北师大版腰三角形直角三角形教案.docx
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北师大版腰三角形直角三角形教案
九年级上数学[北师大版]
(2)等腰三角形、直角三角形
一、同步辅导:
等腰三角形、直角三角形
1、等腰三角形是一种特殊的三角形,等边三角形又是特殊的等腰三角形.它们除其有一般三角形的边、内角、外角的性质之外,还有许多特殊性.
2、等腰三角形和等边三角形的性质和判定。
性质
判 定
等腰三角形
1.由定义可得:
等腰三角形两个腰相等。
2.定理:
等腰三角形的两个底角相等。
(同一三角形中,等边对等角)
3.定理推论:
等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高线互相重合。
4.对称性,等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴。
(底边的中垂线)
1.用定义:
有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
即同一三角形中,等角对等边。
等边三角形
1.由定义可得:
三边相等。
2.定理推论,等边三角形的各角都相等且每个角都等于60°。
3.对称性:
等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴,即三条边的垂直平分线。
4.具有等腰三角形的所有性质。
1.由定义:
三边都相等的三角形是等边三角形。
2.定理推论:
三个角都相等的三角形是等边三角形。
3.定理推论:
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形
1.直角三角形中两个锐角互余。
2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3.勾股定理:
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2
4.直角三角形全等的判定方法除了常用的以外,还有HL.
1.由定义:
有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。
2.勾股定理逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形。
二、例题精讲:
说明:
等腰三角形具有两条腰相等以及两个底角相等的性质,这些性质不仅可以用于证明,而且也常常用于计算线段或角的大小.
例1.等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和等于245°,求它的顶角的度数.
分析:
这是关于等腰三角形角的计算.可考虑应用设未知数列方程的方法计算.
解:
(一)设这个等腰三角形的顶角为x°,根据"同一三角形中等边对等角",则它的一个底角为
,这个顶角的外角为
,
底角的外角为[180-
.
由题意可得:
(180-x)+[180-
(180-x)]=245
∴180-x+180-90+
x=245
∴-
x=245-270
∴x=50
答:
这个三角形顶角为50°.
解:
(二)设顶角为x°,底角为y°,顶角外角为(180-x)°,底角外角为(180-y)°.
由三角形内角和定理可得:
x+2y=180
由题意可得:
(180-x)+(180-y)=245, ∴x+y=115,
∴
解方程组得
答:
这个三角形顶角为50°.
例2.等腰三角形中的一个内角为50°,求另外两个角的度数.
分析:
等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角,等腰三角形的底角必为锐角.因此这个50°的角既可以是顶角又可以是底角,所以要分类进行讨论.
解:
若顶角为50°时,
由等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可得一底角为:
=65°.
∴三角形另外两个角都为65°,
若底角为50°,
则另一底角也为50°,由内角和又可求另一角为
180°-(2×50°)=80°。
∴三角形另外两个角一个为50°,另一个为80°.
例3.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm.求它的周长.
分析:
等腰三角形的边有两种:
一是等腰三角形的两条腰相等,另一是等腰三角形的底边.因此此题的已知条件中两边长为25cm和13cm,有可能腰为25cm或13cm,两种情况都可以构成三角形,因此要分类讨论.
解:
(1)若腰长为25cm时,则另一腰也为25cm,底边长为13cm.
∴等腰三角形周长=25+25+13=63(cm)
(2)若底边长为25cm时,则腰长为13cm,
∴等腰三角形周长=25+13+13=51(cm)
说明:
1.等腰三角形的两个底角相等是等腰三角形很重要的一条性质,由于等腰三角形图形的特殊性,特别要注意分类讨论思想的运用,需要看是顶角还是底角,边是腰还是底边,只有将这些内容考虑周全,才会使解答更加完整.
2.若等腰三角形两边长为25cm和12cm,求三角形周长时,腰长只能为25cm,周长只能为62cm.若腰长为12cm,则两腰长的和24cm<底边25cm,不符合三角形两边之和大于第三边的定理.
例4.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15cm和11cm两部分,求这个三角形的底边长.
分析:
解这类的问题为了便于分析和解答先根据题意画出图形,写出已知和所求再解答.
已知:
如图△ABC中,AB=AC,BD为AC中线,且BD将△ABC周长分为15cm和11cm两部分,求△ABC的底边BC的长.
分析:
①由图中可知BD将△ABC周长即AB+AC+BC分成两部分为:
AB+AD和BC+CD,题中的已知条件并没有指明哪一部分为15cm和11cm,因此应对这题进行分类讨论.②为便于解题可采用设元法用方程思想去解决.
解:
设腰长AB=AC=2x,底边BC=y,
∵BD为AC中线(已知) ∴AD=CD=x(线段中点定义)
∴AB+AD=2x+x=3x,BC+CD=y+x.
1)当AB+AD=15,即3x=15,BC+CD=11,即x+y=11时,
解方程组得
∴底边长为6cm.
2)当AB+AD=11,即3x=11,BC+CD=15,即x+y=15时.
解方程组得
∴底边长为
cm.
两种解都能构成三角形,且都符合题意
答:
这个等腰三角形的底边长为6cm或
cm.
说明:
在这二种情况中一定要注意求出底边长之后应养成检验的好习惯,看是否符合题意.由
(1)中可知BC=6,则腰长AB=2x=10,∴AB+AC>BC符合题意.同理
(2)中BC=
AB+AC=4x=
>BC,也符合题意.若AB+AC 例5.如图AB=AC,D是AE上一点,且BD=DC。 求证: AE⊥BC。 分析: 由AB=AC可知ΔABC是等腰三角形应联想它的性质,要证明AE⊥ BC须证AE平分∠BAC,根据已知AB=AC,BD=DC,AD=AD,可得ΔABD≌ΔACD,得出∠1=∠2,再由性质证出AE⊥BC。 证明: 在ΔABD和ΔACD中, ∵ ∴ΔABD≌ΔACD(SSS) ∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等) 又∵AB=AC(已知) ∴AE⊥BC(等腰三角形顶角的平分线是底边的高线)。 例6.如图在ΔABC中,AB=AC,E在BA延长线上,且AE=AF,求证: EF⊥BC。 分析: 要证明EF⊥BC不大好入手,但是否可以找到一条垂直于BC的直线,再证EF与之平行呢? 这个设想是可以完成的。 因为图形有等腰ΔABC,BC边的中线、高线与∠BAC的平分线三线合一。 证明: 作∠A的平分线AD交BC于D,延长EF交BC于M, ∵ΔABC中,AB=AC(已知), ∴AD⊥BC于D (等腰三角形顶角平分线是底边的高线) ∵∠BAC是ΔAEF的外角(如图) ∴∠BAC=∠3+∠4 (三角形外角等于和它不相邻的两个内角和) ∵AE=AF(已知)∴∠3=∠4(同一三角形中等边对等角) ∴∠BAC=2∠4(等式性质)∴∠4= ∠BAC, 又∵∠2=∠1(作图),∴∠2= ∠BAC(角平分线定义) ∴∠2=∠4(等量代换) ∴AD//EF(内错角相等两直线平行) ∴∠EMB=∠ADB(两直线平行同位角相等) ∵AD⊥BC(已证) ∴∠ADB=90°(垂直定义) ∴∠EMB=90°(等量代换) ∴EF⊥BC(垂直定义)。 说明: 如果补充定理: 若a//b,且a⊥c,则b⊥c,则可不作EF延长线,证出AD//EF后,再由AD⊥BC,直接可证出EF⊥BC。 例7.如图△ABC是等边三角形,△ADE是以AD,AE为腰的等腰三角形,∠DAE=80°,∠BAD=15°,求∠CAE和∠EDC的度数. 分析: 题中除有两个角的具体度数外,还隐含了等边三角形每个角都是60°的条件.这样可以从∠DAC=∠BAC-∠BAD求得∠DAC度数,也就求得了∠CAE的度数.又可由△ADE为等腰三角形,则∠ADE= (180°-∠DAE),以及∠ADC是△ABD的外角,也可求得∠EDC的度数. 解: ∵△ABC为等边三角形(已知) ∴∠B=∠BAC=60°(等边三角形的每一个角为60°) ∵∠2=∠BAC-∠1(全量等于部分之和) ∵∠1=15°(已知) ∴∠2=60°-15°=45°(等式性质) 又∵∠3=∠DAE-∠2(全量等于部分之和) ∵∠DAE=80°(已知) ∠2=45°(已求) ∴∠3=80°-45°=35°(等式性质),即∠CAE=35° 在△ADE中, ∵AD=AE(已知) ∴∠ADE=AED(同一三角形中,等边对等角) 又∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°(三角形内角和定理) ∴∠ADE= (180°-∠DAE)= (180°-80°)=50°(等式性质) ∵∠ADC是△ABD外角, ∵∠1=15° ∠B=60°(已求) ∴∠ADC=∠1+∠B(三角形外角等于和它不相邻的两个内角和), =15°+60°=75°(等式性质) ∵∠EDC=∠ADC-∠ADE(全量等于部分之和) =75°-50°(等量代换) =25° 答: ∠CAE为35°,∠EDC为25°. 例8.如图,在直角△ABC中,∠BAC=90°,D,E在BC上,且BE=AB,CD=AC,求∠DAE的度数. 分析: 如图 (1)先观察∠DAE在图形中的位置,首先,∠DAE是△ADE的内角,则∠DAE=180°-(∠1+∠2),而∠1,∠2又分别是等腰△ABE和等腰△ADC的底角,又可从中找到∠1,∠2与∠B,∠C的关系,又∠B+∠C=90°,这样理清这样一串角之间的关系,就可以从中求得∠DAE. 解: (一)∵BE=AB(已知)∴∠1=∠BAE(同一三角形中,等边对等角) ∵∠1+∠BAE+∠B=180°(三角形内角和定理) ∴∠1= (180°-∠B)(等式性质) 同理可求∠2= (180°-∠C) 在△ADE中,∵∠DAE=180°-(∠1+∠2)(三角形内角和定理) ∴∠DAE=180°-[ (180°-∠B)+ (180°-∠C)](等量代换) =180°-(180°- ∠B- ∠C) = (∠B+∠C) 又∵∠BAC=90°(已知) ∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理) ∴∠B+∠C=180°-90°=90°(等式性质) ∴∠DAE= (∠B+∠C)(已证) = ×90°(等量代换) =45° 答: ∠DAE的度数为45°. 解法二: 分析: 如图 (2)由上可知∠DAE与∠1、∠2是ΔAED的三个内角,同时∠DAE与∠3和∠4又能组成直角,且∠2=∠DAC,∠1=∠BAE,都与∠EAD有关,因此可设元找它们之间的关系,用方程思想去解决。 解: 设∠EAD=x°,∠3=y°,∠4=z°, ∵CA=CD(已知) ∴∠CAD=∠2(同一三角形中等边对等角) ∴∠CAD=∠2=x+y, 又∵AB=BE(已知), ∴∠1=∠EAB(同一三角形中,等边对等角) ∴∠EAB=∠1=x+z, ∵∠EAD+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理), ∴x+(x+z)+(x+y)=180°,即3x+y+z=180°, 又∵∠3+∠EAD+∠4=∠CAB(全量等于部分之和), 即y+x+z=90°, ∴ 由 (2)- (1)∴2x=90°,∴x=45°, 答: ∠EAD为45°。 例9.如图在ΔABC中,∠A,∠B的外角平分线分别交对边CB、AC的延长线于D,E且AD=AB=BE,求∠BAC的度数。 分析: 题目的已知条件中,没有出现一个角的具体数值,却有着相当多的角的关系: 两个等腰三角形,两个外角平分线。 点B的周围是这些角的汇集处。 可以从两个方面分析,向点B集中。 为了使思维清楚表达方便,设∠BAC=x°,从∠BAD出发,通过AD是ΔABC外角的平分线以及ΔABD是等腰三角形,可用x表示∠ABD。 而另一个方向是从∠BAC出发,通过ΔABE是等腰三角形,BE是ΔABC外角平分线,用x表示∠CBF,最终通过对顶角∠ABD=∠CBF关系,列出关于x的方程,解得x,即求出∠BAC。 解: 设∠BAC=x, ∵∠BAG是ΔABC外角,∴∠BAG=180°-x(平角定义), ∵AD是∠BAG平分线(已知), ∴∠DAB= ∠BAG(角平分线定义), ∴∠DAB= (180°-x)=90°- x(等式性质) ΔABD中,∵AB=AD(已知) ∴∠ABD=∠D(同一三角形中等边对等角) 又∵∠D+∠ABD+∠DAB=180°(三角形内角和定理), ∴∠ABD=∠D= (180°-∠DAB)(等式性质) = [180°-(90°- x)](等量代换) =45°+ ∵AB=BE(已知),∴∠BAE=∠E(同一三角形中等边对等角), ∴∠E=x°(等量代换), ∵∠FBE是ΔABE外角(如图), ∴∠FBE=∠BAE+∠E(三角形外角等于和它不相邻的两个内角和), =2x(等式性质), ∵BE是∠CBF的角平分线(已知), ∴∠FBC=2∠FBE(角平分线定义) =2(2x)=4x(等式性质), ∵∠ABD=∠FBC(对顶角相等), ∴45+ =4x(等量代换), 解方程得x=12°,答: ∠BAC的度数为12°。 例10、求证等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 说明: 此题是文字题,把文字题“翻译”成“已知”,“求证”等符号语言,是我们这段学习中应当掌握的。 已知: ΔABC中,AB=AC,BD⊥AC于D。 求证: ∠DBC= ∠BAC。 分析: 要证明∠DBC= ∠BAC,则需找出一个角使它等于∠DBC的二倍, 再证其与∠BAC相等。 因此以BD为一边,以B为顶点,在BD另一旁作∠EBD=∠CBD,得∠EBC=2∠CBD,再证∠EBC=∠BAC。 证法 (一): 以BD为一边,以B为顶点,在BD的另一旁作 ∠EBD=∠CBD,BE交AC于E, ∴∠EBC=2∠CBD, ∵BD⊥AC于D(已知), ∴∠EDB=90°,∠BDC=90°(垂直定义), ∴∠EDB=∠BDC(等量代换), 在ΔBED和ΔBCD中, ∵ ∴ΔBED≌ΔBCD(ASA) ∴∠BEC=∠C(全等三角形对应角相等) 在ΔEBC中,∵∠EBC=180°-∠BEC-∠C(三角形内角和定理), ∴∠EBC=180°-2∠C(等式性质), 又∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠C(同一三角形中等边对等角), ∵∠A=180°-∠ABC-∠C(三角形内角和定理), ∴∠A=180°-2∠C(等式性质), ∴∠EBC=∠A(等量代换), ∵∠EBC=2∠DBC(已证),∴∠A=2∠DBC(等量代换), ∴∠DBC= ∠BAC(等式性质)。 方法 (二): 分析要证明∠CBD= ∠BAC,则需找一个角使它等于 ∠BAC,再证其与∠DBC相等, 作∠BAC平分线AF得到∠2= ∠BAC, 由AB=AC AF⊥BC,由∠DBC=90°-∠C, ∠2=90°-∠C ∠2=∠DBC,即∠DBC= ∠BAC。 方法(三): 分析: 直接应用定理进行计算出 ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-2∠C=2(90°-∠C), 又因为∠DBC=90°-∠C,可证出∠DBC= ∠BAC。 方法(四): 类似法 (一)如图作 ∠CBE=∠DBC,BE交AC延长线于E, 很容易推出∠ACB=∠2+∠E, ∠ABC=∠1+∠3 ∠3=∠E, 由垂直条件 ∠3+∠A=90°, ∠1+∠2+∠E=90°,则∠1+∠2=∠A, ∴∠DBC= ∠A。 说明: 证明一个角等于另一个角的二倍或一半时,常用以下几种方法: (1)先作一个角等于小角的二倍,再证其与大角相等(如法一,法四) (2)先作一个角等于大角的一半,再证其与小角相等(如法二) (3)运用代数运算来推导(如法三) 研究与探讨: 如果一个等腰三角形可以被一条直线分割成两个较小的等腰三角形,那么这样的等腰三角形共有几个? 这条直线怎样画? 讨论所有可能的情况,并画出图形. 分析与解: 我们常见的此类等腰三角形有顶角为90°的等腰直角三角形,所以第一种如图 (1),但是怎样能够把所有的情况都考虑到? 需要利用分类讨论的思想。 设原等腰三角形中AB=AC。 因为等腰三角形被直线分成两部分仍旧分别是等腰三角形,所以这条直线一定经过三角形的顶点,并和对边相交。 可以分类讨论: 1)直线经过等腰三角形的顶角顶点,将底边分成两截线段。 这时,新构成的等腰三角形有两种情况,如图 (1) (2)。 图 (1)中AD=BD=CD,图 (2)中AB=BD AD=DC 2)直线经过等腰三角形的底角顶点,将其中一腰分成两截线段。 新构成的等腰三角形有两种情况,如图(3)(4)。 图(3)中AD=CD=BC 图(4)中AD=BD BC=CD 研究探讨: 以上共四种情况,你能不能分别求出原来等腰三角形的顶角度数? 分别是多少? 提示: 可以利用等腰三角形中角的关系,用方程的思想求出顶角度数。 分别为90°、108°、36°、 . 练习: (上海市中考题)如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。 假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响? 请说明理由,如果受影响, 已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒? 分析: (1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。 (2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。 因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。 解: 作AB⊥MN,垂足为B。 在RtΔABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°, AP=160,∴AB= AP=80。 (在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半) ∵点A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的 影响。 如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m),由勾股定理得: BC2=1002-802=3600,∴BC=60. 同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),∴CD=120(m). 拖拉机行驶的速度为: 18km/h=5m/s t=120m÷5m/s=24s. 答略。 小结: 勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过做辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理. 三、同步测试 窗体顶端 选择题 1.等腰三角形周长12厘米,其中一边长2厘米,其他两边分别长( )。 A、2厘米、5厘米 B、5厘米、5厘米 C、5厘米、5厘米或2厘米、2厘米D、无法确定 窗体底端 窗体顶端 2.等腰三角形一腰上的高与底边夹角是60°,则顶角的度数为( ) A、60° B、120° C、90° D、30° 窗体底端 窗体顶端 3.等腰三角形ABC中,∠A=90°,在底边BC上截取BD=AB,过D作DE⊥BC交AC于E,连AD,则图中等腰三角形的个数应是( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 窗体底端 窗体顶端 4.下列说法中,正确的是( ) A、一个钝角三角形一定不是等腰三角形 B、一个等腰三角形一定是锐角三角形 C、一个直角三角形一定不是等腰三角形 D、一个等边三角形一定不是钝角三角形 窗体底端 窗体顶端 5.下列命题中错误的是( ) A、直角三角形中,任一直角边的中线小于斜边 B、等腰直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半 C、到直角三角形三顶点距离相等的点一定在斜边的中点上 D、有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 窗体底端 窗体顶端 6.如图已知: ΔABC中,∠ACB=90°,且BC=BD,AC=AE,则∠DCE的度数为( )。 A、45° B、60° C、50° D、30° 窗体底端 窗体顶端 7.过直线l外一点A,作l的垂线,下列作法中正确的是( )。 A、过A作AB⊥l于B,则线段AB即为所求 B、过A作l的垂线,垂足是B,则射线AB即为所求 C、过A作l的垂线,垂足是B,则直线AB即为所求 D、以上作法都不正确 窗体底端 窗体顶端 8.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,∠ABC与∠ACB的平分线相交于O,过O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,那么图中所有的等腰三角形有几个( ) A、6 B、4 C、3 D、5 窗体底端 窗体顶端 9.等腰三角形中有一个角是另一个角的四倍,则这个三角形的顶角的度数为( ) A、20° B、30° C、20°或120° D、120° 答案与解析 答案: 1
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