将军饮马模型.docx
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将军饮马模型.docx
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将军饮马模型
焙军欲鸟於理
将军饮马模型
一、背景知识:
【传说】
早在古罗马时代,传说亚历ft大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.
将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的军营B开会,应该怎样疋才能使路程最短?
这个问题的答案并不难,据说海伦略加思索就解决了它.从此以后,这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.
【问题原型】将军饮马造桥选址费马点
【涉及知识】两点之间线段最短,垂线段最短;
三角形两边三边尖系;轴对称:
平移;
【解题思路】找对称点,实现折转直
二、将军饮马间题常见模型
1.两定一动型:
两龙点到一动点的距离和最小
例1:
在圧直线/上找一个动点P,使动点P到两个泄点A与B的距离之和最小,即PA+PB
最小.
作法:
连接AB,与直线/的交点Q,
Q即为所要寻找的点,即当动点P跑到了点Q处,
PA+PB最小,且最小值等于AB.
原理:
两点之间线段最短。
证明:
连接AB,与直线/的交点Q,P为直线/上任意一点,
在Z1PAB中,由三角形三边尖系可知:
AP+PB全AB(当且仅当PQ重合时取二)
将军欲鸟找理
例2:
在左宜线/上找一个动点P,使动点P到两个泄点A与B的距离之和最小,
信去:
作泄点B尖于泄直线/的对称点C,连接AC,与直线1的交点Q即为所要寻找的点,即当动点P跑到了点Q处,PA+PB和最小,且最小值等于AC.
原理:
两点之间.线段最短
证明:
连接AC,与直线/的交点Q,P为直线/上任意一点,在ZJPAC中,由三角形三边尖系可知:
AP+PC全AC(当且仅当PQ重合时取二)
2.两动一定型
例3:
在ZMON的内部有一点A,在0M上找一点B,在ON上找一点C,使得ABAC周
长最短・
作法:
作点A尖于0M的对称点A\作点A尖于ON的对称点X、,连接AA与0M交于点B,与ON交于点
C,连接AB,AC,AABC即为所求.
原理:
两虫之间'线段最短
将军欲鸟找理
例4:
在ZMON的内部有点A和点B,在OM上找一点C,在ON上找一点D,使得四边形ABCD周长最短.
作法:
作点A尖于0M的对称点A\作点B尖于ON的对称点B,旌接AB爲与OM交于点C,与ON交
于点D,连接AC,BD,AB,四边形ABCD即为所求.
原理:
两点之间,线段最短
3•两走两动型最值
例5:
已知A、B是两个泄点,在立直线/上找两个动点M与N,且MN长度等于立长〃(动点M位于动点N左侧),使AM+MN+NB的值最小.
提示:
存在泄长的动点问题一立要考虑平移
A1―*2
作法一:
将点A向右平移长度〃得到点A\作A,尖于直线/的对称点A:
连接MB交直线/于点N,将点N向左平移长度〃,得到点M。
作法二:
作点A尖于直线/的对称点Aj,将点A1向右平移长度〃得到点A?
连接A2B,交直线/于点Q,将点Q向左平移长度〃,得到点Q。
原理:
两点之间,线段最短,最小值为A“B+MN
将军欲鸟找理
例6:
(造桥选址)将军每日需骑马从军营出发,去河岸对侧的瞭望台观察敌情,已知河
流的宽度为30米,请问,在何地修浮桥,可使得将军每日的行程最短?
瞭望台
例6:
直线脇2,在直线//上找一个点C,直线“上找一个点D使得CD丄“•且
AC+BD+CD最短.
信去:
将点A沿CD方向向下平移CD长度〃至点AS连接AB刘2于点D.过点D作DC丄“于点C,连接AC.则桥CD即为所求.此时最小值为AB+CD
原理:
两点之间,线段最短,
4•垂线段最短型例7:
在ZMON的内部有一点A.在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得AB+BC最短.
原理:
垂线段最短
点A是泄点,OM,ON是左线,
点B、点C是OM'ON上要找的点5是动点.
作法:
作点A尖于OM的对称点A;过点&作AC丄ON,
将军欲鸟找理
例&在左直线/上找一个动点P,使动点P到两个泄点A与B的距离之差最小,即PA-PB最小.
作法:
连接AB作AB的中垂线与/的交点,
此时IPA-PB1=0
原理:
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
PBI最大
例9:
在左直线/上找一个动点C,使动点C到两个宦点A与B的距离之差最大,即IPA•
例10:
在定直线/上找一个动点C,使动点C到两个定点A与B的距离之差最大,即IPA•
PBI最大
作法:
作点B尖于/的对称点B,连接AB,
交交/于点P即为所求,最大值为AB的长度。
原理:
三角形任意两边之差小于第三边
将军欲鸟找理
典型例题三角形
1•如图,在等边AABC中,AB=6,AD丄BC,E是AC上的一点,M是AD上的一点,
且AE=2,求EM+EC的最小值
解:
点c尖于直线AD的对称点是点B,连接BE,交AD于点M,则ME+MD最小,过点B作BH丄AC于点H,
贝IJEH=AH-AE=3-2=1,BH= ・32=3 在直角ABHE中,BE=VBFP+HEA=、/(3\n3)F+頁2、厅 2•如图,在祝角・ABC中,AB二如2,zBAC=45。 ,2BAC的平破交BC于原D,M、N分别是AD和AB上的动点. 则十MN的最小值是 解: 作忌B矢于AD的对称庶过点B作BE丄AB于点E•交AD于点F,刖坝段B・E的坛就是BM+MN换小傅左等腰RUAEB1中f 根翳勾股定理得到•BE=4 3•如長,ABC中,AB=2,zBAC=30°•若在AC・AB上各取一点MN,使BfvAMN的恒最小,则这个晟4佢 解: 作AB尖于AC的対称线段AB,, 过庶B•作丁N丄AB『垂足为N•交AC于篇M,H\JB・N=MB4-MN=MB-MN B•N的长就是MB^MN的最小值 则zB'AN=2zBAC=60crAB*=AB=2,zANB=90。 zB=30\ 在宜;ITABN中,勾股定理 BN=7^ 将军欲鸟找理 Part2%正方形 1•如图,正方形ABCD的边长为8小4在DC上.且DM二2,N是ACMT点,DN+MN的最小值为 即左宜裁AC上求一点N,使DN+MN屐小 解: 故作点D矢于AC的对称点B,连接BM,交AC于点Nc则DN十MN二BN丰MN二 BM鶴BM鵬就是DN+MN斓小值 角二BCM中.CM=6fBC=8f则BM=10 故DN+MN的最小值110 2•如哥阳示,正方形ABCD的面积为12,MBE是等边三角形,’点E在正方形ABCD内.在对角妊AC上有VP,便 PD-PE的和最小侧这个最小值为() A-2#3B・2p6C.3D•寸6 解: 即左AC±求一点P•使PE+PD的值最小 忌D夭于直线AC的对称原是羔B. 连接BE交AC于点Pt则BE=PB+PE二PD+PE, BE的氏就是PD+PE的最小值BE=AB=2人3・在边长为2on的正方形 ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对甬线AC±t)点,连接PB、PQ,则厶PBQ周长的 最小德为6(结果不取近似值)・ 解: 在AC上求一点P.使PB+PQ的道最小 ••忘B另于AC诙称盍是D点, ••连接DQ,与AC的交点P就是满足条件的点 DQ二PD+PQ二PB+PQ 故DQ的题是PB+PQ燿小值在直角二CDQ中,CQ=1rCD=2根务勾股定理, 得二/
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