大学物理习题答案第一章.docx

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大学物理习题答案第一章

[习题解答]

1-3如题1-3图所示，汽车从A地出发，向北行驶60km到达B地，然后向东行驶60km到达C地，最后向东北行驶50km到达D地。

求汽车行驶的总路程和总位移。

解汽车行驶的总路程为

；

汽车的总位移的大小为

r=

位移的方向沿东北方向，与方向一致。

1-4现有一矢量R是时间t的函数，问与在一般情况下是否相等？

为什么？

解与在一般情况下是不相等的。

因为前者是对矢量R的绝对值（大小或长度）求导，表示矢量R的大小随时间的变化率；而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量R大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。

如果矢量R方向不变只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。

1-5一质点沿直线L运动，其位置与时间的关系为r=6t22t3，r和t的单位分别是m和s。

求：

（1）第二秒内的平均速度；

（2）第三秒末和第四秒末的速度；

（3）第三秒末和第四秒末的加速度。

解取直线L的正方向为x轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿x轴的正方向，若为负值表示，该速度或加速度沿x轴的反方向。

（1）第二秒内的平均速度

ms1；

（2）第三秒末的速度

因为，将t=3s代入，就求得第三秒末的速度，为

v3=18ms1；

用同样的方法可以求得第四秒末的速度，为

v4=48ms1；

（3）第三秒末的加速度

因为，将t=3s代入，就求得第三秒末的加速度，为

a3=24ms2；

用同样的方法可以求得第四秒末的加速度，为

v4=36ms2.

1-6一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为和，试证明：

（1） vdv=ads；

（2）当a为常量时，式v2=v02+2a（ss0）成立。

解

（1）

；

（2）对上式积分，等号左边为

 ,

等号右边为

 ,

于是得

 ,

即

.

1-7质点沿直线运动，在经过时间t后它离该直线上某定点O的距离s满足关系式：

s=（t1）2（t2），s和t的单位分别是m和s。

求：

（1）当质点经过O点时的速度和加速度；

（2）当质点的速度为零时它离开O点的距离；

（3）当质点的加速度为零时它离开O点的距离；

（4）当质点的速度为12ms1时它的加速度。

解：

取质点沿x轴运动，取坐标原点为定点O。

（1）质点经过O点时，即s=0，由式

 ,

可以解得

t=s，t=s.

当t=1s时，

 .

当t=2s时，

v=ms-2，a=ms-2.

（2）质点的速度为零，即

上式可化为

 ,

解得

t=s和t=s.

当t=1s时，质点正好处于O点，即离开O点的距离为0m；当t=5/3s时，质点离开O点的距离为m。

（3）质点的加速度为零，即

 ,

上式可化为

3t-4=0 ,

解得

t=s.

这时离开O点的距离为m。

（4）质点的速度为12ms1，即

 ,

由此解得

将t值代入加速度的表示式

 ,

求得的加速度分别为

a=ms-2和a=ms-2.

1-8一质点沿某直线作减速运动，其加速度为a=Cv2，C是常量。

若t=0时质点的速度为v0，并处于s0的位置上，求任意时刻t质点的速度和位置。

解以t=0时刻质点的位置为坐标原点O，取水平线为x轴，质点就沿x轴运动。

因为是直线运动，矢量可以用带有正负号的标量来表示。

 ,

于是有

 .

两边分别积分，得

.

因为t0=0，所以上是变为

 ,

即

 ,

（1）

上式就是任意时刻质点的速度表达式。

因为

，dx=vdt,

将式

（1）代入上式，得

 ,

两边分别积分，得

 .

于是，任意时刻质点的位置表达式为

.

1-9质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为a0，质点出发后每经过时间，加速度均匀增加b。

求经过t时间后质点的速度和加速度。

解可以把质点运动所沿的直线定为直线L，并设初始时刻质点处于固定点O上。

根据题意，质点运动的加速度应该表示为

.

由速度公式

可以求得经过t时间质点的速度

.

另外，根据位移公式可以求得经过t时间质点的位移

 .

1-10质点沿直线y=2x+1m运动，某时刻位于x1=m处，经过了s到达x2=m处。

求质点在此过程中的平均速度。

解根据定义，平均速度应表示为

 ,

其中

 .

由已知条件找出x和y，就可以求得平均速度。

 .

根据直线方程y=2x+1，可求得

y1=2x1+1=m，y2=2x2+1=m.

所以

 .

平均速度为

 .

也可以用下面的方式表示

；

与x轴的夹角为

 .

1-11质点运动的位置与时间的关系为x=5+t2，y=3+5tt2，z=1+2t2,求第二秒末质点的速度和加速度，长度和时间的单位分别是米和秒。

解已知质点运动轨道的参量方程为

 .

质点任意时刻的速度和加速度分别为

和 .

质点在第二秒末的速度和加速度就是由以上两式求得的。

将t=2s代入上式，就得到质点在第二秒末的速度和加速度，分别为

和 .

1-12设质点的位置与时间的关系为x=x（t），y=y（t），在计算质点的速度和加速度时，如果先求出，然后根据和求得结果；还可以用另一种方法计算：

先算出速度和加速度分量，再合成，得到的结果为v=和。

你认为哪一组结果正确？

为什么？

解第二组结果是正确的。

而在一般情况下第一组结果不正确，这是因为在一般情况下

 .

速度和加速度中的r是质点的位置矢量，不仅有大小而且有方向，微分时，既要对大小微分也要对方向微分。

第一组结果的错误就在于，只对位置矢量的大小微分，而没有对位置矢量的方向微分。

1-13火车以匀加速运动驶离站台。

当火车刚开动时，站在第一节车厢前端相对应的站台位置上的静止观察者发现，第一节车厢从其身边驶过的时间是s。

问第九节车厢驶过此观察者身边需要多少时间？

解设火车的加速度为a，每节车厢的长度为l，第一节车厢从观察者身边通过所需时间为t1，t1满足

.

（1）

前八节车厢通过观察者身边所需时间为t2，前九节车厢通过观察者身边所需时间为t3，并可列出下面两个方程式

 ,

（2）

 （3）

由式

（1）得

 .

将上式代入式

（2）和式（3），分别得到

 ,

 .

第九节车厢通过观察者身边所需时间为

t=t3t2=ss=s.

1-14一架开始静止的升降机以加速度ms2上升，当上升速度达到ms1时，有一螺帽自升降机的天花板上落下，天花板与升降机的底面相距m。

计算：

（1）螺帽从天花板落到升降机的底面所需要的时间；

（2）螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离。

解设螺帽落到升降机地面所需时间为t，在这段时间内螺帽下落的距离为h1，同时升降机上升的距离为h2。

（1）若以螺帽为研究对象，可取y轴竖直向下，t=0时，螺帽的速度为v0=ms1，加速度为g，则有

（1）

若以升降机为研究对象，可取y轴竖直向上，t=0时，升降机的速度为v0=ms1，加速度为a=ms2，这时应有

（2）

显然h=h1+h2就是升降机的天花板与底面之间的距离，等于m。

于是

（3）

有式（3）解得

 .

（2）螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离，就是上面所说的h1，将上面所求得的t代入式

（1），可以得到

.

1-15设火箭引信的燃烧时间为s，今在与水平面成45角的方向将火箭发射出去，欲使火箭在弹道的最高点爆炸，问必须以多大的初速度发射火箭？

解以火箭发射点为原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴，建立坐标系。

设发射火箭的初速度为v0，则其竖直向上的分量为

竖直向上的速度为

 .

火箭到达最高点时，vy=0，由此可以求得初速度为

 .

1-16倾斜上抛一小球，抛出时初速度与水平面成60角，秒钟后小球仍然斜向上升，但飞行方向与水平面成45角。

试求：

（1）小球到达最高点的时间；

（2）小球在最高点的速度。

解以抛设点为原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴，建立坐标系。

（1）为求得小球到达最高点的时间，必须先求出它的初速度v0。

因为v0与水平方向成60角，所以可列出下面的方程式

.

当t=1s时，速度v与水平方向成45，必定有，所以

 ,

由此解得

 .

如果小球到达最高点的时间为t，则有

 ,

由此解得

 .

（2）小球到达最高点时的速度是沿水平方向的，其大小为

 .

1-17质点作曲线运动，其角速度为常量，质点位置的极径与时间的关系可以表示为，其中0和都是常量。

求质点的径向速度和径向加速度，横向速度和横向加速度。

解质点的径向速度为

 ,

横向速度为

 .

质点的径向加速度为

 ,

横向加速度为

 .

（计算过程用到了为常量的条件。

）

1-18质点沿任意曲线运动,t时刻质点的极坐标为,，试求此时刻质点的速度、加速度，并写出质点运动的轨道方程。

解t时刻质点的速度为

 ,

此时刻质点的加速度为

 .

题目给出了轨道的参量方程，由参量方程消去参变量t，就可以得到质点运动的轨道方程。

由轨道的参量方程的第二式得

 ,

将上式代入轨道的参量方程的第一式，得

 ,

这就是质点运动的轨道方程。

1-19质点沿半径为R的圆周运动，角速度为=ct，其中c是常量。

试在直角坐标系和平面极坐标系中分别写出质点的位置矢量、速度和加速度的表达式。

解建立如图1-12所示的坐标系，直角坐标系的原点与极坐标的极点相重合，并且就是质点运动所沿的圆周的圆心。

显然直角坐标与极坐标有如下关系

 ,

（1）

图1-12

式中=R，就是圆周的半径。

相反的关系可以表示为

. 

（2）

设t=0时，质点处于圆周与x轴的交点上。

由题已知

 ,

所以

（3）

将式（3）代入式

（1），得

 .

于是质点的位置矢量可以表示为

；

质点的运动速度可以表示为

；

质点的运动加速度可以表示为

在极坐标中质点的位置矢量可以表示为

；

质点的速度为

；

质点的加速度为

 .

1-20质点按照s=bt的规律沿半径为R的圆周运动，其中s是质点运动的路程，b、c是常量，并且b2>cR。

问当切向加速度与法向加速度大小相等时，质点运动了多少时间？

解质点运动的速率为

 ,

切向加速度为

切向加速度的大小可以写为at=c。

法向加速度可以表示为

 .

切向加速度与法向加速度大小相等，即

 ,

由此解得

 .

讨论：

因为

v=bct,

所以，当t=0时，v=b，当t=b/c时，v=0。

这表示在0到b/c时间内，质点作减速运动。

而在t=b/c之后，质点沿反方向作圆周运动，切向加速度为c，速率不断增大。

可见质点有两个机会满足“切向加速度与法向加速度大小相等”。

一个机会是在0到b/c之间，即

 ,

为什么t=t1是处于0到b/c之间呢？

根据已知条件b2>cR，也就是b>，所以必定有b/c>t1>0。

另一个机会是在t=b/c之后，即

 .

图1-13a

1-21质点从倾角为=30的斜面上的O点被抛出，初速度的方向与水平线的夹角为=30，如图1-13a所示，初速度的大小为v0=ms1。

若忽略空气的阻力，试求：

（1）质点落在斜面上的B点离开O点的距离；

（2）在t=s时，质点的速度、切向加速度和法向加速度。

解建立如图所示的坐标系：

以抛射点O为坐标原点，x轴沿水平向右，y轴竖直向上。

这时质点的抛体运动可以看作为x方向的匀速直线运动和y方向的匀变速直线运动的合成，并且有

 .

（1）设B点到O点的距离为l，则B点的坐标可以表示为

如果质点到达B点的时间为，则可以列出下面的方程式

（1）

（2）

以上两式联立，可解得

（3）

将式（3）代入式

（1），得

 .

（2）设在t=s时质点到达C点，此时

 ,

 .

所以速度的大小为

图1-13b

 .

速度与y轴负方向的夹角为

.

现在求C点的切向加速度at和法向加速度an。

由图1-13b可见，质点的总加速度就是重力加速度g，方向与vy一致，而at和an则是它的两个分矢量。

并且由于at与v的方向一致，所以at与g之间的夹角就是v与vy之间的夹角，即角。

于是可以得到

 ,

 .

图1-14

1-23用绳子系一物体，使它在竖直平面内作圆周运动。

问物体在什么位置上绳子的张力最大？

在什么位置上张力最小？

解：

设物体在任意位置上细绳与竖直方向的夹角为，如图1-14所示。

这时物体受到两个力的作用，即绳子的张力T和重力mg，并且下面的关系成立

 .

所以可把绳子张力的大小表示为

 .

由上式可以得到：

当物体处于最低点时，=，张力为最大；当物体处于最高点时，=0，张力为最小。

1-24质量为m的小球用长度为l的细绳悬挂于天花板之下，如图1-15所示。

当小球被推动后在水平面内作匀速圆周运动，角速度为。

求细绳与竖直方向的夹角。

图1-15

解小球受到绳子的张力T和重力mg的作用，并且在竖直方向上无加速度，所以有

（1）

在水平方向上，小球有向心加速度

 ,

张力T的水平分量提供了小球的向心力，故有

（2）

由式

（1）和式

（2）可以解得

 ,

.

1-25在光滑的水平桌面上并排放置两个物体A和B，它们互相接触，质量分

别为mA=kg，mB=kg。

今用F=N的水平力按图1-16所示的方向作用于物体A，并通过物体A作用于物体B。

求：

图1-16

（1）两物体的加速度；

（2） A对B的作用力；

（3） B对A的作用力。

解取水平向右为x轴。

（1）以两物体A和B为研究对象，它们在水平方向上受到力F的作用，所以在该方向上应有

 .

（2）设A对B的作用力为F1，沿x轴的正方向，物体B沿x方向的加速度为a，可列出下面的方程式

 .

（3）设B对A的作用力为F2，沿x轴的反方向，物体A沿x方向的加速度为a，可列出下面的方程式

.

图1-17a

1-26有A和B两个物体，质量分别为mA=100kg，mB=60kg，放置于如图1-17a所示的装置上。

如果斜面与物体之间无摩擦，滑轮和绳子的质量都可以忽略，问：

（1）物体如何运动？

（2）物体运动的加速度多大？

（3）绳子的张力为多大？

解物体A的受力情况如图1-17b所示：

张力T；

重力mAg

图1-17c

支撑力NA。

图1-17b

物体B的受力情况如图1-17c所示：

张力T；

重力mAg；

支撑力NA。

（1）我们可以假定物体B向下滑，物体A向上滑，加速度为a。

若解得a>0，物体确实按所假定的方向滑动；若解得a<0，物体实际上是沿与假定方向相反的方向滑动。

对物体B：

 , 

（1）

对物体A：

（2）

将以上两式相加，得

解得

所以，系统中的物体A沿斜面向上滑动，物体B沿斜面向下滑动。

（2）物体运动的加速度为

 .

（3）由式

（2）可以解得

.

图1-18a

1-27在光滑的水平桌面上放着两个用细绳连接的木块A和B，它们的质量分别是mA和mB。

今以水平恒力F作用于木块B上，并使它们一起向右运动，如题1-18a图所示。

求连接体的加速度和绳子的张力。

解木块A受三个力的作用：

图1-18b

重力mAg，竖直向下；

支撑力NA，竖直向上；

绳子拉力T，水平向右。

木块B共受四个力的作用：

重力mBg，竖直向下；

支撑力NB，竖直向上；

恒力F，水平向右；

绳子拉力T，水平向左。

上述各力都表示在图1-18b中。

建立坐标系O-xy，取x轴水平向右，y竖直向上。

沿x轴向右的力为正，向左的力为负；沿y轴向上的力为正，向下的力为负。

设木块A和B沿水平方向的加速度分别为a和a，于是可以列出下面的运动方程：

A：

 ,

；

B：

 ,

 .

另外

.

由以上方程可解得

 ,

 .

绳子的拉力就是绳子的张力。

如果水平恒力F作用于木块A并拉着A、B连接体一起向左运动，这时解得的加速度大小不变，但绳子的张力变为

 .

可见，由于，则。

图1-19

1-28质量为m的物体放于斜面上，当斜面的倾角为时，物体刚好匀速下滑。

当斜面的倾角增至时，让物体从高度为h处由静止下滑，求物体滑到底部所需要的时间。

解物体受力情形如图1-19所示。

当斜面倾角为时，物体刚好匀速下滑，这时物体在运动方向上所受合力为零，即

.

由此解得

.

当斜面倾角变为时，让物体从斜面顶端自由下滑，这时

 .

于是可解得

 .

如果斜面长度l所对应的高度正好是h，物体从斜面顶端自由下滑到底部的时间为t，可列出下面的方程

 .

所以

 .

讨论：

从上面的结果看，下式必须成立

.

（1）

因为

 ,

（2）

将式

（2）代入式

（1），得

 ,

即

 ,

所以必定有

 .

图1-20a

1-29用力F去推一个放置在水平地面上质量为M的物体，如果力与水平面的夹角为，如图1-20a所示，物体与地面的摩擦系数为，试问：

（1）要使物体匀速运动，F应为多大？

（2）为什么当角过大时，无论F多大物体都不能运动？

（3）当物体刚好不能运动时，角的临界值为多大？

解物体受力情形如图1-20b所示。

（1）物体作匀速运动时所受合力为零，于是有

 ,

 ,

图1-20b

 .

由以上三式可解得

 .

（2）在一般情况下，水平方向上的运动方程可以表示为

 ,

于是可以解得物体的加速度为

 .

可见，推动物体前进的力是，随的增加而减小；阻碍物体前进的力是摩擦力，随的增加而增大。

所以，当值过大时，推动力就不足以克服作用于物体的最大静摩擦力，物体就不能运动。

（3）设物体刚好不能运动时的临界角为0，下面的关系成立

，

.

因为在等于这个临界角0时，无论F为多大，物体都刚好不能运动，这就是说，当F沿着这个临界角的方向时，物体运动与否都与F无关。

用F除以上式，并令F，可得

解得

 .

图1-21

1-32车厢在地面上作匀加速直线运动，加速度为ms2。

车厢的天花板下用细线悬挂一小球，求小球悬线与竖直方向的夹角。

解设悬挂小球的细线与竖直方向成角，如图1-21所示。

若取地面为参考系，可列出下面的方程

 ,

 .

解得

=272.

1-33汽车以ms1的速率经过公路弯道时，发现汽车天花板下悬挂小球的细线与竖直方向的夹角为1。

求公路弯道处的半径。

解设小球悬线与竖直方向的夹角为，可以列出下面的方程

 ,

 .

可以解得

 .

1-34设地球是半径为R、质量为M的均匀球体，自转角速度为，求重力加速度g的数值与纬度的关系。

（提示：

先求出质量为m的物体处于地面上纬度为的地方的重量，然后根据重量求出重力加速度与纬度的关系。

）

解地面上物体的受力情况如图1-22所示。

由图可见

.

利用余弦定理，得

因为很小，4项可以略去，所以上式可化为

图1-22

于是可得

也就是

.

上式就是所要求的重力加速度g的数值与纬度的关系。