高中数学立体几何.docx
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高中数学立体几何
高中数学立体几何
一.解答题(共30小题)
1.如图,在三棱台ABC﹣DEF中,已知平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3,
(Ⅰ)求证:
BF⊥平面ACFD;
(Ⅱ)求二面角B﹣AD﹣F的余弦值.
2.如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(1)求证:
EG∥平面ADF;
(2)求二面角O﹣EF﹣C的正弦值;
(3)设H为线段AF上的点,且AH=
HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
3.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(Ⅰ)证明:
A1D⊥平面A1BC;
(Ⅱ)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
4.如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.
(1)证明:
BC∥平面PDA;
(2)证明:
BC⊥PD;
(3)求点C到平面PDA的距离.
5.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.
(1)求证:
GF∥平面ADE;
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
6.如题图,三棱锥P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=
.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=
,CE=2EB=2.
(Ⅰ)证明:
DE⊥平面PCD
(Ⅱ)求二面角A﹣PD﹣C的余弦值.
7.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=
,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图2.
(Ⅰ)证明:
CD⊥平面A1OC;
(Ⅱ)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.
8.如图,三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB.
(1)证明:
PE⊥FG;
(2)求二面角P﹣AD﹣C的正切值;
(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.
9.如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=
,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
(Ⅰ)求证:
MN∥平面ABCD
(Ⅱ)求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为
,求线段A1E的长.
10.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=
,PA=AD=2,AB=BC=1.
(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;
(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.
11.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(Ⅰ)证明:
BE⊥DC;
(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.
12.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2
,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且CO⊥ABB1A1平面.
(1)证明:
BC⊥AB1;
(2)若OC=OA,求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.
13.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD中点.
(Ⅰ)求证:
直线AF∥平面PEC;
(Ⅱ)求PC与平面PAB所成角的正弦值.
14.如图,在三棱锥D﹣ABC中,DA=DB=DC,D在底面ABC上的射影为E,AB⊥BC,DF⊥AB于F
(Ⅰ)求证:
平面ABD⊥平面DEF
(Ⅱ)若AD⊥DC,AC=4,∠BAC=60°,求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值.
15.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=135°,侧面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2,E,F分别为BC,AD的中点,点M在线段PD上.
(Ⅰ)求证:
EF⊥平面PAC;
(Ⅱ)若M为PD的中点,求证:
ME∥平面PAB;
(Ⅲ)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等,求
的值.
16.如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,DE=3,BC=EF=1,AE=
,∠BAD=60°,G为BC的中点.
(1)求证:
FG∥平面BED;
(2)求证:
平面BED⊥平面AED;
(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
17.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
18.如图,已知边长为6的菱形ABCD,∠ABC=120°,AC与BD相交于O,将菱形ABCD沿对角线AC折起,使BD=3
.
(1)若M是BC的中点,求证:
在三棱锥D﹣ABC中,直线OM与平面ABD平行;
(2)求二面角A﹣BD﹣O的余弦值;
(3)在三棱锥D﹣ABC中,设点N是BD上的一个动点,试确定N点的位置,使得CN=4
.
19.如图,已知AB⊥平面ACD,DE∥AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.
(1)求证:
AF∥平面BCE;
(2)求证:
平面BCE⊥平面CDE;
(3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.
20.如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DE的中点.
(Ⅰ)求证:
BE∥平面ACF;
(Ⅱ)求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值.
21.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC,PA=AB=BC=2AD,E是PC的中点.
(Ⅰ)求证:
DE⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角A﹣PD﹣E的余弦值.
22.如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点.
(1)证明:
AE⊥平面PAD;
(2)取AB=2,若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为
,求二面角E﹣AF﹣C的余弦值.
23.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,B1B=B1A=AB=BC,∠B1BC=90°,D为AC的中点,AB⊥B1D.
(Ⅰ)求证:
平面ABB1A1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角B﹣B1D﹣C的余弦值.
24.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q是AD的中点.
(1)若PA=PD,求证:
平面PQB⊥平面PAD;
(2)若平面APD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,在线段PC上是否存在点M,使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°.若存在,试确定点M的位置,若不存在,请说明理由.
25.(理)在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中,AB=2,AD=1,AA'=1.
求:
(1)顶点D'到平面B'AC的距离;
(2)二面角B﹣AC﹣B'的大小.(结果用反三角函数值表示)
26.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.
(1)证明:
AC1⊥A1B;
(2)设二面角A1﹣AB﹣C的正切值为
.求直线AA1与平面BCC1B1的距离.
27.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是
,D是AC的中点.
(1)求证:
B1C∥平面A1BD;
(2)求二面角A1﹣BD﹣A的大小;
(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值.
28.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的
中点.
(Ⅰ)若PA=PD,求证:
平面PQB⊥平面PAD;
(Ⅱ)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,试
确定点M的位置,使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°,并求出
的值.
29.如图,在三棱锥P﹣ABC中,∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°.
(1)求证:
平面PBC⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AB=2,BC=
,在直线AC上是否存在一点D,使得直线BD与平面PBC所成角为30°?
若存在,求出CD的长;若不存在,说明理由.
30.如图,四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中,侧棱AA′⊥ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA′=AB=2,E为棱AA′的中点.
(1)求证:
B′C′⊥CE;
(2)求二面角B′﹣CE﹣C′的余弦值;
(3)设点M在线段C′E上,且直线AM与平面ADD′A′所成角的正弦值为
,求线段AM的长.
2016年07月04日1338322的高中数学组卷
参考答案
一.解答题(共30小题)
1. ;2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. ;8. ;9. ;10. ;11. ;12. ;13. ;14. ;15. ;16. ;17. ;18. ;19. ;20. ;21. ;22. ;23. ;24. ;25. ;26. ;27. ;28. ;29. ;30. ;
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