第二章有理数.docx

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第二章有理数

第二章—《有理数》总复习

复习概要：

有理数是在一～五年级学过的正数和零的意义及运算的基础上学习的，本章内容包括有理数的概念与有理数的运算。

具体体现为一个重要的数学学习工具——数轴；两个重要的数学概念——相反数、绝对值；三种重要数学思想——分类思想、数形结合思想、转化思想；还有四种运算——加、减、乘（乘方）、除。

这些是我们今后进一步学习数和式的运算的基础，也为学好数学培养良好的学习习惯，进而会用数学思维方式学习数学。

复习建议：

　　一、复习需要注意的几个问题。

1、在学了负数以后，要注意克服以前与第一章中出现的字母只表示正数或0的局限性；

　　（如，进一步认识a+b=b+a中的a，b可以是正数、负数或0。

）

2、数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想，要注意学会灵活应用数轴来解决问题；

3、对于有理数的基本概念，要能从不同角度去理解、认识；

　　（如，相反数的概念，可以从本身的定义、在数轴上的位置、在加法中的运用等多方面去认识；）　

4、在运算中，要特别注意正负号、运算顺序等，以提高准确性，还要注意灵活运用运算律，以提高运算速度。

特别是个别是这个环节比较薄弱的同学，一定要多做相关的基础题，以求熟能生巧。

　　二、通过复习，提高学生对三种数学思想的认识。

1、数形结合思想：

数轴是数形结合的基础，它使直线上的点与数之间建立起一种对应关系。

借助于数轴，我们可以把数更直观地反映在数轴上，便于研究数的问题。

这种数形结合的思想是数学中一种重要的思想。

通过复习，使学生进一步掌握用数轴解决问题的方法，为今后充分利用“数轴”这个工具打下基础。

2、分类思想：

a、数轴直观地表现了有理数一种分类方法，即分成正数、负数和零，这种分法体现了分类讨论思想。

b、研究有关绝对值的问题或用字母表示的有理数问题时，常常需要进行分类讨论，这种分类讨论的思想也是数学中一种重要的思想。

通过复习，使学生认识到分类的必要性和重要性，并掌握最简单的按有理数的分类来进行分类的方法。

3、转化思想：

有理数的加、减法互为逆运算，有理数减法运算可以转化为有理数加法进行运算；有理数的乘法、除法互为逆运算，有理数除法可以转化为有理数乘法进行运算；有理数的乘方也可以转化为乘法，转化的思想也是数学中一种重要的思想方法。

通过复习，使学生进一步了解“转化”能把新知识变为旧知识，通过转化能变繁为简，化难为易，为今后运用转化的思想方法做好准备。

复习内容：

一、有理数的意义

2．1《正数和负数》

知识点：

1、正负数的意义。

相关习题：

一基本题。

  1、某物体向左运行规定为正，那么－60米表示           。

  2、如果＋25元表示盈利25元，那么－70元表示           。

二发展题。

  1、向东走－20米表示           。

  2、产品成本提高－4％，实际表示             。

三综合题。

  1、 一潜水艇所在高度是－80米，然后它下潜了＋10米，所在高度是      米；然后它又下潜了－20米，所在高度是       米。

知识点：

2、用正负数表示相反意义的量。

相关习题：

一基本题。

  1、若向南走20米记作＋20米，那么向北走50米记作       。

  2、如果仪表指针顺时针方向旋转120°记作120°，那么逆时针方向旋转85°应记作   

二发展题。

  1、如果进口300箱记作－300箱，那么出口200箱应记作        。

  2、如果超支132元，记作＋132元，那么结余415元，记作         。

三综合题。

  1、如果把115分的成绩记作＋15分，那么96分的成绩记作     ，如此记分法，甲的成绩记作－9分，那么他的实际成绩是      ，乙的成绩是6分，那么他的实际成绩是     。

  2、室内温度是18℃，室外温度是－7℃，室内温度比室外温度高           。

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2楼

知识点：

3、正负数的概念。

正数：

像5，1.3， ，8848等大于0的数叫做正数。

负数：

像－5，－1.3，－ ，－8848等在正数前面加上“－”号的数叫做负数。

0：

“0”既不是正数，也不是负数。

相关习题：

一基本题。

  1、下列正确的个数是（   ）

     ① 加正号的数是正数，加负号的数是负数；

② 任意一个数的前面加上“－”号，就是一个负数；

③ 0是最小的正数；

④ 大于零的数是正数；

⑤ a不是正数就是负数

 A.0     B.1     C.2      D.3

二发展题。

  1、如果a是正数，那么a    0；如果a是负数，那么a    0；如果a既不是正数，又不是负数，那么a    0；  

三综合题。

  1、－a不是负数，那么a一定是          。

  2、代数式－x－100表示的数是          。

知识点：

4、有理数的概念。

有理数：

整数和分数统称有理数。

整数：

正整数、0、负整数统称整数。

分数：

正分数、负分数统称分数。

知识点：

5、有理数的分类。

                          正整数   非负整数

                   整数   0

按“整分性”分为：

        负整数   非正整数

                   分数   正分数

                          负分数

                                 正整数

                   正（有理）数  正分数

按“正负性”分为：

 0             

                   负（有理）数  负整数

                                 负分数

                   正数     非负数

按“正负性”分为：

 0              非零数

                   负数     非正数 

相关习题：

一基本题。

  1、把下列各数填在相应的括号内。

－20， ，3，0.7，0，－3.14， 

正有理数集合：

                                       … ；

整数集合：

                                           … ；

负分数集合：

                                         … ；

非负数集合：

                                         … ；

非正整数集合：

                                       … ；

二发展题。

  1、最大的负整数是       ；最小的正整数是        ；

  2、最小的两位整数是         ； 

三综合题。

1、下列说法中正确的个数有（   ）

     ① 奇数和偶数统称整数；

② 正数都是自然数； 

③ 0是最小的非正数； 

④ 一个有理数不是正数就是负数； 

 A.0     B.1     C.2      D.3

2、下列说法中错误的个数有（   ）

     ①   是非正数；

②  自然数一定是正数； 

③   是分数，但不是有理数； 

④ 0是最小的有理数；

 A.0     B.1     C.2      D.3

方法指引：

通过本小节的复习，要让学生了解下面一种思想和一种意识。

一种思想：

分类思想，注意“不重”和“不漏”两点。

一种意识：

集合意识

2．2、《数轴》

知识点：

1、认识数轴并会画数轴。

数轴：

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。

相关习题：

一基本题。

  1、－4在数轴上原点的      边，距原点      个单位长度。

  2、在数轴上表示－3的点与表示5的点之间的距离是         。

二发展题。

  1、到原点距离等于3的点有     个，它们分别表示        。

  2、数轴上与表示2的点距离等于3的点所表示的数是        。

三综合题。

  1、数轴上点A表示数－4，点B表示数－5，点A向右移6个单位长度，点B向右移3个单位长度，这时

（1） 点A与点B之间的距离是多少？

（2）点AB中点对应的数是多少？

知识点：

2、会将已知数在数轴上表示出来，同时也能说出数轴上的已知点所表示的有理数。

相关习题：

一基本题。

  1、在数轴上表示出下列各数：

  ，－2.5，5，－1，0，－4

  2、 如图，指出A,B,C,D,E各点分别表示什么数。

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3楼

          B             E       C                 D       A

        －5   －4   －3   －2   －1    0     1     2     3    4

二发展题。

1、在数轴上表示出下列各数  ，－2.5，5，－1，0，－4，并按从大到小的顺序排列。

2、如图，指出A,B,C,D,E各点分别表示什么数，并把它们按从小到大的顺序排列起来。

          B             E       C                 D       A

        －5   －4   －3   －2   －1    0     1     2     3    4

三综合题。

  1、数轴上有一点A，它表示数3，现点A向右移2个单位长度到B点，再由B点向左移9个单位长度到达C点，则C点表示的有理数是多少？

知识点：

3、利用数轴比较有理数的大小。

1、正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；

2、在数轴上表示的数：

右边的数大于左边的数；

相关习题：

一基本题。

  1、比较下列数的大小。

－2与0；       0.01与－5；     －3.14与－π；       －6， ， ； 

  2、A,B,C在数轴上的位置如图：

                    ，则它们之间的大小关系为     ；

                                B   A   0       C       

二发展题。

  1、大于－5的负整数有                      ；

  2、小于4.5的非负整数有                      ；

  3、已知m为整数，且－4＜m＜3，则m为                         ； 

三综合题。

1、如图，在数轴上有三个点A,B,C,请回答：

（1）将B点向右移3个单位后，三个点表示的数中最小的是谁，是多少？

（2）将A点向右移4个单位后，三个点表示的数中最小的是谁，是多少？

（3）将C点向左移6个单位后，这时B点表示的数比C点表示的数大多少？

方法指引：

本小节中学习的数轴以及用数轴上的点表示数，体现了“数与形”的结合，利用数轴比较有理数的大小，也体现下数形结合的思想。

数学是研究数和形的学科，所以数形结合的思想非常重要。

数形结合的关键是建立起数与形的联系，而数轴就是个重要的、可利用的、有力工具。

从数形结合的思想出发，通过学习使学生形成数形结合成为解决数学问题的自觉意识。

2．3、《相反数》

知识点：

1、相反数的概念。

相反数：

（代数定义）只有符号不同的两个数，称其中一个数是另一个数的相反数。

       （几何定义）在数轴上表示这两个数的点，分别在原点的两旁，并且与原点的距离相等。

相关习题：

一基本题。

  1、－4的相反数是          ；

  2、       的相反数是0.5；

  3、0是       的相反数；

二发展题。

  1、        的相反数是它本身；  

  2、若一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是         ；

  3、 的相反数是       ，倒数是        ；

  4、 的倒数的相反数是       ； 的相反数的倒数是       ； 

三综合题。

  1、在数轴上与原点的距离为4个单位长度的点有     个，它们分别表示的数是       。

  2、在数轴上，如果点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b（a>b），并且A，B两点间的距离是7，则a＝     ，b＝      ；a,b两数间的整数有                       。

知识点：

2、相反数的表示和性质。

相反数的表示：

在一个数的前面加上“－”,即得到这个数的相反数,如：

数a的相反数是－a；

相反数的性质：

任何一个数都有相反数，而且只有一个；

正数的相反数一定是负数；

负数的相反数一定是正数；

0的相反数仍是0；

相关习题：

一基本题。

  1、如果a＝＋13，那么－a＝      ； 

  2、如果x＝－5.4，那么－x＝      ； 

二发展题。

  1、如果－a＝6，那么a＝      ；  如果－x＝ ，那么x＝      ； 

  2、x－y的相反数是          ；2mn是         的相反数；

三综合题。

  1、若3x－1的相反数是－11，那么x＝       。

  2、有理数a、b在数轴上的对应位置如图，把a、b、－a、－b按大小顺序用“<”号连接起来                        

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4楼

                                                     b         0     a     

知识点：

3、多重符号化简。

多重符号化简规则：

在一个数前面添上一个“+”的数与原数相同；如＋5＝5

                  在一个数前面添上一个“－”的数就成原数的相反数；如－（－5）＝5

多重符号化简方法：

多重符号的结果是由“－”号的个数决定的，与“＋”号无关。

如果“－”的个数是奇数个，则结果为“－”；如果“－”的个数是偶数个，则结果为“＋”；简称“奇负偶正”。

相关习题：

一基本题。

  1、＋（－2）＝       ；     －[＋（－8.5）]＝          ；  

  2、－（－7）是      的相反数；

二发展题。

  1、那么若a＝－0.5，－[＋（－a）]＝          ；

2、下列说法错误的（    ）

A.－8是－（－8）的相反数；       B. －（＋8）是＋（－8）的相反数；

C. ＋（－8）是－（－8）的相反数；   D. －（＋8）是＋（＋8）的相反数；  

三综合题。

  1、数a与它的相反数哪个大？

  2、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，那么 ＝          。

方法指引：

一个数学问题的解决常常要用到多种数学思想方法，本小节就注意了数形结合思想方法的学习和分类讨论思想方法的学习。

2．4、《绝对值》

知识点：

1、绝对值的意义。

绝对值：

（几何定义）一个数a的绝对值就是在数轴上表示数a的点与原点的距离。

数a 的绝对值记作｜a｜

 （代数定义）一个正数的绝对值是它本身；

一个负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0；                            a  （a>0）

       （绝对值的数学符号表示）设a为任意有理数，则｜a｜＝   0  （a=0）

                                                            －a  （a<0）

相关习题：

一基本题。

  1、｜+4｜＝      ；  ｜ ｜＝       ； ｜0｜＝      ；

2、一个正数的绝对值是       ；一个负数的绝对值是         ；0的绝对值是      ；                   

  3、如果a>0，那么｜a｜＝      ；如果a<0，那么｜a｜＝     ；如果a=0，那么｜a｜＝        ；

二发展题。

  1、        的绝对值等于它本身；        的绝对值等于它的相反数；  

  2、如果｜a｜＝a，那么a是      数；如果｜a｜＝－a，那么a是      数； 

知识点：

2、绝对值的性质。

（1）任何数都有绝对值，且只有一个。

（2）任何一个数的绝对值都是一个非负数，即|a|≥0；因此，绝对值最小的数是零。

（3）绝对值是正数的数有两个，且它们互为相反数。

（4）两个互为相反数的绝对值相等；反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数。

（5）正数数值越大，绝对值越大；负数数值越小，绝对值越大。

相关习题：

一基本题。

  1、如果｜a｜＝13，那么a＝      ； 

  2、        的绝对值是5.4；

二发展题。

  1、如果｜－a｜＝6，那么a＝       ；   如果∣－x∣＝∣ ∣，那么x＝       ；

如果－∣m∣＝－5，则m＝        。

  2、若∣m－1∣＝5，则m＝         。

  3、 绝对值小于3.5的非正整数有         ；绝对值大于2，不大于4的整数有         ；  

  4、若3＋∣x－4∣有最小值，则x＝       ；若4－∣m－n∣有最大值，则m,n的关系为         ；

三综合题。

  1、已知 ∣2a－1∣＋∣b＋2∣＝0，求b＋2a2的值。

  2、已知∣x∣＝26，∣y∣＝18，且∣x－y∣＝y－x，求x＋y的值。

  3、若a>0，b<0，c>0，化简∣2a∣＋∣3b∣－∣a＋c∣

  4、a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，求 的值。

知识点：

3、利用绝对值比较有理数的大小。

（1）两个负数比较大小的方法及其步骤。

由于两个负数对应点都在原点的左边，这两点比较，哪一个在左边，哪一个点对应的数就小；而哪一个在右边，哪一个点对应的数就大；所以，两个负数，绝对值大的反而小。

步骤：

① 先分别求出两个负数的绝对值；

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5楼

② 比较两个绝对值的大小；

③ 根据“两个负数，绝对值大的反而小”进行判断；

有理数比较大小的法则依据：

① 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；

② 两个正数中，绝对值大的就大；

③ 两个负数中，绝对值大的反而小；

相关习题：

一基本题。

  1、比较大小：

       ；            ；     

2、下列各式中正确的是（    ） 

    A.  < <      B. －л>－3.14      C.  2>－3>0     D.  >0.33> 

二发展题。

1、若a

三综合题。

  1、如果a>0，b<0，a<∣b∣，那么a,b,－a,－b的大小顺序是（    ） 

A.－b>a>－a>b      B. a>b>－a>－b       C.－b>a>b>－a      D. b>a>－b>－a

方法指引：

     在数学解题中，要认真观察题目已知条件，挖掘题意即观察条件特征；往往还要观察题目所求目标，分析目标的结构特征。

当然有时还要结合具体图形，对于较复杂问题，还要分类讨论，善于观察问题，培养观察能力对解好数学问题是非常重要的。

二、有理数的运算

    2．5《有理数加法》    

知识点：

1、有理数加法法则 

1、同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。

2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加的0。

3、一个数同零相加，仍得这个数。

方法指引：

    在使用法则进行运算时，培养良好的解题习惯非常重要，开始学习时，对每一题的求解可分成以下几个解题步骤：

（1）观察两个加数的符号；

（2）想法则，由符号判断属于法则中的“同号”或者“异号”的情况；（3）定和的符号，以及决定和的绝对值应是两个加数的绝对值的和或差。

知识点：

2、有理数加法的运算律

1、加法交换律：

a+b＝b+a  

2、加法结合律：

（a+b）+c＝a+（b+c）

方法指引：

在利用运算律解题时，要注意题目的以下特征和结合方式：

（1）互为相反数的两个数，可先相加；

（2）同分母的分数可以先相加；（3）几个数相加可得整数或数值比较小，可先相加；

相关习题：

一基本题。

  1、15＋（－29）＋（－29）＋58 

  2、（ ）＋ ＋（ ）＋ 

  3、（ ）＋（ ）＋ ＋（ ）＋（ ）

  4、（－18.6）＋（－5.16）＋（＋1.44）＋5.16＋18.6

二发展题。

  1、 某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进方向为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走线路（单位：

千米）为＋10，－3，＋4，＋2，－8，＋13，－2，＋12，＋8，＋5。

（1）问收工时距A多远？

（2）若每千米耗油0.2升，问从A地出发到收工时共耗油多少升？

2．6《有理数减法》    

知识点：

1、有理数减法法则 

1、减去一个数，等于加上这个数的相反数。

2、法则用字母表示成公式形式：

a－b＝a＋（－b） 

方法指引：

（1）在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；

（2）将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：

一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；

【注意】：

在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律。

         减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算。

相关习题：

一基本题。

  1、－6比－8大       ；    －11比2小          ； 

  2、5.69－（－3.01）－（＋ ）－（