全国名校高中数学优质学案附详解421直线与圆的位置关系.docx
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全国名校高中数学优质学案附详解421直线与圆的位置关系.docx
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全国名校高中数学优质学案附详解421直线与圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
【教学目标】
1.能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
2.通过直线与圆的位置关系的学习,体会用代数方法解决几何问题的思想.
3.通过本节内容的学习,进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性,逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯.
【教学重难点】
教学重点:
直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
教学难点:
用坐标法判直线与圆的位置关系.
【教学过程】
㈠情景导入、展示目标
问题:
一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:
台风中心位于轮船正西80km处,受影响的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
运用平面几何知识,你能解决这个问题吗
?
请同学们动手试一下.
㈡检查预习、交流展示
1.初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几种?
2.怎样判断直线与圆的位置关系呢?
㈢合作探究、精讲精练
探究一:
用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系?
教
师:
利用坐标法,需要建立直角坐标系,为使直线与圆的方程应用起来简便,在这个实际问题中如何建立直角坐标系?
学生:
以台风中心为原点O,东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取
10km为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为
轮船航线所在直线l的方程为
.
教师:
请同学们运用已有的知识,从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系.
让学生自主探究,互相讨论,探究知识之间的内在联系。
教师对学生在知识上进行适当的补遗,思维上的启迪,方法上点拨,鼓励学生积极、主动的探究.
由学生回答并补充,总结出以下两种
解决方法:
方法一:
代数法
由直线与圆的方程,得:
消去y,得
因为
所以,直线与圆相离,航线不受台风影响。
方法二:
几何法
圆心(0,0)到直线
的距离
所以,直线与圆相离,航线不受台风影响.
探究二:
判断直线与圆的位置关系有几种方法?
让学生通过实际问题的解决,对比总结,掌握方法.
①代数法:
由方程组
,
得
,
则方程
组有两解,直线与圆相交;
,则方程组有一解,直线与圆相切;
,则方程组无解,直线与圆相离.
②几何法:
直线与圆相交,则
;直线与圆相切,则
;直线与圆相离,则
.
例1 已知直线l:
x+y-5=0和圆C:
,判断直线和圆的位置关系.
解析:
方法一,判断直线与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解;方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系,判断直线与圆的位置关系.
解:
(法一)
联立方程组,消y得
因为
所以直线与圆相交.
(法二)
将圆的方程化为
.
可得圆心C(2,-3),半径r=5.
因为圆心到直线的距离d=
<5,
所以直线与圆相交.
点评:
巩固用方程判断直线与圆位置关系的两种方法.
变式1.判断直线x-y+5=0和圆C:
的位置关系.
解:
将圆的方程化为
.
可得圆心C(2,-3),半径r=5.
因为圆心到直线的距离d=
>5,
所以直线与圆相离.
例2.求直线l:
3x-y-6=0被圆C:
截得的弦AB的长.
解析:
可以引导学生画图分析几何性质.
解:
(法一)
将圆的方程化为
.
可得圆心C(1,2),半径r=
.
圆心到直线的距离
.
弦AB的长
.
(法二)
联立方程组,消y得
得
则
所以直线l被圆C截得的弦AB的长
.
(法三)
联立方程组,消y得
根据一元二次方程根与系数的关系,有
直线l被圆C截得的弦AB的长
点评:
强调图形在解题中的辅助作用,加强了形与数的结合.
㈣反馈测试
导学案当堂检测
㈤总结反思、共同提高
位置关系
几何特征
方程特征
几何法
代数法
相交
有两个公共点
方程组有两个不同实根
d △>0 相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0 相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0 【板书设计】 1.直线与圆的位置关系 (1)相交,两个交点; (2)相切,一个交点; (3)相离,无交点.
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