勾股定理二能得到直角三角形吗.docx
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勾股定理二能得到直角三角形吗
勾股定理
(二)——能得到直角三角形吗
一、【基础知识精讲】
1.勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
(1)勾股定理是直角三角形的性质定理,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。
即:
在△ABC中,若
,则△ABC为Rt△。
(2)满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数常用的勾股数组:
如:
3、4、5;6、8、10;5、12、13等;
若a,b,c为一组勾股数,那么ka,kb,kc(k≠0,k为常数)也是勾股数.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
①首先求出最大边(如c);
②验证
与
是否具有相等关系。
若
,则△ABC是以∠C=90°的直角三角形。
若
,则△ABC不是直三角形。
(,则三角形是钝角三角形)。
二、【例题精讲】
例1:
已知△ABC的三边为a、b、c,有下列各组条件,判定△ABC的形状.
(1)a=6,b=8,c=10; (2)a=41,b=40,c=9;
(3)
.
例2:
如图,在四边形ABCD中,∠C是直角,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12,
求证:
AD⊥BD.
【小试牛刀】
1.已知a、b、c是△ABC的三边,
(1)a=0.3,b=0.4,c=0.5;
(2)a=4,b=5,c=6;
(3)a=7,b=24,c=25;(4)a=15,b=20,c=25.
上述四个三角形中,直角三角形有()个.
2.下列命题中的假命题是()
A.在△ABC中,若∠A=∠C-∠B,则△ABC是直角三角形;
B.在△ABC中,若
,则△ABC是直角三角形;
C.在△ABC中,若∠A,∠B,∠C的度数比是1:
2:
3,则△ABC是直角三角形;
D.在△ABC中,若三边长a:
b:
c=1:
2:
3,则△ABC是直角三角形.
3.三角形的三边长为a、b、c,且满足等式
,则此三角形
是__________.
4.已知直角三角形的两边长分别为3、4,则第三边长为_____________.
【应用拓展】
例题1、试判断:
三边分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+2(n>0)的三角形是否为直角三角形。
例题2、如图,在四边形ABCD中,AB=2,BC=
,DA=4,CD=5,∠B=90°,求四边形ABCD的面积。
例题3、若三角形ABC的三边a、b、c满足条件:
,求证:
∠BAC=90°。
例题4、如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,且AB=9,BC=12,CD=17,AD=8求四边形ABCD的面积。
例题5、如图所示,在正方形ABCD中,F为DC的重点,E为BC上一点,且EC=
BC。
试判断AF与EF的位置关系,并加以说明。
是否有AE=CE+AD。
例题6,如图,在长方形ABCD中,DC=5cm,在DC上找一点E,沿直线AE把△AED折叠,使D点恰好落在BC上,设此点位F,若△ABF的面积为30cm2,求△ADE的面积。
五、错题分析:
例题1、在△ABC中,
,
,而
,期中,m、n是正整数,且m>n,试是判断△ABC是否为直角三角形。
错解:
因为
所以:
,所以△ABC不是直角三角形。
六、用勾股数解题。
A、直接利用勾股数
例题1、在△ABC中,已知AB=12cm,AC=9cm,BC=15cm。
求△ABC的面积。
B、“异地重逢”勾股数。
例题2、如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,M是AD上一点,AM=2DM,AM=3,BM=4,CM=5。
求在△ABC的面积。
C、巧妙构造勾股数
例题3、有一块如图形状的钢板,其中AB=20cm,BC=15cm,CD=7cm,AD=24cm,∠B=90°。
你能求出∠D的度数吗?
若能,请求出它的度数,若不能,请说明理由。
例题4、如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,点F在BC上且DF=
DC,试判断BE与EF的位置关系,并作出说明。
例题5、如图,在△ABC中,AB=13cm,AC=24cm,中线DB=5cm。
求证:
△ABC是等腰三角形。
例题6、如图,AC=8,BC=6,在△ABC中,ED为AB边上的高,DE=12,S△ABE=60.那么△ABC是否为直角三角形?
【同步练习】
一、填空题
1、△ABC的三边长分别是
(其中m、n为正整数,且m>n),则△ABC是_______。
2、如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式
,那么a=____,b=____,c=_____。
△ABC为________三角形。
3、△ABC中,a、b、c为三边长,若
,c=5,则最长边上的高为______。
4、若△ABC三边长分别为x+1,x+2,x+3,要是△ABC为直角三角形则x=____。
5、一个三角形三边之比为5:
:
1:
13,且周长为60cm,则他的面积是_____。
6、如图,一牧童在A处放羊,牧童的家在B处,A、B距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m,且C、D两地相距500m,天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家,那么牧童至少应该走______m.
二解答题
1.一个零件的形状如图所示,工人师傅按规定做得AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,假如这是一块钢板,你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?
2.一架长为25m的梯子斜靠在墙上,梯子底端离墙7m,现将梯顶沿墙面下滑4m,
那么梯子底端在水平方向滑动了多少米?
3.如果三角形的三边长分别为5cm、12cm和13cm,这个三角形是不是直角三角形?
如果是,请指出哪条边是直角边;如果不是,请说明理由.
4.在△ABC中,AC=2a,BC=a2+1,BC=a2-1,其中a>1,△ABC是不是直角三角形?
如果是哪一个角是直角?
5.已知a、b、c是Rt△ABC的三边,∠C=90o,a、b、c都为整数,若a=9时,b、c为多少?
B组
1.假期中,小明和同学们到某海岛上去探宝旅游,按照探宝图,他们登陆后先往东走8千米,又往北走2千米,遇到障碍后又往西走了3千米,再折向北走了6千米处往东一拐,仅走了1千米就找到宝藏,问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米?
2.P为正方形ABCD内一点,将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置,若BP=a.
求:
以PE为边长的正方形的面积.
3.如图,已知△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC边上的高.
4、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC,P为△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数。
5、一个智力的火材盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法。
如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理:
a2+b2=c2.
6.拼图填空:
剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a、b、c,如图①.
(1)拼图一:
分别用4张直角三角形纸片,拼成如图②③的形状,观察图②③可
发现,图②中两个小正方形的面积之和等于图③中小正方形的面积,用关系式表示为________.
(2)拼图二:
用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状,观察图形可以发现,
图中共有__________个正方形,它们面积之间的关系可表示为_____.
(3)拼图三:
用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状,图中3个正方形的面积之间的关系可表示为_______________.
7、如图在△ABC中,AB=50m,AC=40m,∠C=90°,若点P从点C开始沿着CA边想点A以每秒4m/s的速度移动,,同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着CB匀速移动,几秒后,S△PCQ的面积等于S△ABC四分之一?
家庭作业
一、选择题:
1、下列说法中错误的是()
A、若⊿ABC中,a2=c2-b2,则⊿ABC为直接三角形
B、若⊿ABC中,a2+b2≠c2,则⊿ABC不是直接三角形
C、若⊿ABC中,c2=a2+b2,则∠C为直角
D、若⊿ABC为直角三角形,则任何一个角都可以是直角
2、⊿ABC在下列条件下不是直接三角形的是()
A、b2=a2-c2B、a2:
b2:
c2=1:
2:
3C、∠C=∠A-∠BD、∠A:
∠B:
∠C=3:
4:
5
3、在⊿ABC中,如果∠A=2∠B=3∠C,则⊿ABC是()
A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形
4、已知⊿ABC中,BC=6,AC=8,AB=10,O为三条角平分线的交点,则O到各边的距离为()
A、4B、6C、2D、无法求出
二、、填空题:
如图,长方形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,将纸片折叠,使点A和的C重合,
折痕为EF,则EF的长为。
三、解答题
在Rt⊿ABC中,∠C=900,BC=6cm,CA=8cm,动点P从点C出发,以每秒2cm的速度沿CA、AB运动到B,则从C点出发经过几秒,可使S⊿BCP=
S⊿ABC..
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