初二数学第七讲全等三角形的性质及判定教案.docx
- 文档编号:29133225
- 上传时间:2023-07-20
- 格式:DOCX
- 页数:36
- 大小:430.29KB
初二数学第七讲全等三角形的性质及判定教案.docx
《初二数学第七讲全等三角形的性质及判定教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初二数学第七讲全等三角形的性质及判定教案.docx(36页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初二数学第七讲全等三角形的性质及判定教案
第07讲全等三角形的性质及判定
(一)
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
苏教版
课时时长(分钟)
120分钟
知识点
1.全等图形
2.全等三角形的表示和性质
3.全等三角形的判定
4.直角三角形全等的判定
5.全等三角形的应用
6.全等三角形的判定与性质
教学目标
1.了解全等三角形的概念
2.掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质
3.会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题
教学重点
1.学习综合证明的格式。
2.提高利用全等三角形的性质与判定分析、解决问题的能力。
教学难点
应用全等三角形的性质与判定解决有关问题
教学过程
一、复习预习
十六世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。
可英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得:
用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了,于是等于符号“=”就从1540年开始使用。
直到1591年,法国数学家韦达在菱形中大量使用这个符号,才逐渐为人们接受。
十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了“=”号,他还在几何学中用“∽”表示相似,用“≌”表示全等。
每学习一门新数学课,或进入一个新的数学分支,我们都会遇到新的符号。
数学符号功能是什么呢?
英国学者R.斯坎普开列了如下“菜单”——数学符号的十种功能:
(1)传递;
(6)使反思活动成为可能;
(2)记录知识;
(7)揭示结构;
(3)形成新的概念;
(8)使操作程序自动化;
(4)简化复杂纷繁的分类系统;
(9)信息的恢复与理解;
(5)解释;
(10)进行创造性的思考。
二、知识讲解
1.全等三角形的概念及性质
(1)全等形的概念:
两个能够完全重合的图形叫做全等形。
(2)全等形的性质:
全等图形的形状和大小都相同。
(3)全等三角形的概念:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
如果
能与
全等,记作
≌
。
(4)全等三角形的对应元素:
两个三角形全等,互相重合的顶点叫对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
(5)表示方法:
符号“≌”读作“全等于”,如△ABC和△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,如图,点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点,AB和DE、BC和EF,AC和DF是对应边,∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角。
(6)全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
2.三角形全等的判定
(1)边边边公理:
三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”。
①书写格式:
在列举两个三角形全等的条件时,把三个条件按顺序排列,并用大括号将它们括起来,如:
在
和
中,
,∴
≌
(SSS)
(2)边角边公理:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”。
(3)角边角公理:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”和“ASA”。
(4)角角边定理:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”和“AAS”。
(5)直角三角形全等的条件:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”。
考点/易错点1
用“SAS”判断两个三角形全等的条件是两条边以及这两条边的夹角对应相等,应特别注意其中的夹角是两一直边的夹角而不是其中一边的对角。
用“ASA”定理来判断两个三角形全等,一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边对应相等;用“AAS”定理来判断两个三角形全等,要注意边是其中一角的对边,
例举两个三角形全等的条件时,列出全等的三个条件一定要按角边顺序的对应。
考点/易错点2
判断两个三角形全等常用的方法如下表:
已知条件
可判定方法
寻找条件
两边对应相等(SS)
SSS或SAS
第三边或两边的夹角对应相等
一边及其邻角对应相等(SA)
SAS、ASA
已知角的另一边对应相等或已知边的另一邻角对应相等
一边及其对角对应相等(SA)
AAS
另一个角对应相等
两角对应相等(AA)
ASA、AAS
两角的夹边或其中一角的对边对应相等
考点/易错点3
应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件,书写时必须在两个三角形前加上“Rt”。
一般三角形全等的条件对直角三角形同样适用,但“HL”定理只适用于直角三角形全等的判定,对于一般三角形不适用。
考点/易错点4
两个三角形不一定全等的情况:
①在两个三角形中三对边和三对内角对应相等这六个元素中满足其中一个或两个对应相等,那么这两个三角形不一定全等。
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
③有三个内角分别对应相等的两个三角形不一定全等。
三、例题精析
【例题1】
【题干】图中是大小相等的两个矩形,请你判断出哪一个阴影部分的面积较大( )
A.
甲图的阴影面积大
B.
乙图的阴影面积大
C.
甲、乙图的阴影面积相等
D.
以上都不对
【答案】C.
【解析】左右两边图形中,每个小阴影的面积都等于相邻的空白的面积,所以阴影的面积等于矩形面积的一半;而两个图形的大小相等,则甲、乙图阴影面积相等.
【变式1】以如图方格纸中的3个格点为顶点,有多少个不全等的三角形( )
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9
【答案】C.有△ABC、△BFD、△BFE、△BHC、△BHD、△BOC、△BOD、△BOE
【解析】主要考查了全等三角形,关键是细心分析,不要漏解.
【变式2】全等三角形又叫做合同三角形.平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形.假如△ABC和△A′B′C′是全等三角形,且点A与点A′对应,点B与点B′对应,点C与点C′对应.当沿周界A﹣B﹣C﹣A及A′﹣B′﹣C′﹣A′环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形(如图①);若运动方向相反,则称它们是镜面合同三角形(如图②).两个真正合同三角形,都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合;而两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中的一个翻转180度.下列各组合同三角形中,属
于镜面合同三角形的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C.
【解析】根据真正合同三角形和镜面合同三角形的特点,可得要使C组的两个三角形重合必须将其中一个翻转180°;其它组的全等三角形可在平面内通过平移或旋转使它们重合.
【例题2】
【题干】如图所示,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,在下列结论中,不正确的是( )
A.
∠EAB=∠FAC
B.
BC=EF
C.
∠BAC=∠CAF
D.
∠AFE=∠ACB
【答案】C.∵△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,∴BC=EF,∠AFE=∠ACB,∠EAB=∠FAC,∠BAC=∠CAF不是对应角,因此不相等.
【解析】确认两条线段或两个角相等,往往利用全等三角形的性质求解.
【变式1】如图,△ABD≌△ACE,∠B=50°,∠AEC=110°,
则∠DAE=( )
A.
30°
B.
40°
C.
50°
D.
60°
【答案】B.∵如图,△ABD≌△ACE,∠B=50°,∴∠C=∠B=50°,∠BAD=∠CAE.
又∵∠C+∠AEC+∠CAE=180°,∠AEC=110°,∴∠BAD=∠CAE=20°,
∴∠BAD+∠CAE+∠DAE+∠B+∠C=180°,即20°+20°+∠DAE+50°+50°=180°,∴∠DAE=40°.
【解析】解答时,应将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来.
【变式2】在△ABC中,点A的坐标为(﹣1,1),点C的坐标为(﹣2,2),点B的坐标为(﹣5,1),如果△ABD与△ABC全等,求点D的坐标.
【答案】当△ABC≌△ABD时,D坐标为(﹣2,0);当△ABC≌△BAD时,D坐标为(﹣4,0);当△ABC≌△BAD时,D坐标为(﹣4,2);
【解析】分三种情况:
△ABC≌△ABD、△ABC≌△BAD、△ABC≌△BAD,画出图形即可.
【例题3】
【题干】尺规作图作∠AOB的平分线方法如下:
以O为圆心,任意长为半径画弧交OA,OB于C,D,再分别以点C,D为圆心,以大于
CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是( )
A.
SAS
B.
ASA
C.
AAS
D.
SSS
【答案】D.以O为圆心,任意长为半径画弧交OA,OB于C,D,即OC=OD;以点C,D为圆心,以大于
CD长为半径画弧,两弧交于点P,即CP=DP;OP公共.故得△OCP≌△ODP的根据是SSS.
【解析】考查了三边对应相等的两个三角形全等(SSS)这一判定定理.
【变式1】我国的纸伞工艺十分巧妙,如图,伞不论张开还是缩拢,△AED与△AFD始终保持全等,因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.你知道△AED≌△AFD的理由吗?
( )
A.
SAS
B.
ASA
C.
SSS
D.
AAS
【答案】C.∵E、F为定点,∴AE=AF,又∵AD=AD,ED=FD,
∴在△AED和△AFD中,
,∴△AED≌△AFD(SSS).
【解析】由题意可知AE=AF,AD=AD,DE=DF根据SSS即可证明△AED≌△AFD.
【变式2】(2013•台湾)附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中标示的各点位置,判断△ACD与下列哪一个三角形全等?
( )
A.
△ACF
B.
△ADE
C.
△ABC
D.
△BCF
【答案】B.∵根据图形可知AD=AD,AE=AC,DE=DC,∴△ACD≌△AED,
【解析】主要考查学生的观察图形的能力和推理能力.
【例题4】
【题干】(2012•通州区一模)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,求证:
△ABD≌△ACE.
【答案】证明:
∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠EAC=∠DAB,
在△AEC和△ADB中
,∴△AEC≌△ADB(SAS).
【解析】考查了全等三角形的判定,推出∠EAC=∠DAB是解题的关键.
【变式1】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点.将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连接BE、EC.
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
【答案】数量关系为:
BE=EC,位置关系是:
BE⊥EC.
证明:
∵△AED是直角三角形,∠AED=90°,且有一个锐角是45°,
∴∠EAD=∠EDA=45°,∴AE=DE,∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°,
∠EDC=∠ADC﹣∠EDA=180°﹣45°=135°,∴∠EAB=∠EDC,∵D是AC的中点,
∴AD=CD=
AC,∵AC=2AB,∴AB=AD=DC,
∵在△EAB和△EDC中,
,∴△EAB≌△EDC(SAS),∴EB=EC,且∠AEB=∠DEC,∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°,∴BE⊥EC.
【解析】证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等.
【变式2】如图,△ABC中,M为BC中点,DM⊥ME,MD交AB于D,ME交AC于E.
求证:
BD+CE>DE.
【答案】证明:
如图,延长DM到F,使MF=DM,连接EF、CF,∵BM=CM,∠BMD=∠CMF,
∴△BDM≌△CFM(SAS),∴BD=CF,∵DM⊥ME,DM=FM,ME是公共边,
∴△DEM≌△FEM(SAS),∴DE=FE,在△ECF中,EC+FC>EF,∴BD+EC>DE.
【解析】作辅助线构造全等三角形是关键.
【例题5】
【题干】如图所示,将一长方形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,点D落在点E处,折痕为MN,图中有全等三角形吗?
若有,请找出并证明.
【答案】∵四边形ABCD是长方形,∴AB=DC,∠B=∠C=∠DAB=90°
∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM,∴AE=CD,∠E=∠D=90°,∠EAN=∠C=90°.
∴AB=AE,∠B=∠E,∠DAB=∠EAN,即:
∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM,
∴∠BAN=∠EAM.在△ABN与△AEM中,
,∴△ABN≌△AEM(ASA).
【解析】判定两个三角形全等时,必须有边参与,若有两边一角对应相等,角须是两边夹角.
【变式1】AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D,AE交BD于点C,且BC=DC.求证:
AB=ED.
【答案】证明:
∵AB⊥BD,ED⊥BD,∴∠ABC=∠D=90°,
在△ABC和△EDC中,
,∴△ABC≌△EDC(ASA),
∴AB=DE.
【解析】此题的关键是找出能使△ABC≌△EDC的条件.
【变式2】如图,△ABC中,∠B=∠C,D,E,F分别在AB,BC,AC上,且BD=CE,∠DEF=∠B,求证:
ED=EF.
【答案】解:
∵∠DEC=∠B+∠BDE,又∵∠DEF=∠B,∴∠BDE=∠CEF.
在△EBD与△FCE中,
,∴△EBD≌△FCE(ASA).∴ED=EF.
【解析】证明ED=EF可以转化为证明△EBD≌△FCE,证这两个三角形相等已具备的条件是:
∠B=∠C,BD=CE,这样就可以转化为证明:
∠BDE=∠CEF.
【例题6】
【题干】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E.AD⊥CE于点D.
求证:
△BEC≌△CDA.
【答案】证明:
∵BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,∴∠BEC=∠CDA=90°,
在Rt△BEC中,∠BCE+∠CBE=90°,在Rt△BCA中,∠BCE+∠ACD=90°,∴∠CBE=∠ACD,
在△BEC和△CDA中,
,∴△BEC≌△CDA(AAS).
【解析】本题根据AAS证明两三角形全等,难度适中.
【变式1】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,求证:
DE=AD+BE.
【答案】证明:
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ACD+∠BCE=90°,又∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴∠ADC=∠CEB=90°,
而∠ACD+∠DAC=90°,∴∠BCE=∠CAD.
在△ADC和△CEB中,
,∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴AD=CE,DC=EB.又∵DE=DC+CE,∴DE=EB+AD.
【解析】先证明∠BCE=∠CAD,再证明△ADC≌△CEB,可得到AD=CE,DC=EB,等量代换,可得出DE=AD+BE.
【变式2】如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D点,AD=2.5cm,DE=1.7cm,则BE的长为( )
A.
0.8
B.
1
C.
1.5
D.
4.2
【答案】A.∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°.
∵∠BCE+∠ACD=90°,∴∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中,
,∴△CEB≌△ADC(AAS),
∴BE=DC.CE=AD=2.5.∵DC=CE﹣DE,DE=1.7cm,∴DC=2.5﹣1.7=0.8.
【解析】先得出∠E=∠ADC=90°,再由△CEB≌△ADC得出BE=DC,就可以求出BE的值.
【例题7】
【题干】OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA,垂足为点D,PE⊥OB,垂足为点E,点M,N分别在线段OD和射线EB上,PM=PN,∠AOB=68°,求∠MPN的度数.
【答案】∵OC是∠AOB的平分线,∴∠DOP=∠EOP,又∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠DOP=∠EOP,在△ODP和△OPE中,
,∴△ODP≌△OPE(AAS)
∴PD=PE.∠PDO=∠PEO=∠PEN=90°.∵∠PDO+∠PEO+∠DPE+∠AOE=360°,∠AOB=68°,
∴∠DPE=112°.在Rt△PDM和Rt△PEN中,
,∴Rt△PDM≌Rt△PEN(HL),
∴∠DPM=∠EPN.∴∠DPM+MPE=∠EPN+∠MPE,∴∠DPE=∠EPN=112°.
【解析】根据四边形的内角和可得出∠DPE的值,证明△PDM≌△PEN得出∠DPM=∠EPN.
【变式1】如图,在△ABC中,点Q、P分别是边AC、BC上的点,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,且PR=PS,则下列结论:
①AP平分∠BAC;②QP∥AB;③AS=AR;④△BPR≌△QSP,其中正确的有( )
A.
①②③
B.
②③④
C.
①②④
D.
①③④
【答案】A.∵PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,且PR=PS,∴点P在∠BAC的平分线上,
即AP平分∠BAC,①正确;∴∠PAR=∠PAQ,∵AQ=PQ,∴∠APQ=∠PAQ,∴∠APQ=∠PAR,∴QP∥AB,②正确;在△APR与△APS中,
,∴△APR≌△APS(HL),
∴AR=AS,③正确;△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90°,其他不容易得到,所以,不一定全等.④错误.综上所述,①②③正确.
【解析】准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键.
【变式2】已知:
点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图1,若点O在边BC上,求证:
AB=AC;
(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证:
AB=AC;
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?
请画出图表示.
【答案】
(1)证明:
过点O分别作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
由题意知,在Rt△OEB和Rt△OFC中,
,∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),
∴∠ABC=∠ACB,从而AB=AC;
(2)证明:
过点O分别作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
由题意知,OE=OF.∠BEO=∠CFO=90°,
∵在Rt△OEB和Rt△OFC中,
,∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL),∴∠OBE=∠OCF,
又∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC;
(3)解:
不一定成立,当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC,否则AB≠AC.(如示例图)
【解析】关键是通过辅助线来构建全等三角形.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
【例题8】
【题干】如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )
A.
带①去
B.
带②去
C.
带③去
D.
带①和②去
【答案】C.第一块,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不符合任何判定方法;第二块,仅保留了原三角形的一部分边,所以该块不行;第三块,不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边,所以符合ASA判定,所以应该拿这块去.
【解析】主要考查对全等三角形的判定方法的灵活运用,要求对常用的几种方法熟练掌握.
【变式1】如图,小明为了测量河的宽度,他站在河边的点C,头顶为点D,面向河对岸,压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边点A,然后他姿势不变,在原地方转了180°,正好看见了他所在的岸上的一块石头点B,他测出BC=30m,你能猜出河有多宽吗?
说说理由.
【答案】∠BCD=∠ACD=90°,CD=CD,∠BDC=∠ADC,∴△BCD≌△ACD,∴AC=BC=30m.
【解析】解决本题的关键是条件∠BDC=∠ADC的找出。
【变式2】如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,若∠CBA=32°,则∠FED= 度,∠EFD= 度.
【答案】∵AC=DF,AB=DE,∠BAC=∠EDF=90°,∴Rt△ABC≌△DEF,∴∠FED=∠CBA=32°,∠EFD=90°﹣32°=58°.
【解析】解题的关键是证明△ABC≌△DEF,并利用全等的性质求解.
四、课堂运用
【基础】
1.如图,方格纸中有四个相同的正方形,则∠1+∠2+∠3为( )
A.
90°
B.
120°
C.
135°
D.
150°
【答案】C.
【解析】∵在△ACB和△BDE,
,∴△ACB≌△BDE,∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等,∴∠1+∠3=90°,又∠2=45°,∴∠1+∠2+∠3=135°.
2.下列各组图形中,是全等形的是( )
A.
一个钝角相等的两个等腰三角形
B.
两个含60°的直角三角形
C.
边长为3和5的两个等腰三角形
D.
腰对应相等的两个直角三角形
【答案】D.
【解析】A、不能确定边长相等,错误;B、不能确定边长相等,错误;C、边长为3和5的
两个等腰三角形不能确定那个边为腰,错误;D、腰对应相等的两个直角三角形一定是全等三角形,正确.
3.如图,△ABC≌△DCB,若∠A=80°,∠ACB=40°,则∠BCD等于( )
A.
80°
B.
60°
C.
40°
D.
20°
【答案】B.
【解析】∵△ABC≌△DCB,∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB,△ABC中,∠A=80°,∠ACB=40°,∴∠ABC=180°﹣80°﹣40°=60°,∴∠BCD=∠ABC=60°。
4.如图,若△ABC≌△AEF,则对于结论:
(1)AC=AF;
(2)∠FAB=
∠EAB;(3)EF=BC;(4)∠EAB=∠FAC.其中正确的个数是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】C.
【解析】∵△ABC≌△AEF,∴AC=AF,EF=BC,∠EAF=∠BAC,
(1)(3)正确,∴∠EAF﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BAF,即∠EAB=∠FAC,(4)正确,只有AF平分∠BAC时,∠FAB=∠EAB正确,
(2)错误.综上所述,正确的是
(1)(3)(4)共3个.
5.(2013•铁岭)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( )
A.
BC=EC,∠B=∠E
B.
BC=EC,AC=DC
C.
BC=DC,∠A=∠D
D.
∠B=∠E,∠A=∠D
【答案】C.
【解析】A、已知AB=DE,再
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初二 数学 第七 全等 三角形 性质 判定 教案