中考数学菱形专题练习.docx
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中考数学菱形专题练习
中考菱形专题 附参考答案
1、(2012•泸州)如图,菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O,若 AC=6,BD=4,则菱
形 ABCD 的周长是()
A.24B.16C.4D.2
D
G
O
H
B
3 题图
2、(2013 凉山州)如图,菱形 ABCD 中,∠B=60°,AB=4,则以 AC 为边长的正
方形 ACEF 的周长为()A.14B.15C.16D.17
3、(2013•绵阳)如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB
于点 H,且 DH 与 AC 交于 G,则 GH=()A. 28 cm B. 21 cm C. 28 cm D. 25 cm
25201521
4、(2013•内江)已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8,M、N 分别是边 BC、
CD 的中点,P 是对角线 BD 上一点,则 PM+PN 的最小值=.
D
C
A
B D
AP
C
(5 题)
B
E
E F
C
5、(2013• 淄博)如图,菱形纸片 ABCD 中,∠ A=60 °,折叠菱形纸片 ABCD,
使点 C 落在 DP(P 为 AB 中点)所在的直线上,得到经过点 D 的折痕 DE.则∠DEC
的大小为(A)78°(B)75°(C)60°(D)45°
6、(2013•黔西南州)如图 5 所示,菱形 ABCD 的边长为 4,且 AE ⊥ BC 于 E,
AF ⊥ CD 于 F,∠B=60°,则菱形的面积为_________。
7、(2013,河北).如图 4,菱形 ABCD 中,点 M,N 在 AC 上,ME⊥AD, NF⊥AB.
若 NF = NM = 2,ME = 3,则 AN =
8、(2013•安徽)如图,菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8,点 P 是对角线
AC 上的一个动点,点 M、N 分别是边 AB、BC 的中点,则 PM+ PN 的最小值是
___________.
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9、(2013•临沂)如图,菱形 ABCD 中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂
足分别为 E,F,连接
,则AEF 的面积是.
D
A
P
C
M
B
N
第 8 题图
10、(2013•黄冈)如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC、BD 相交于点 O,DH⊥
AB 于 H,连接 OH,求证:
∠DHO=∠DCO.
10 题图
11、(2013•遂宁)如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂
足分别是 E、F,并且 DE=DF.求证:
(
)ADE≌△CDF;
(2)四边形 ABCD 是菱形.
12、(2013•恩施州)如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD,E、F、G、H
分别为边 AB、BC、CD、DA 的中点,求证:
四边形 EFGH 为菱形.
13、(2013•常州)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC、∠ECA 是△ABC
的两个外角,AD 平分∠FAC,CD 平分∠ECA.
求证:
四边形 ABCD 是菱形.
14、(2013•南宁)如图,在菱形 ABCD 中,AC 为对角线,点 E、F 分别是边 BC、
AD 的中点.(
)求证:
ABE≌△CDF;
(2)若∠B=60°,AB=4,求线段 AE 的长.
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15、(2013 泰安)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,CB=CD,E 是 CD 上一点,BE
交 AC 于 F,连接 DF.
(1)证明:
∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE.
(2)若 AB∥CD,
试证明四边形 ABCD 是菱形;(3)在
(2)的条件下,试确定 E 点的位置,∠EFD=
∠BCD,并说明理由.
16、(2013•乌鲁木齐)如图.在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AE 平分
∠BAC,分别于 BC、CD 交于 E、F,EH⊥AB 于 H.连接 FH,求证:
四边形 CFHE
是菱形.
17、(2013•临沂)如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中点,
过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF.
(1)求证:
AF=DC;
(2)若 AB⊥AC,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论.
18、(2013•龙岩)如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC 与 BD 交于点 O ,且
AC = 80 , BD = 60 .动点 M、N 分别以每秒1个单位的速度从点A、D 同时出发,分
别沿 AOD 和 DA 运动,当点N 到达点 A 时,M、N 同时停止运动.设运动时
间为 t 秒.
(1)求菱形 ABCD 的周长;
(2)记 D DMN 的面积为 S, 求 S 关于 t 的
解析式,并求 S 的最大值;(3)当 t=30 秒时,在线段 OD 的垂直平分线上是否
存在点 P,使得∠DPO=∠DON?
若存在,这样的点 P 有几个?
并求出点 P 到线段
OD 的距离;若不存在,请说明理由.
(第 18 题图)
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答案
考点:
菱形的性质;等边三角形的判定与性质;正方形的性质.
分析:
根据菱形得出 AB=BC,得出等边三角形 ABC,求出 AC,长,根据正方形的性质得出
AF=EF=EC=AC=4,求出即可.
解答:
解:
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AB=BC,
∵∠B=60°,
∴△ABC 是等边三角形,
∴AC=AB=4,
∴正方形 ACEF 的周长是 AC+CE+EF+AF=4×4=16,
故选 C.
(2013•绵阳)如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB 于点 H,且
DH 与 AC 交于 G,则 GH=()
A.
28 21 28 25
25 20 15 21
D
G
O
H
(2013•内江)已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8,M、N 分别是边 BC、CD 的中点,
B
P 是对角线 BD 上一点,则 PM+PN 的最小值=5.
10 题图
考点:
轴对称-最短路线问题;菱形的性质.
分析:
作 M 关于 BD 的对称点 Q,连接 NQ,交 BD 于 P,连接 MP,此时 MP+NP 的值最小,连
接 AC,求出 OC、OB,根据勾股定理求出 BC 长,证出 MP+NP=QN=BC,即可得出答案.
解答:
解:
作 M 关于 BD 的对称点 Q,连接 NQ,交 BD 于 P,连接 MP,此时 MP+NP 的值最小,连
接 AC,
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,
即 Q 在 AB 上,
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∵MQ⊥BD,
∴AC∥MQ,
∵M 为 BC 中点,
∴Q 为 AB 中点,
∵N 为 CD 中点,四边形 ABCD 是菱形,
∴BQ∥CD,BQ=CN,
∴四边形 BQNC 是平行四边形,
∴NQ=BC,
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴CO=AC=3,BO=BD=4,
在
BOC 中,由勾股定理得:
BC=5,
即 NQ=5,
∴MP+NP=QP+NP=QN=5,
故答案为:
5.
点评:
本题考查了轴对称﹣最短路线问题,平行四边形的性质和判定,菱形的性质,勾股定理的
应用,解此题的关键是能根据轴对称找出 P 的位置.
(2013•遂宁)如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是 E、F,
并且 DE=DF.求证:
(1
ADE≌△CDF;
(2)四边形 ABCD 是菱形.
(2013•恩施州)如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD,E、F、G、H 分别为边 AB、
BC、CD、DA 的中点,求证:
四边形 EFGH 为菱形.
(2013•黄冈)如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC、BD 相交于点 O,DH⊥AB 于 H,连
接 OH,求证:
∠DHO=∠DCO.
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17 题图
(2013 龙岩)如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC 与 BD 交于点 O ,且 AC = 80 ,
BD = 60 .动点 M、 分别以每秒1个单位的速度从点 、 同时出发,分别沿 AOD
和 DA 运动,当点N 到达点 A 时,M、N 同时停止运动.设运动时间为 秒.
(1)求菱形 ABCD 的周长;
(2)记 D DMN 的面积为 S, 求 S 关于 t 的解析式,并求 S 的最大值;
(3)当 t=30 秒时,在线段 OD 的垂直平分线上是否存在点 P,使得∠DPO=∠DON?
若存在,这样的点 P 有几个?
并求出点 P 到线段 OD 的距离;若不存在,请说明理由.
(第 25 题图)
.
(1)在菱形 ABCD 中,
∵AC⊥BD
∴AD= 302 + 402 =50.
∴菱形 ABCD 的周长为 200. ····························· 4 分
(2) 过点 M 作 MP⊥AD,垂足为点 P.
①当 0<t≤40
∵ Sin∠OAD =
MP OD 3
= =
AM AD 5
3
5
1
∴ S =⨯ DN ∙ MP
2
10
t 2 ························································································································6 分
②当 40 MPAO MDAD 4 5 非常实用优秀的教育电子 word 文档 ∴ S ∆DMN = 1 DN ∙ MP 22 55 ⎧ 32 ∴ S =⎨ ⎪- 2 (t - 35)2 + 490,40 < t ≤ 50 ⎪⎩ 5 当 0<t≤40 时,S 随 t 的增大而增大,当 t=40 时,最大值为 480. 当 40<t≤50 时,S 随 t 的增大而减小,当 t=40 时,最大值为 480. 综上所述,S 的最大值为 480. ····························································································· 9 分 (3)存在 2 个点 P,使得∠DPO=∠DON.········································································ 10 分 方法一: 过点 N 作 NF⊥OD 于点 F, 40120 505, 90 == 18. 505 ∴OF=12,∴ tan ∠NOD = NF 24 OF 12 作 ∠NOD 的平分线交 NF 于点 G,过点 G 作 GH⊥ON 于点 H. ∴ S ∆ONF 1 = OF ∙ NF = S 2 ∆OGN + S ∆OFG 1 1 1 = OF ∙ FG + ON ∙ GH = (OF + ON ) ∙ FG 2 2 2 OF ∙ NF12 + 2424 == 24 ∴ GF 2 OF 12 1 + 5 设 OD 中垂线与 OD 的交点为 K,由对称性可知: 11 22 ∴ DK 15 2 tan ∠DPK = = = PK PK 1 + 5 15( 5 + 1) 2 根据菱形的对称性可知,在线段 OD 的下方存在与点 P 关于 OD 轴对称的点 P ' . 2 .··························································14 分 方法二: 如图,作 ON 的垂直平分线,交 EF 于点 I,连结 OI,IN. 过点 N 作 NG⊥OD,NH⊥EF,垂足分别为 G,H. 当 t=30 时,DN=OD=30,易知△DNG∽△DAO, ∴ 即 DN NG DG = = . DA AO OD 30 NG DG = = . 50 40 30 非常实用优秀的教育电子 word 文档 ∴NG=24,DG=18.·······································································································10 分 ∵EF 垂直平分 OD, ∴OE= ED=15,EG=NH=3. ······················································································11 分 设 OI=R,EI=x,则 在 OEI 中,有 R2=152+x2① 在 NIH 中,有 R2=32+(24-x)2② ⎧15 x = 2 由①、②可得: ⎨ ⎪R = 15 5 ⎪⎩2 2 根据对称性可得,在 BD 下方还存在一个点 P ' 也满足条件. 15( 5 + 1) 2 (2013 常州)如图,在ABC 中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC、∠ECA 是△ABC 的两个外角, AD 平分∠FAC,CD 平分∠ECA. 求证: 四边形 ABCD 是菱形. (2013•南京)如图,将菱形纸片 ABCD 折迭,使点 A 恰好落在菱形的对 称中心 O 处,折痕为 EF。 若菱形 ABCD 的边长为 2 cm, ∠A=120︒,则 EF=cm。 (2013•南通)如图,菱形 ABCD 中,AB = 5,∠BCD =120°,则对角线 AC 的长是 A.20B.15C.10D.5 (2013•南宁)如图,在菱形 ABCD 中,AC 为对角线,点 E、F 分别是边 BC、AD 的中点. (1)求证: △ABE≌△CDF; (2)若∠B=60°,AB=4,求线段 AE 的长. 非常实用优秀的教育电子 word 文档 (2013 泰安)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,CB=CD,E 是 CD 上一点,BE 交 AC 于 F, 连接 DF. (1)证明: ∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE. (2)若 AB∥CD,试证明四边形 ABCD 是菱形; (3)在 (2)的条件下,试确定 E 点的位置,∠EFD=∠BCD,并说明理由. (2013• 潍坊)如图,ABCD 是对角线互相垂直的四边 形,且 OB=OD,请你添加一个适当的条件 ____________,使 ABCD 成为菱形.(只需添加一个 即可) (2013• 淄博)如图,菱形纸片 ABCD 中,∠ A=60° ,折叠菱形纸片 ABCD , 使点 C 落在 DP(P 为 AB 中点)所在的直线上,得到经过点 D 的折痕 DE.则∠DEC 的大小为 D C (A)78° (B)75° (C)60° (D)45° A P C B E (2013•黔西南州)如图 5 所示,菱形 ABCD 的边长为 4,且 AE ⊥BC ∠B=60°,则菱形的面积为_________。 (2013•乌鲁木齐)如图.在△ ( 题 A B D EF C 非常实用优秀的教育电子 word 文档 (2013•乌鲁木齐)如图.在△ ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AE 平分∠BAC,分别于 BC、CD 交于 E、F,EH⊥AB 于 H.连接 FH,求证: 四边形 CFHE 是菱形. (2013,河北).如图4,菱形ABCD中,点M,N在AC上,ME⊥AD, NF⊥AB. 若 NF = NM = 2,ME = 3,则 AN = A.3 C.5 B.4 (2013•安徽)如图,菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8,点 P 是对角线 AC 上的一 个动点,点 M、 N 分别是边 AB、BC 的中点,则 PM+PN 的最小值是________5_____. D A P C M B N 第 13 题图 (2013•临沂)如图,菱形 ABCD 中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为 E,F, 连接 EF AEF 的面积是3. (2013•临沂)如图,在△ ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 的中点,过点 A 作 BC 的 平行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF. (1)求证: AF=DC; (2)若 AB⊥AC,试判断四边形 ADCF 的形状,并证明你的结论. 非常实用优秀的教育电子 word 文档 非常实用优秀的教育电子 word 文档
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