积分电路进行了详细分析。
因此,本文无论从理论分析上还是从实践应用中都具有一定的参考价值。
2积分运算电路的理论分析
2.1理论基础
我们知道,电容[1]具有充放电的功能。
在电容元件上电压与电荷参考极性一致的条件下,如下图2.1所示:
图2.1电容
电荷量为q,端电压为u(t)时,有以下关系:
q(t)=Cu(t)2.1
若通过的电流为i,则有:
i=
=C
2.2
此式表明:
1、任何时刻,通过电容元件的电流与该时刻的电压变化率成正比。
如果电容两端加直流电压,则i=0,电容元件相当于开路。
故电容元件有隔断直流的作用。
2、在实际电路中,通过电容的电流i总是有限值,由上式可知,du/dt必须为有限值,即电容两端电压u必须是时间t的连续函数而不能跃变。
将上式改写为:
du(t)=
i(t)dt2.3
两边积分得:
u(t)=
i(t)dt2.4
上式表明电容两端的电压u与流过电容的电流i之间存在积分关系。
2.2无源积分电路
2.2.1RC积分电路
RC积分电路由电阻R和电容C组成。
其传输算子F(
)=1/(1+pτ)式中τ=RC是时间常数,这是积分器唯一可调的参数。
如下图2.2是无源RC积分电路图。
图2.2RC积分电路
当输入电压Vi为一阶跃电压时,输出的电压Vo只在开始部分随时间线性增长,Vo近似与Vi成积分关系。
因为在初始期间,电容C上的电压Vo很小,可以忽略时,才有:
i=
≈
2.5
因而有:
Vc=
idt≈
Vidt2.6
但是,随着电容上充电过程的进行,Vc不断增大,充电电流不断减小,充电速度变慢,Vc按指数规律上升。
图2.3输入输出波形
如图2.3所示,为了实现较准确的积分关系,就需要在电容器的两端电压增长时,流过它的电流仍基本不变,理想情况为恒流充电,采用集成运放构成RC有源积分电路就能做到近似恒流充电,并能扩大积分的线性范围[2]。
这种无源RC积分器[3]的主要缺点是没有电压放大作用,同时带负载能力差,若在输出端并联一个负载电阻,除了使电压放大倍数降低以外,还将影响通带截止频率的值。
2.2.2RL积分电路
图2.4是RL积分电路图。
图2.4RL积分电路
加在两端的电压:
Vo=i*R=
2.7
因而,流过电感上的电流:
i=
=
2.8
时间常数τ=
,RL流过电感上的电流与加在两端的电压存在着积分关系,它也是一个积分电路。
由于电磁感应作用而使电流不能立即达到稳定值,这个过程是渐变的。
有储能元件L的电路在电路状态发生变化时(如电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等)存在暂态过程,这是一种自然现象,在电子技术中常用它来产生各种特定的波形或改善波形,但是,在暂态过程发生的瞬间可能出现过压或过流,致使电气设备损坏,必须采取防范措施。
2.3有源积分电路[4]
有源积分电路根据输入电压加到集成运算放大器的反相输入端或同相输入端,有反相积分电路和同相积分电路两种基本形式。
2.3.1基本反相积分电路
1、设计方法与步骤
(1)确定积分电路方案
积分电路的方案应根据设计要求来确定,比如要进行两个信号的求和的积分运算,就应选用求和积分电路;如果用积分电路来进行波形变换,则应选用基本的反相积分电路,如图2.5所示。
图2.5 反相积分电路
为了尽量减小积分漂移,在设计积分电路时,应采用适当的补偿电路。
在图2.5所示的反相积分电路中,RP为静态平衡电阻,用以补偿偏置电流所产生的失调;RF为积分漂移泄放电阻,用以防止积分漂移所造成的积分饱和或截止现象。
但应注意的是,增加RF后,由于RF对电容的分流作用将产生新的积分误差。
为了尽量减小RF所引入的积分误差,必须满足RF>>R,通常选取RF>10R。
(2)积分时间常数τ的确定
积分时间常数τ是决定积分器工作速度的主要参数,τ值愈小工作速度愈高。
由于集成运算放大器的最大输出电压为有限值(例如为±10V左右),是不允许将时间常数选得太小的。
如果集成运放的最大输出电压为VOM,则τ=RC的值必须满足τ≥
dt,对于阶跃输入信号,则要求:
τ≥
t2.9
τ太大,积分器的输出就小;τ太小,则积分器的输出还不到积分时间t时,集成运放的输出就已饱和,如图2.6所示:
图2.6τ与积分输出的关系u
对于正弦输入信号,例如,Vi=Vimsinωt2.10
V0=-
∫V
imsinωt·dt
=
cosωt+uc(0)2.11
由于cosωt函数的最大值为1,为了不产生波形失真,则要求满足:
≤VOM 即τ≥
2.12
此时,时间常数τ的选择不仅受到集成运放的最大输出电压VOM的限制,而且与信号频率有关,频率越低,时间常数就应越大。
(3)电路元件参数的确定
当积分时间常数τ确定之后,可进一步确定元件参数。
由于反相积分器的输入电阻Ri=R,而时间常数为τ=RC。
可见R的取值越大,越有利于提高积分器的输入电阻。
但是加大R,就必须相应减小电容C,这又会加剧积分漂移;另一方面,电容器的容量越大,漏电又要相应增大,也使积分误差增大。
考虑到这一切,积分电容C以不超过1μF为宜。
由此可见,R、C参数的选择原则应当是:
在满足积分器输入电阻要求的条件下,尽量选用较小的R值和较大的C值,且C值以不超过1μF为宜。
(4)集成运算放大器的选择
为了减小运放参数对积分电路输出电压的影响,应尽量选用失调及漂移较小的集成运算放大器;为了减小积分器输出的时间滞后和积分误差,集成运放开环增益AVD和带宽BW的选择也不可忽视。
2、设计举例
设计一个将方波转换成三角波的反相积分电路,电路如图2.5所示:
输入方波电压的幅值为4V,周期为1ms,要求积分器输入电阻大于10kΩ。
集成运放采用CF741(F007)。
(1)积分时间常数τ的确定
用积分电路将方波转换成三角波,就是对方波的每半个周期分别进行不同方向的积分运算。
在方波正半周,积分器的输入相当于正极性的阶跃信号;反之,则为负极性的阶跃信号。
其积分时间均为T/2。
如果所用集成运算放大器的最大输出电压VOM=±10V,积分器的时间常数τ应为:
τ>
×t=
×
=0.2ms 取τ=0.5ms
(2)确定元件参数
为满足输入电阻Ri≥10kΩ的要求,取电阻R=10kΩ,则积分电容为:
C=
=
=0.05μF
为尽量减小RF所引入的积分误差,要求满足RFC>>RC,通常选取RF>10R,此例可选RF=100kΩ。
而补偿运放偏置电流失调的平衡电阻RP数值上为R与RF并联:
RP=R∥RF=
=
=9.1kΩ
(3)调试方法
对于图2.5所示的积分电路,主要是调整积分漂移。
一般情况下调整集成运算放大器的外接调零电位器RW,即可补偿运放输入失调电压和输入失调电流的影响。
为了便于使积分器迅速复零,应在积分电容两端并接开关K。
首先,将输入端接地,开关K闭合,使积分器复零,打开K,用数字电压表监测积分器的输出电压;调整调零电位器RW,同时观察积分输出端积分漂移的变化情况。
当电位器滑向某一方向时,输出漂移加快,而反向调节时,则输出漂移减慢。
仔细调整电位器,直到时间漂移最小为止。
(4)绘制输入、输出波形图
运用虚短和虚断概念[5],运放反相输入端为虚地点,流过电容C的电流与流过电阻R的电流可视为相等,输出电压等于电容两端的电压,因此在理想情况下,输出电压是:
VO=-
dt+VC|t12.13
其中VC|t1是t1时刻电容两端的电压值,即初始值。
图2.7 积分电路输入、输出波形
在示波器上观察到的输入、输出波形图如图2.7所示。
2.3.2基本同相积分电路
图2.8同相积分电路
如图2.8是基本同相积分电路[6]。
图中接于同相输入端和信号源之间的电阻以及同相输入端对地的电容C组成基本积分电路,接于同相输入端和输出端之间的电阻R引入一正反馈,以改善积分效果。
随着积分时间增长,流过输入端电阻R的电流ii逐渐减小,但增加了来自输出端的反馈电流if,若正反馈适当,就可保持电容器C的充电电流ic不变,以维持输出电压线性变化。
这是因为随着时间的增长,输出电压Vo增大,由于接于反相端的两电阻阻值相等,则U-(t)=VO(t)/2,又由于放大器虚短即U-(t)=U+(t),所以u+(t)也增大。
因此流过同相端电阻R的电流为:
ii=
逐渐减小,同if=
=
将逐渐增加,由于在上图中四个电阻相同,所以使得ic不变。
电路的输入与输出的数学关系为:
Ii(S)=
2.14
If(S)=
2.15
Ii(S)+If(S)=U+(S)SC2.16
根据同相输入端与反相输入端的虚短路和虚开路特性可得:
U+(S)=U-(S)=
2.17
由上述诸式可得:
Uo(S)=
Ui(S)2.18
由拉氏反变换[9]得上式的原函数为:
Vo(t)=
2.19
可见,同相积分器的输出为反相积分器输出的两倍。
当为Vi(t)=V1常数时,则有:
|Vo(t)|=
V12.20
当Vi=Vmsinωt时则有:
Vo(t)=
=—
cosωt2.21
要使同相积分器获得精确的积分运算关系,除了要求放大器的开环增益足够高之外,还要求正反馈恰到好处,正反馈过量或不足(即四个数值相等的电阻R值匹配不好),都会造成运算误差。
电路中运算放大器可根据精度选择器件,同样也需注意电路的输出电压和电流不要超过运算放大器的额定值Vom和Iom[7]。
3实用电路举例
3.1求和积分器
图3.1求和积分器
图3.1所示为求和积分电路[8]。
该电路中,因输入回路数目为多个,故为求和积分器,其输入、输出关系为:
3.1
当
时,则有:
3.2
若
、
、
均为常数,则有:
3.3
3.2比例积分器
图3.2比例积分器
图3.2所示为比例积分电路。
该电路在通常反相积分器的积分电容器一端,如上图所示的那样,串联电阻R2时,那么,当输入端输入一方波时,在输出端出现不同于三角波的波形。
这是因为R2的工作与输入信号Vi成正比。
用公式表示为:
Vo=-[
+
]3.4
令T=R2C,积分因子算符P为P=
dt,则上式可表示为:
Vo=-
(1+
)Vi3.5
当输入为方波时,输出为下图所示:
图3.3输入、输出波形
3.3扩大了定时范围的积分器
图3.4所示
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