二阶偏导数docx.docx
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二阶偏导数docx
§1-7高阶偏导数及泰勒公式
一、高阶偏导数
设z=/(也y)的偏导数为f;gy\y).
由于它们还是兀」的函数.因此,可继续讨论
f'Xx.y)的偏导数・
设z=/(%」)在区域D内可偏导•若/J(x,y\
兀」)还可偏导・则记,
窪YE)
d
dx
W兀丿
9
a
◎I8厂
fyy(X.y)=
1
(1)
dydx
=/;(3)=7"
称为z二/(兀y)的二阶偏导数・称(兀」),/、;(兀*)为二阶混合偏导数
类似,可得三阶,四阶,…
n阶偏导数.
力2
如,若*可偏导,则记
d(凡、dx^dx2丿
dx2dydyIdx2
,等等.
例1•设Z=2+x+siny
+3,求全部二阶偏导和一
dx
——=》+CO2k审3
解:
亍"F+r
9〉沪
=寸心
9£
込
dxdy
在例1中,有
是否任何函数的二阶混合偏导数都相等?
若不是,那么满足什么条件时,二阶混合
偏导数才相等呢?
定理1
若Z=f(X)=f(x,y)的两个混合偏导数
82fq2f
在x°=(牝*0)的某邻域"X。
)dxdydydx
内存在,且它们在X。
连续,贝IJ
a2/(x0)d2f(x0)
dxdy
dydx
分析•按定义
f;(3)=lim
△xtO
f(x
+Zy)
-/(
x.y)
Ax
•Ay->0
Ay
(兀,v)=[广(忑y)]v=lim
y
△»to
f;gy+Ay)-f;gy)
△y
-5,limm+E
△〉T0[_Ax^O
=lim-
+Ay)—f(x.y+Ay)
Ax
Ax
11「
=limlim+Ay)—于(忑y+Ay)
△)toxtoAyAx
一f(x+Ax,y)+f(x,y)]
故,/;'(兀0,儿)
=limlim—-[f(%0++Ay)-/(xoJo+^)0
△)toaxtoAxAy
-/(兀0+Ax,沟)+/(兀o,沟)]
同理心;(勺,儿)
=limlim——[/(心+△%,儿+人刃-/(兀。
+心,沟)△xtoa)toAxAy
-f(和沟+Av)+/do,沟)]
证:
分别给兀,y以改变量心,△,,使Oo+Ax,沟+△,),
(兀o+心,沟)及So,Jo+△『)均在U(X°)内.
记A二[f(x0+心,沟+Ay)-/(兀0+心,沟)]-
[/(兀0,沟+Ay)-于(兀0,沟)]
於)二/(兀,沟+4v)-/(兀,沟),
有4二0(兀0+心)-(P(兀0)
因/;,在U(XJ内存在,从而广在U(X°)存在•
即奴兀)在兀0的某邻域内可导,故满足拉格郎日中值定理条件.
因\A=(p(x0+Ax)~(p(x0),(p(x)=f(x,y0+Ay)-f(x,y0),
A=(pr(x0+0]Ax)Ax
=[/;(“)+。
3儿+切-fx(xo+^Ax,y0)]Ax,其中<i.
A=[/J(x0+0430+Ay)一/;(x0+6>1Ax,y0)]Ax
再对变量y用拉格朗日中值定理.得
A=f;y(Xo+儿+02Ay)AxAy,0<3{,02<1.
另夕卜,4二[/(兀0+心,沟+小)-于(兀0,沟+心)]-
[伽+心,沟)-/(兀0,沟)]
记久y)二/(叼+Ax』)-/岛』),从而
二二一…二一—:
一二_=二胃:
Sb■■»—Ai»^L——AJML—^LMjL—^h»■>
A=旅A。
+Aj)-旅沟)(由拉格朗日中值定理)
=0'(儿+。
3人刃人『
=[f'y(-^0+Ax,Vo+6>3Ay)-/;(x0,^0+6>3A);)]A);
=fyX(^o+&4心,儿+<93Ay)AxAy,0V备&4<】•
A=f;(兀0+©Ax,儿+04、NxX
A=fyx(兀0+°4人兀,九+°3Ay)AxAy故
f;(兀o+&1心,y0+&2心)=fyx(兀0+©3Vo+&3心)
令心-0,3T0.因為,f:
x在(勺,儿)连续,有,
爲(兀0,儿)=兀;(兀0*0)
注
1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情形.同时可推广到二元以上的函数情形.即,若混合偏导数连续,则混合偏导相等(即求混合偏导与求导顺序无关).
2.若多元函数/(X)在区域。
内有(直到)k
阶连续偏导.则记为f(X)eCk(D).P为非负整数.
若f(x,y)eCk(D\则不论求导顺序如何,
只要是对兀求导加次,对y求导k-m次,都
可写成
[仁,或,f%”
dxmdyk~mxy
例2.设u=y)在任何点处的全微分
du=(x2+ay)dx+(x++Z?
sinx)dy・求常数a.b.
叭=x2+ay.ufy=x+y+bsin兀.
矢I口心,叫均可导,有
u"xy=<7,(连续),UyX=1+Z?
sin兀,(连续).
从而,在任何点(兀」),有U;y7;X
即l+bsinxwa・比较知Q二1,b=0.
本题也可:
由ufx=x2+ay,积分(以兀为积分变量\
+axy+c(y)・
从而讥=ax+c\y).
与比;=无+y+bsin兀比较可得a=l.b=0.
例3・设八
于(兀+y+乙疋VZ),feC]求
dxdz
解:
设u=x+y+z,v=xyz,
从而w=/u)是兀,y,z,的复合函数.由链式法则.
dw
dx
=f/-l+•W
+y+Z.xyz)+yzf2(+y+z,&yz).
注意:
f;=//(w,v)=f/(x+y+)仍是X,y,z
的复合函数•对昇以及冗再求偏导时,还要用链式法则来求.
=//[+xyfn+yfi+w(庁・i+・小)
=fn+(小+^)/12+xy2^fii+yfiIf:
;=fz\)•
注意n;仍是忑y的复合函数,对它们求导时要用链式法则・
d2w
dxdy
rr2丄/•"1\
[.兀+J12・—)
X
=2硏一丄扃+
4(/;;•宀圧
X
=2x//-
其中fn=Ai-
例5•嗨£=甲里逵
3+人+』5畴’來齐
解:
⑴记F(x,y,z)=x2+y2+tgz-'
dzFf
由隐函数求导公式
去Fz
有F•'二2兀,F:
=sec2z—
X<•
dz2x
dxe"—sec2z
(2)上式两端对x求偏导.此时右边的z看作兀的的函数.y要看作常数.有
2("一sec2z)一2x(e'・z'-2secz-secz・tgz・z:
)
(ez-sec2z)2
2(e:
一sec2z)一2x(ez-2sec2z・tgz)z[.
-sec2z)2
2("_sec2z)2-4x2(ez-2sec2z•tgz)
0-sec2z)3
例6・设方程组
x+y+u+v=l
222
x+y+u+v解:
(1)先求一阶偏导.
注意,u,V看作•
[SuSv
1+——+——=0
]SxBx
ISu
2兀+2%4-2v
IOx
2.
亠2dudvdu求——,——,一7・dxdxdx
方程两边对X求偏导.
心丁的函数・得
応+":
=_1uur+vv'=
Lxx
uurY+vvrY=一兀
JiJi
—1
=V—M,D]=
—X
1—1
D2==U^X.从而,
UX
duD{x-vdvu-x
・■・I,“■・■I"""・■■I・I
——,—
dxDv-udxv-u
£(力一心
(X乙一4+刃)(4一
乙(〃")
%)
X+77乙一4
z'z
(n-xw-d>
(A-X)-(77
(d-xx-n
刃一4)
—4)
一【
T)
/7_Awr,——
例7・设%=/(%,%z),y=x3,(p(X2,In”z)=0•
du,,,,
求——,其中f,cpgC,x>0.
dx
解:
-u=f(x,说刃
V
.(p(x2,31nx,z)=0
易见乙%均X的函数,方程两边对X求导数.;=("1+3//2,+/";)
3,
I硏・2兀+0;・_+九・z;=
得
2x2(p[+Bep:
J二;―二
X甲3
从而
?
2x2cp[+3cp;
//+3x2/;•//
xcp3
二、高阶微分
和一元函数一样,多元函数也有高阶微分的概念•我们只介绍二元函数的高阶微分.
设z=y)可微,则dz+y;(x,y)dy.
呻兀,y的函数.若dz还可微,则记d2"d((冷獗为命二阶微分.
一般,若Z=f(x,y)的k-1阶微分dk~lz存在,且仍
可微.则记=称为z的郅介微分.
下边推导Z的k阶微分的计算公式.
设以兀』为自变量的函数z=f(x,y^ck,
有出=£(x,y)dx+
由于兀,y为自变量,故dx二Ax,dy二△『,与兀,y的取值无关.固定心,△%,(即将它们看作常数),求dz的微分.1
易见,当兀,心存在连续偏导时,业可微•即,
eC2,则z=存在二阶微分(二阶可微).
且d2z=d(dz)=d[f^(x,y)dx+y)dy]
=d[f;(x,y)dx]+d[fy(x,y)dy]
=d[f;(x,y)]•dx+d[y;(x,y)]•dy
=[£;(x,y)dx+f^;(x,y)dy]-dx+
lfyX(兀,y)d%+厶;(x,y)dy]-dy
几2a2zd2z2
=——ax+2axay+——ay
dx2dxdydy
即若/G则z=/(兀」)存在三阶微分•但其形式将更加繁杂.引进记号.
这相当于规定了“将字母Z移到括号外“的方法。
实际上,—dx+确定了一个映射。
dxdy
它把Cl中的每一个厶通过上述运算,映成了dz・
Q7Qz
即,zwC"Tdz=—dx+—dy.dxdy
(aa)
g(z)=—dx+——dyZ・
"x勿丿
比较两端式子,可看出,—就是我们的映射g.dxdy
不过是用一个我们陌生的式子+
dxdy
来代替字母g而已.即,
dd
——dx+——dy=2
dxdy
我们把这个映射称为一阶微分算子.
类似,记
2
°J2—
——dx+2idx
dxdy
/a2
^dx2
a2
dxdy+—-dxdydy~
QZ乂2苛丿
、
dy2
丿
形式上规定
?
与2的乘积:
2.2=空dxdy
dxdydxdy
a_a2dxdxdx2
2a
29
aaa2
=•=
QyQydy2'
并规定:
a2
+
dxdy
=2
dxdydxdy
dx2
—2
K[Jd2z=
QJ2“
——dx+2dx
c2c2c2、
0^0o9
dx+2dxdy+——-dy
dxdydy
、2aq)
——dx+——dydxdy)
称映射一dx+—dy为二阶微分算子・
(张为丿
(、2
由于—dx+-^-dyz=d(dz)=&[&(?
)】
2兀dy)
故,二阶微分算子实际上就是一阶微分算子g复合二次.
只不过这种复合运算在上述规定下,可以看作是一阶微分算子-^-dx+-^-dy的平方而已dxdy
一般,若形式上规定.
dxL
dL
d
L+S
dxLdys
c厶+so
ox
-=(a+b)
c厶+s
o
rLSOX
(dQ、
I——dx+——dy
18兀dy
七C;
Iz=0
ra
—dx
6丿
(d
—dy
⑷丿
ck_io
rick—ioxoy
dxldy
、
k-i
k
订C;
i=0
Gk
QZ」5k-i―:
——dxdy
cick_ioxoy
注
⑴当z=f(x,y)eCk时,z有比阶微分.
x、k/':
(2)—dxHdy是一*种运算符号•
⑺dy丿
只有把它按上述规定,展开后,再将各项“乘”以Z(即,将Z补写在決后面),一切记号才回复到导数和微分的意义.
(d\k
(3)称—dx+—dy为/:
阶微分算子・
⑺dy丿
它本质上是一个映射.它将◎中的
元素z映成dkz.
(4)若兀」不是自变量,小z一般不具有上述形式.
§1-8
方向导数
一、方向导数的概念
函数的导数就是函数的变化率.
比如」二/(兀),广(%)=hm
/(兀o+Ax)-/(x0)
△xtO
Ax
△2°Ax
如图
其中是函数改变量,y就是平均改变量.即Ax平均变化率・
/+©0)
=lim/(%+Ax)-于(兀0)
△xto+Ax
表示在叼处沿兀轴正方向的变化率.
八/(^n+A%)一/(Xn)
广(%)=lim以」—丿-川
Ax
表示在叼处沿兀轴负方向的变化率.
=4髙等数宗飞
又比如,z二/(兀y\偏导数
分别表示函数在点(兀0,沟)沿兀轴方向,沿V轴方向的变化率.
如图
0,0)
Az
特别,lim亠
Ay->0+Ay
lim于(勺」0+Ay)
△)—()+
Ay
/(兀0*0)
表示在(和沟)处沿y轴正方向的变化率.
.Avz
rflj,lim——=lim
A}'^0~/\yAy—>0~
/Oo*o+Ay)
于(兀0小)
Ay
表示在佩沟)处沿y轴负方向的变化率.
但在许多实际问题中,常需知道/(X)在X。
沿任何方向的变化率•比如,设于(X)表示某物体内部点X处的温度.那么,这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度.
因此有必要引进于(X)在X。
沿一给定方向的方向导数.
把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.
即/;(和沟)表示兀=兀。
与z二/(兀y)的
交线在M。
处的切线对y的斜率.
如图
&)二(%Vo)
X二(x0+Ax,Vo+Ay)
1定'设z=f(X)=f(兀y)在点Xo=(兀°,沟)的某义
字邻域US。
)内有定义.以X。
为端点引射线
I,其单位方向向量为e二(cosa,cos0),设X二(叼+心,
若当X沿/趋于X。
时,对应的函数改变量与线段XoX的长II疋1啲比值
则称它为z=f(X)=f(x,y)在点X。
二佩沟)沿I的方向导数.
记作b(X°)酉(®」0)
dl
dl
dl
Ihnm)7(X°)
谕iiX°XII
于(心+Ax』。
+Ay)-/(心
77
AjT+»
=lim
p->0
沿/
X二Oo+Ax,沟+Ay)
丛其中Q=^/a%2+A^2.
1.定义中要求点X只取在I的正向上,且
X沿/趋向于X。
.另外比值〃X)2/(Xo)IIX°XII
的分母人于0・
如图
>;x=Oo+Ax,沟+Ay)
x()=(和y0).
o\
X
2•若z=f(X)二/氏y)在X。
二(和沟)处偏导存在.
则在X。
处沿兀轴正向的方向导数,(此时,Aj=O9Ax>0),
酉(Xo」o)/(x0+Ax,y0)-f(x0,y0)
=lim
dl"TO
lim
I△兀ItO
/(心+Ax』。
)-于(兀0,九)
=lim
△xtO
IAxI
Ax
Ax2+02
/(兀o+A兀=广(5,几)
在X。
处沿%轴负方向的方向导数,(此时=0),
辿血=lim+Z匹/(So)
dlgoJ心2
同样可得沿y轴正向的方向导数为fry(x0,Vo),而沿y轴负方向的方向导数为-/'),(兀0,沟).
3.定义中的极限表示式可用另一形式给岀.
由于伯勺单位方向向量为幺二(cosa,cos0),
r%=%0+/cosa
从而l的参数式方程为彳门t>0
ly二旳+如卩
或(x,y)-(x0,y0)+t(cosa,cos0),即X=X°+te
■■■■■
且IIX°XII=11X-X。
II=11te^=t
而X—Xo就是/t0+.
从而
Of(XQ=limf(X)M(Xo)
az垢;iix菽ii
/(X+re)-/(xo)
=lim
fT(r+
这正是教材中给岀的定义式.
二、方向导数的计算
定理4若z=f(X)=/(x,y)在点Xq=(x0,jo)可微,则z二f(X)在X。
沿任一方向幺二(cosG,cos0)的方向导数存在.幺为单位向量.
二S(Xo)・e・(最后两式为数量积)
证:
如图
在射线I上取点
X二(x0+Ax,沟+心)
二X°+AX
其中,AX=(Ax,△》)
因向量AX=X—X。
二X°X〃s
故AX=te,(t>0),
X二X°+沧,II源II二IIAX11=/
由方向导数定义
b(X°)二lim/(X)二MX°)
dextx。
hx°XII
沿/
lim
r^o+
nx°+f€)-/(x。
)
看/(Xo+Q-/(Xo)・
A2(xo+wx。
)
Hj(xo+pyo+Ay)—r(xo"yo)
HaAx+0Ay+051AX2+Ay2)&a}®l
dr(x乙dr?
)
H上Q>x+上9>y+0(=AX=)
Oxdy
H$(x。
).Ax+O(=Ax__)
即y=f(XQ+AX)-/(X0)二S(Xo)AX+0(11AXII)上式对任何Ax,0都成立.
特别,当X二X。
+AX在射线I上时,当然成立.
即,当Xo+AX二X°+沧时,有
/(X。
+te)-/(Xo)=Jf(X。
)•(沧)+0(11teII)
=t[(Jf(Xo)•可+0⑴
除以t>0,并令/T0+,有
+JOSOO
(X)JQ
+oi
nUIT{
—(刃+x)/•
公式可推广到三元函数中去.
即,若%二/(x,y,z)在点Xo=(x0,jo,勺)可微,贝iju在该点处沿任何方向幺二(cosa,cos0,cosy)的方向导数存在
酉(X。
)
dx
例5•求%=xyz在点Xo=(1,1,1)处沿从该点至lj点&二(1,2,2)方向的方向导数.
解:
(1)先求出这个方向上的单位向量e.
向量谕二(0,1,1)
从而与恳£同向单位向量
⑵求%在X。
二(1,1,1)处偏导数.
疔(1丄1)
de
2
2
du
—=厂・dz
du
dx~yZ,
从而叫
dx
2丿
du
——=应,
du
du
(1,1,1)
dz
(1丄1)
(3)由公式得方向导数
注
1.若z=f(X)=f(x,y)在区域D内存在一阶连续偏导.X。
=(和沟)是D内一点.知z在Xo沿任何方向幺二(cosa,cos0)的方向导数
空存在.其中||小|二1.
de
问,当e取哪一个方向时,”'(X。
)取最大值?
de
因
de
M(x°)=j/(Xo).e=||人(Xo)llllellcos(Jf(X0),e)
z\
(人'(兀0,儿)2+
),幺)
(1)当cos(厶.(x°),e)=1吋,M(Xo)最大.
de
函数沿S(X°)的方向增长最快.
即当幺取与J=((/;(兀0*0),(兀oQo))
同向时,"(X°)最大,最大值为||彳■(Xo)ll.
(2)由Pr]ua=IIqIIcos(a.u),
ay(x0)f
-」=J/・(X。
)弋=11儿(X°)llcos(儿(X°),幺)de
知"(X。
)是丿(X)在e上的投影.
即M(X°)=prj(jr(X))
6ef
高等数堂
2.设z=f(X)=f(x,y),考察z在点Xo=(x0,Vo)处连续;存在两偏导;沿任何方向的方向导数存在以及可微这些概念的联系和区别.
(1)可微=>连续,可微=>存在两偏导,(反之不对)
可微=>沿任何方向的方向导数存在.
(反之如何?
)
⑵若z=f(X)=f(x,y)在区域D内的两偏导不仅存在,而且连续,则z在Q内可微,进而在D内连续,在D内每点处沿任何方向的方向导数存在.
3.当z=/(X)=/(x,y)在X。
二(和vo)可微时,
沿幺二(cosa,cos0)的方向导数
M(X。
)
de'
戶m)c”+M(U°s0dxdy
其中为幺与X轴,y轴正向夹角・0W<7C.
该公式有另外的形式.
记(P为从X轴到e的转角((P不一定在⑹刃之间),
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