全等三角形之类比探究讲义及答案.docx
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全等三角形之类比探究讲义及答案
全等三角形之类比探究(讲义)
Ø知识点睛
1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合,由特殊情形到一般情形(或由简单情形到复杂情形)逐步深入,解决思想方法一脉相承的综合性题目,常以几何综合题为主.
2.解决类比探究问题的一般方法:
(1)根据题干条件,结合分支条件先解决第一问;
(2)用解决第
(1)问的方法类比解决下一问,整体框架照搬.
整体框架照搬包括照搬字母,照搬辅助线,照搬思路.
3.常见几何特征及做法:
见中点,考虑倍长中线.
Ø
精讲精练
1.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,
求证:
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD-BE.
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,请直接写出DE,AD,BE之间的数量关系.
2.
问题情境:
如图1,在△ABD与△CAE中,BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易证:
△ABD≌△CAE.
特例探究:
如图2,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.求证:
△ABD≌△CAE.
归纳证明:
如图3,在等边△ABC中,点D,E分别在边CB,BA的延长线上,且BD=AE.△ABD与△CAE是否全等?
如果全等,请证明;如果不全等,请说明理由.
拓展应用:
如图4,在等腰三角形中,AB=AC,点O是AC边上一点,且满足∠OBA=∠BAC=50°,点D,E分别在OB,BA的延长线上.若BD=AE,∠AEC=32°,求∠BAD的度数.
3.
以△ABC的边AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,∠BAE=∠CAD=90°,AB=AE,AC=AD,M是边BC的中点,连接AM,DE.
(1)如图1,在△ABC中,当∠BAC=90°时,求AM与DE的数量关系和位置关系.
(2)如图2,当△ABC为一般三角形时,
(1)中的结论是否成立,并说明理由.
(3)如图3,若以△ABC的边AB,AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,其他条件不变,
(1)中的结论是否成立?
并说明理由.
【参考答案】
1.证明:
(1)如图,
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE,DC=EB
∴DE=CE+DC
=AD+BE
(2)如图,
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠CBE+∠2=90°
∴∠1=∠CBE
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE,DC=EB
∴DE=CE-DC
=AD-BE
(3)DE=BE-AD,理由如下:
如图,
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠2=90°
∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB(AAS)
∴AD=CE,DC=EB
∴DE=DC-CE
=BE-AD
2.特例探究:
证明略
归纳证明:
全等,证明略
拓展应用:
∠BAD的度数为18°
3.解:
(1)DE=2AM,AM⊥DE,理由如下:
如图,延长AM到F,使MF=AM,连接BF,延长MA交DE于G.
∴AF=2AM
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA(SAS)
∴FB=AC,∠3=∠4
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE(SAS)
∴AF=ED,∠5=∠6
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠7=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
(2)
(1)中的结论成立,理由如下:
如图,延长AM到F,使MF=AM,连接BF,延长MA交DE于G.
∴AF=2AM
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA(SAS)
∴FB=AC,∠3=∠4
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE(SAS)
∴AF=ED,∠5=∠6
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠7=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
(3)
(1)中的结论成立,理由如下:
如图,延长AM到F,使MF=AM,交DE于G,连接BF.
∴AF=2AM
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BMF和△CMA中
∴△BMF≌△CMA(SAS)
∴FB=AC,∠FBM=∠ACM
∴BF∥AC
∴∠FBA+∠BAC=180°
∵∠BAE=∠CAD=90°
∠BAC=∠BAE+∠CAD-∠DAE
∴∠DAE+∠BAC=180°
∴∠FBA=∠DAE
∵AC=AD
∴BF=AD
在△FBA和△DAE中
∴△FBA≌△DAE(SAS)
∴AF=ED,∠BAF=∠AED
∴DE=2AM
∵∠BAE=90°
∴∠BAF+∠EAF=90°
∴∠AED+∠EAF=90°
∴∠EGA=90°
即AM⊥DE
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