走进中考数学典型问题研究走进中考数学典型问题研究第五讲实际应用研究.docx
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走进中考数学典型问题研究走进中考数学典型问题研究第五讲实际应用研究
走进2018中考数学典型问题研究第五讲实际应用研究
类型1:
整式方程与不等式的应用
【例题1】
(2017重庆B)某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模,今年受气候、雨水等因素的影响,樱桃较去年有小幅度的减产,而枇杷有所增产.
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克,其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍,求该果农今年收获樱桃至少多少千克?
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售,该果农去年樱桃的市场销售量为100千克,销售均价为30元/千克,今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%,销售均价与去年相同,该果农去年枇杷的市场销售量为200千克,销售均价为20元/千克,今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%,但销售均价比去年减少了m%,该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同,求m的值.
【分析】
(1)利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍,表示出两种水果的质量,进而得出不等式求出答案;
(2)根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式,进而得出答案.
【解答】解:
(1)设该果农今年收获樱桃x千克,
根据题意得:
400﹣x≤7x,
解得:
x≥50,
答:
该果农今年收获樱桃至少50千克;
(2)由题意可得:
100(1﹣m%)×30+200×(1+2m%)×20(1﹣m%)=100×30+200×20,
令m%=y,原方程可化为:
3000(1﹣y)+4000(1+2y)(1﹣y)=7000,
整理可得:
8y2﹣y=0
解得:
y1=0,y2=0.125
∴m1=0(舍去),m2=12.5
∴m2=12.5,
答:
m的值为12.5.
【举一反三】
(2017湖南邵阳)某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动,如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满,已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个.
(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数;
(2)由于最后参加活动的人数增加了30人,学校决定调整租车方案,在保持租用车辆总数不变的情况下,为将所有参加活动的师生装载完成,求租用小客车数量的最大值.
【分析】
(1)根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人参加一次大型公益活动,分别得出等式求出答案;
(2)根据
(1)中所求,进而利用总人数为300+30,进而得出不等式求出答案.
【解答】解:
(1)设每辆小客车的乘客座位数是x个,大客车的乘客座位数是y个,
根据题意可得:
,
解得:
,
答:
每辆小客车的乘客座位数是18个,大客车的乘客座位数是35个;
(2)设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成,则
18a+35(11﹣a)≥300+30,
解得:
a≤3
,
符合条件的a最大整数为3,
答:
租用小客车数量的最大值为3.
类型2:
分式方程的实际应用
【例题2】
(2017绥化)甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路,已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米,乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍.
(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米?
(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元,乙工程队每天的修路费用为0.4万元,要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元,甲工程队至少修路多少天?
【考点】B7:
分式方程的应用;C9:
一元一次不等式的应用.
【分析】
(1)可设甲每天修路x千米,则乙每天修路(x﹣0.5)千米,则可表示出修路所用的时间,可列分式方程,求解即可;
(2)设甲修路a天,则可表示出乙修路的天数,从而可表示出两个工程队修路的总费用,由题意可列不等式,求解即可.
【解答】解:
(1)设甲每天修路x千米,则乙每天修路(x﹣0.5)千米,
根据题意,可列方程:
1.5×
=
,
解得x=1.5,
经检验x=1.5是原方程的解,且x﹣0.5=1,
答:
甲每天修路1.5千米,则乙每天修路1千米;
(2)设甲修路a天,则乙需要修(15﹣1.5a)千米,
∴乙需要修路
=15﹣1.5a(天),
由题意可得0.5a+0.4(15﹣1.5a)≤5.2,
解得a≥8,
答:
甲工程队至少修路8天.
【举一反三】
(2017日照)某市为创建全国文明城市,开展“美化绿化城市”活动,计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米.自2013年初开始实施后,实际每年绿化面积是原计划的1.6倍,这样可提前4年完成任务.
(1)问实际每年绿化面积多少万平方米?
(2)为加大创城力度,市政府决定从2016年起加快绿化速度,要求不超过2年完成,那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米?
【考点】B7:
分式方程的应用;C9:
一元一次不等式的应用.
【分析】
(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米,则实际每年绿化面积为1.6x万平方米.根据“实际每年绿化面积是原计划的1.6倍,这样可提前4年完成任务”列出方程;
(2)设平均每年绿化面积增加a万平方米.则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式.
【解答】解:
(1)设原计划每年绿化面积为x万平方米,则实际每年绿化面积为1.6x万平方米,根据题意,得
﹣
=4
解得:
x=33.75,
经检验x=33.75是原分式方程的解,
则1.6x=1.6×33.75=54(万平方米).
答:
实际每年绿化面积为54万平方米;
(2)设平均每年绿化面积增加a万平方米,根据题意得
54×2+2(54+a)≥360
解得:
a≥72.
答:
则至少每年平均增加72万平方米.
类型3:
一次函数的实际应用
【例题3】
(2017黑龙江鹤岗)为营造书香家庭,周末小亮和姐姐一起从家出发去图书馆借书,走了6分钟忘带借书证,小亮立即骑路边共享单车返回家中取借书证,姐姐以原来的速度继续向前行走,小亮取到借书证后骑单车原路原速前往图书馆,小亮追上姐姐后用单车带着姐姐一起前往图书馆.已知单车的速度是步行速度的3倍,如图是小亮和姐姐距家的路程y(米)与出发的时间x(分钟)的函数图象,根据图象解答下列问题:
(1)小亮在家停留了 2 分钟.
(2)求小亮骑单车从家出发去图书馆时距家的路程y(米)与出发时间x(分钟)之间的函数关系式.
(3)若小亮和姐姐到图书馆的实际时间为m分钟,原计划步行到达图书馆的时间为n分钟,则n﹣m= 30 分钟.
【考点】FH:
一次函数的应用.
【分析】
(1)根据路程与速度、时间的关系,首先求出C、B两点的坐标,即可解决问题;
(2)根据C、D两点坐标,利用待定系数法即可解决问题;
(3)求出原计划步行到达图书馆的时间为n,即可解决问题.
【解答】解:
(1)步行速度:
300÷6=50m/min,单车速度:
3×50=150m/min,单车时间:
3000÷150=20min,30﹣20=10,
∴C(10,0),
∴A到B是时间=
=2min,
∴B(8,0),
∴BC=2,
∴小亮在家停留了2分钟.
故答案为2.
(2)设y=kx+b,过C、D(30,3000),
∴
,解得
,
∴y=150x﹣1500(10≤x≤30)
(3)原计划步行到达图书馆的时间为n分钟,n=
=60
n﹣m=60﹣30=30分钟,
故答案为30.
【举一反三】
(2017湖北江汉)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称,甲、乙两家农贸商店,平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾,“龙虾节”期间,甲、乙两家商店都让利酬宾,付款金额y甲、y乙(单位:
元)与原价x(单位:
元)之间的函数关系如图所示:
(1)直接写出y甲,y乙关于x的函数关系式;
(2)“龙虾节”期间,如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱?
【考点】FH:
一次函数的应用.
【分析】
(1)利用待定系数法即可求出y甲,y乙关于x的函数关系式;
(2)当0<x<2000时,显然到甲商店购买更省钱;当x≥2000时,分三种情况进行讨论即可.
【解答】解:
(1)设y甲=kx,把代入,
得2000x=1600,解得k=0.8,
所以y甲=0.8x;
当0<x<2000时,设y乙=ax,
把代入,得2000x=2000,解得k=1,
所以y乙=x;
当x≥2000时,设y乙=mx+n,
把,代入,得
,
解得
.
所以y乙=
;
(2)当0<x<2000时,0.8x<x,到甲商店购买更省钱;
当x≥2000时,若到甲商店购买更省钱,则0.8x<0.7x+600,解得x<6000;
若到乙商店购买更省钱,则0.8x>0.7x+600,解得x>6000;
若到甲、乙两商店购买一样省钱,则0.8x=0.7x+600,解得x=6000;
故当购买金额按原价小于6000元时,到甲商店购买更省钱;
当购买金额按原价大于6000元时,到乙商店购买更省钱;
当购买金额按原价等于6000元时,到甲、乙两商店购买花钱一样.
类型4:
二次函数的实际应用
【例题4】
(2017浙江湖州)湖州素有鱼米之乡之称,某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势,一次性收购了20000kg淡水鱼,计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同,放养10天的总成本为30.4万元;放养20天的总成本为30.8万元(总成本=放养总费用+收购成本).
(1)设每天的放养费用是a万元,收购成本为b万元,求a和b的值;
(2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为m(kg),销售单价为y元/kg.根据以往经验可知:
m与t的函数关系为
;y与t的函数关系如图所示.
①分别求出当0≤t≤50和50<t≤100时,y与t的函数关系式;
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元,求当t为何值时,W最大?
并求出最大值.(利润=销售总额﹣总成本)
【考点】HE:
二次函数的应用.
【分析】
(1)由放养10天的总成本为30.4万元;放养20天的总成本为30.8万元可得答案;
(2)①分0≤t≤50、50<t≤100两种情况,结合函数图象利用待定系数法求解可得;
②就以上两种情况,根据“利润=销售总额﹣总成本”列出函数解析式,依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得.
【解答】解:
(1)由题意,得:
,
解得
,
答:
a的值为0.04,b的值为30;
(2)①当0≤t≤50时,设y与t的函数解析式为y=k1t+n1,
将(0,15)、(50,25)代入,得:
,
解得:
,
∴y与t的函数解析式为y=
t+15;
当50<t≤100时,设y与t的函数解析式为y=k2t+n2,
将点(50,25)、代入,得:
,
解得:
,
∴y与t的函数解析式为y=﹣
t+30;
②由题意,当0≤t≤50时,
W=20000(
t+15)﹣=3600t,
∵3600>0,
∴当t=50时,W最大值=180000(元);
当50<t≤100时,W=(﹣
t+30)﹣
=﹣10t2+1100t+150000
=﹣10(t﹣55)2+180250,
∵﹣10<0,
∴当t=55时,W最大值=180250(元),
综上所述,放养55天时,W最大,最大值为180250元.
【举一反三】
(2016·湖北随州·9分)九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90,且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件,设该商品的售价为y(单位:
元/件),每天的销售量为p(单位:
件),每天的销售利润为w(单位:
元).
时间x(天)
1
30
60
90
每天销售量p(件)
198
140
80
20
(1)求出w与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天的销售利润最大?
并求出最大利润;
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天的销售利润不低于5600元?
请直接写出结果.
【考点】二次函数的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】
(1)当0≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b,由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式,根据图形可得出当50<x≤90时,y=90.再结合给定表格,设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n,套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式,根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式;
(2)根据w关于x的函数关系式,分段考虑其最值问题.当0≤x≤50时,结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值;当50<x≤90时,根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值,两个最大值作比较即可得出结论;
(3)令w≥5600,可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式,解不等式即可得出x的取值范围,由此即可得出结论.
【解答】解:
(1)当0≤x≤50时,设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数且k≠0),
∵y=kx+b经过点(0,40)、(50,90),
∴
,解得:
,
∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40;
当50<x≤90时,y=90.
∴售价y与时间x的函数关系式为y=
.
由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系,
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n(m、n为常数,且m≠0),
∵p=mx+n过点(60,80)、(30,140),
∴
,解得:
,
∴p=﹣2x+200(0≤x≤90,且x为整数),
当0≤x≤50时,w=(y﹣30)•p=(x+40﹣30)(﹣2x+200)=﹣2x2+180x+2000;
当50<x≤90时,w=(90﹣30)(﹣2x+200)=﹣120x+12000.
综上所示,每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=
.
(2)当0≤x≤50时,w=﹣2x2+180x+2000=﹣2(x﹣45)2+6050,
∵a=﹣2<0且0≤x≤50,
∴当x=45时,w取最大值,最大值为6050元.
当50<x≤90时,w=﹣120x+12000,
∵k=﹣120<0,w随x增大而减小,
∴当x=50时,w取最大值,最大值为6000元.
∵6050>6000,
∴当x=45时,w最大,最大值为6050元.
即销售第45天时,当天获得的销售利润最大,最大利润是6050元.
(3)当0≤x≤50时,令w=﹣2x2+180x+2000≥5600,即﹣2x2+180x﹣3600≥0,
解得:
30≤x≤50,
50﹣30+1=21(天);
当50<x≤90时,令w=﹣120x+12000≥5600,即﹣120x+6400≥0,
解得:
50<x≤53
,
∵x为整数,
∴50<x≤53,
53﹣50=3(天).
综上可知:
21+3=24(天),
故该商品在销售过程中,共有24天每天的销售利润不低于5600元.
【技法总结】
本专题考查了方程与函数的综合应用,对于方程和不等式,我们主要根据试题所给定的数量之间的关系,找到其内在的联系,从而建立方程式或者不等式,并结合解得情况进行分析解答;其次是对函数问题,针对一次函数和二次函数的应用,也在某些问题上和方程相结合,这要根据条件中相关情景,结合函数图像,判断所考察的函数类型,或者观察所给定的函数图像进行分析研究内在的联系,特别是对一个分段函数,同时应注意自变量的取值范围.解答此类问题解决函数解析式是关键,从而利用函数的性质解答即可。
【能力检测】
1.(2017贵州安顺)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件,其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,商场决定此次进货的总资金不超过1000元,求商场共有几种进货方案?
【考点】B7:
分式方程的应用;CE:
一元一次不等式组的应用.
【分析】
(1)设甲种玩具进价x元/件,则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件,根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解.
(2)设购进甲种玩具y件,则购进乙种玩具(48﹣y)件,根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,商场决定此次进货的总资金不超过1000元,可列出不等式组求解.
【解答】解:
设甲种玩具进价x元/件,则乙种玩具进价为(40﹣x)元/件,
=
x=15,
经检验x=15是原方程的解.
∴40﹣x=25.
甲,乙两种玩具分别是15元/件,25元/件;
(2)设购进甲种玩具y件,则购进乙种玩具(48﹣y)件,
,
解得20≤y<24.
因为y是整数,甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,
∴y取20,21,22,23,
共有4种方案.
2.(2017毕节)某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学,在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元,且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同.
(1)求这种笔和本子的单价;
(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子,计划100元刚好用完,并且笔和本子都买,请列出所有购买方案.
【考点】B7:
分式方程的应用;95:
二元一次方程的应用.
【分析】
(1)首先设这种笔单价为x元,则本子单价为(x﹣4)元,根据题意可得等量关系:
30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量,由等量关系可得方程
=
,再解方程可得答案;
(2)设恰好用完100元,可购买这种笔m支和购买本子n本,根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000,再求出整数解即可.
【解答】解:
(1)设这种笔单价为x元,则本子单价为(x﹣4)元,由题意得:
=
,
解得:
x=10,
经检验:
x=10是原分式方程的解,
则x﹣4=6.
答:
这种笔单价为10元,则本子单价为6元;
(2)设恰好用完100元,可购买这种笔m支和购买本子n本,
由题意得:
10m+6n=100,
整理得:
m=10﹣
n,
∵m、n都是正整数,
∴①n=5时,m=7,②n=10时,m=4,③n=15,m=1;
∴有三种方案:
①购买这种笔7支,购买本子5本;
②购买这种笔4支,购买本子10本;
③购买这种笔1支,购买本子15本.
3.(2017江苏盐城)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年,该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完;2016年,这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒,该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完,礼盒的售价均为60元/盒.
(1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒?
(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同,问年增长率是多少?
【考点】AD:
一元二次方程的应用;B7:
分式方程的应用.
【分析】
(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒,则2016年这种礼盒的进价为(x﹣11)元/盒,根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设年增长率为m,根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量,再根据2014年的销售利润×(1+增长率)2=2016年的销售利润,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:
(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒,则2016年这种礼盒的进价为(x﹣11)元/盒,
根据题意得:
=
,
解得:
x=35,
经检验,x=35是原方程的解.
答:
2014年这种礼盒的进价是35元/盒.
(2)设年增长率为m,
2014年的销售数量为3500÷35=100(盒).
根据题意得:
(60﹣35)×100(1+a)2=(60﹣35+11)×100,
解得:
a=0.2=20%或a=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:
年增长率为20%.
4.(2017.江苏宿迁)小强与小刚都住在安康小区,在同一所学校读书,某天早上,小强7:
30从安康小区站乘坐校车去学校,途中需停靠两个站点才能到达学校站点,且每个站点停留2分钟,校车行驶途中始终保持匀速,当天早上,小刚7:
39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发,出租车匀速行驶,比小强乘坐的校车早1分钟到学校站点,他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行使路程y(千米)与行驶时间x(分钟)之间的函数图象如图所示.
(1)求点A的纵坐标m的值;
(2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车?
并求此时他们距学校站点的路程.
【考点】FH:
一次函数的应用.
【分析】
(1)根据速度=路程÷时间,可求出校车的速度,再根据m=3+校车速度×(8﹣6),即可求出m的值;
(2)根据时间=路程÷速度+4,可求出校车到达学校站点所需时间,进而可求出出租车到达学校站点所需时间,由速度=路程÷时间,可求出出租车的速度,再根据相遇时间=校车先出发时间×速度÷两车速度差,可求出小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车,结合出租车的速度及安康小区到学校站点的路程,可得出相遇时他们距学校站点的路程.
【解答】解:
(1)校车的速度为3÷4=0.75(千米/分钟),
点A的纵坐标m的值为3+0.75×(8﹣6)=4.5.
答:
点A的纵坐标m的值为4.5.
(2)校车到达学校站点所需时间为9÷0.75+4=16(分钟),
出租车到达学校站点所需时间为16﹣9﹣1=6(分钟),
出租车的速度为9÷6=1.5(千米/分钟),
两车相遇时出租车出发时间为0.75×(9﹣4)÷(1.5﹣0.75)=5(分钟),
相遇地点离学校站点的路程为9﹣1.5×5=1.5(千米).
答:
小刚乘坐出租车出发后经过5分钟追到小强所乘坐的校车,此时他们距学校站点的路程为1.5千米.
5.(2017湖北荆州)荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元,在整个销售旺季的80天里,销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为:
,日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系如图所示:
(1)求日销售量y与时间t的函数关系式?
(2)哪一天的日销售利润最大?
最大利润是多少?
(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元?
(4)在实际销售的前40天中,该养殖户决定每销售1千克小龙虾,就捐赠m(m<7)元给村里的特困户.在这前40天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求m的取值范围.
【考点】HE:
二次函数的应用.
【分析】
(1)根据函数图象,利用待定系数法求解可得;
(2)设日销售利润为w,分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况,根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式,由二次函数的性质分别求得最值即可判断;
(3)求出w=2400时x的值,结合函数图象即可得出答案;
(4)依据
(2)中相等关系列出函数解析式,确定其对称轴,由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大,结合二次函数的性质可得答案.
【解答】解:
(1)设解析式为y=kt+b,
将(1,198)、(80,40)代入,得:
,
解得:
,
∴y=﹣2t+200(1≤x≤80,t为整数);
(2)设日销售利润为w,则w=(p﹣6)y
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