平行四边形经典例题.docx
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平行四边形经典例题
平行四边形
基础知识平行四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
疋
义
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。
两腰相等的梯形是等腰梯形。
性
质
1、对边平行且相等。
2、对角相等,邻角互补。
3、对角线互相平分
1、四个角都是直角。
2、对角线相等。
1、四条边都相等。
2、两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。
具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。
1、两腰相等两底平行
2、同一底上的两角相等
3、两条对角线相等
判
疋
1、定义:
2、判定定理:
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
1、定义:
2、判定定理:
(1)对角线相等的平行四边形是矩形。
(2)有三个角是直角的四边形是矩形。
1、定义:
2、判定定理:
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直的四边形是菱形。
1、先证明是矩形再证明一组邻边相等。
2、先证明是菱形再证一个角是直角。
1、定义:
先判断是梯形在证明两腰相等。
2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
3、对角线相等的梯形是等腰梯形。
对称性
轴对称图形
轴对称图形
轴对称图形
轴对称图形
1、三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三遍的一半。
2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、例题
例1、如图1,平行四边形ABCD中,AE丄BD,CF丄BD,垂足分别为E、F.求证:
/BAE=/DCF.
例2、如图2,矩形ABCD中,AC与BD交于0点,BE丄AC于E,CF丄BD于F.求证:
BE=CF.
例3、已知:
如图3,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC点E、F分别在AB、CD上,且BE=2EACF=2FD.求证:
/BEC玄CFB.
例4、如图6,E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点,且AE=CF.
(1)求证:
△ABE^ACDF
(2)
若:
M、N分别是BEDF的中点,连结MF、EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.
(图6)
四边形AFCE是菱形.
例5、如图7ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.,求证:
例6、如图8,四边形ABCD是平行四边形,0是它的中心,E、F是对角线AC上的点.
(1)如果,则△DEWABFA(请你填上一个能使结论成立的一个条件)
(2)证明彳
图7
图8|
例7、如图9,已知在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,对角线AC和BD相交于点O,E是BC边上一个动点(点
E不与B、C两
点重合),EF/BD交AC于点F,EG//AC交BD于点C.
(1)求证:
四边形EF0G的周长等于20B;
(2)请你将上述题目的条件梯形ABCD中,AD/BC,AB=DC'改为另一种四边形,其他条件不变,使得结论,四边形EF0G
的周长等于20B仍成立,并将改编后的题目画出图形,写出已知、求证、不必证明
例8、有一块梯形形状的土地,现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积
两等分),试设计两种方案(平分方案画在备用图13
(1)、
(2)上),并给予合理
的解释.
备用图
(1)
标准文案
图13
四、练习
一、选择题
1.下列命题正确的是()
(A)、一组对边相等,另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形(D)
2.已知平行四边形ABC啲周长32,5AB=3BC,则AC的取值范围为
(B)
、对角线相等的四边形一定是矩形
在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
A.6 3.两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平形四边形的个数是( C.10 ) D.4 4. (A)1 延长平形四边形 (B)2(C)3(D4 ABCD勺一边AB至UE,使BE=BD,连结DE交BC于F, 若/DAB=120°,/CFE=135° AB=1,_则AC的长为 )(A)1 (B)1.2 (D)1.5 5. AE垂直平分BC于E,AE=1cm,则BD勺长是() (B)2cm(C)3cm 若菱形ABCDh (A)1cm 6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形,那么这个四边形的对角线 (A)互相垂直(B)相等(C)互相平分(D) 7.如图,等腰△ABC中,D是BC边上的一点,DE//AC, (D)4cm 互相垂直且相等 DF//AB,AB=5那么四边形AFDE的周长是 (C)15 (D)20 ■>1.■■■■I■■UB£■■— 1 IV \」 亠BC 10 8.如图,将边长为 (A)3cm (第8题) 8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点 (B) 4cm(C)5cm (第9题) □落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN_则线段CN勺长是(). (D)6cm (第10题) 9.如图,在直角梯形梯形的中位线的长是( ABCD中, AD//BC /B=90,AC将梯形分成两个三角形,其中△ACD是周长为18cm的等边三角形,则该 9 cm(D)18cm 2 10.如图,在周长为20cm的口ABC中,AB^ADACBD相交于点O,OELBD交AD于己,则厶ABE的周长为( (A)9cm(B)12cm (c) (A)4cm (B)6cm(C)8cm(D)10cm 11.如图2,四边形ABC为矩形纸片.把纸片ABC折叠,使点B恰好落在CDi的中点E处,折痕为AF.若CD=6,则AF等于( D (A)43(B)3.3(C)42(D)8 12.如图,已知四边形ABCDKR、P分别是BCCDk的点,E、F分别是APRP勺中点,当点P在CD! 从C向D移动而点R不动时,那么下列结论成立的是() A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小 图 第12题图 C线段EF的长不变D、线段EF的长与点P 13.在梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC丄BD,且AC5cm,BD=12cm,则梯形中位线的长等于() 2.若正方形的对角线长为2错误! 未找到引用源。 cm,则正方 5.已知: 平行四边形ABCD中,AE丄BC交CB的延长线于点 A.7.5cmB.7cmC.6.5cmD.6cm 14.国家级历史文化名城一一金华,风光秀丽,花木葱茏•某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图),分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花. 如果有AB//EF//DC,BC//GH//AD,那么下列说法中错误的是(A.红花、绿花种植面积一定相等B.紫花、橙花种植面积一定相等 C.红花、蓝花种植面积一定相等D.蓝花、黄花种植面积一定相等二、填空题 1.如果四边形四个内角之比1: 2: 3: 4,则这四边形为形 形的面积为。 3.若矩形一个内角的平分线,把另一边分为4cm,5cm两部分,则这个矩形周长是 4.已知: 平行四边形ABC的周长是30cm,对角线AC,BD相交于点O,△AO啲周长比△BOC勺周长长5cm,则这个平行四边形的各边 长为。 3 E,AF丄CD交CD的延长线于点F,AB+BC+CD+DA=32cm,BC^-AB, 5 /EAF=2/C,_则BE长为,则/C. 6.在平面直角坐标系中,点AB、C的坐标分别是A(—2,是平行四边形,那么点D的坐标是. 5),B(—3,—1), C(1,—1),在第一象限内找一点D,使四边形 ABCD 6个这样的等腰梯形恰好可以拼岀如图 8. 若AE=4cm,DF=3cm,且OELOF, 则EF C 第10题图 如图9 (1)是一个等腰梯形,由 请写岀它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论: 10 (2)所示的一个菱形.对于图10 (1)中的等腰梯形, 如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E, F分别是AB,CD的中点,ADBC,PEF18, 则PFE的度数是. 10•如图,菱形ABCD勺两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点MN分别是边ABBC的中点,贝UPM+PN的最小值是. 14、如图,矩形A1B1C1D1的面积为4,顺次连结各边中点得到四边形A2B2Cp2,再顺次连结四边形A2B2Cp2四边中点得 到四边形A3E3C3D3,依此类推,求四边形AnBnCnDn的面积是 15、如图⑴已知0是口ABCD的对角线交点,AC=24,BD=38,AD=14,那么△OBC的周长等于 18、已知菱形的一条对角线长为12cm,面积为30cm2,则这个菱形的另一条对角线长为cm。 19、菱形ABCD中,ZA=60°,对角线BD长为7cm,则此菱形周长cm 20、如果一个正方形的对角线长为J2,那么它的面积 21、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,ZAOB=60o,AB=8,则矩形对角线的长 22、如图3,等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB//DE,BC=8,AB=6,AD=5则厶CDE周长。 21、正方形的对称轴有条 22、如图4,BD是口ABCD的对角线,点E、F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形,还需增加的一个条件是 23、要从一张长为40cm,宽为20cm的矩形纸片中,剪出长为18cm,宽为12cm的矩形纸片,最多能剪出张。 三、解答题 1.如图,在四边形ABCD中,ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=2,CD=3,求AB的长 8. 5.如图,菱形ABCDE,F分别是BC,CD上的点,/B=ZEAF=60/BAE=18°求/CEF的度数。 7.如图,四边形ABCD中,一组对边AB=DC=4另一组对边A》BC,对角线BD与边DC互相垂直,MN、H分别是ADBGBD的中点,且/ABD=30求: (1)MH的长 (2)MN的长。 如图所示,在△ABC中,/BAC=90,ADLB,BE平分/ABC,EF//BC,那么AE=CF吗? 证明你的结论 9. 如图,ABCD是正方形,CE//BD,BE=BD,BE交DC于点F,求证: (1)ZBEC=30° (2)DE=DF 10.如图,在正方形ABCD中,P为对角线BD上一点, PE1BC垂足为E,PF丄CD垂足为F, 求证: EF=AP 11.如图,四边形ABCD勺对角线ACBD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。 若PE=PF且AP+AE=CP+CF (1)求证: PA=PC; (2)若AD=12,AB=15,/DAB=60,求四边形ABCD勺面积. 11.已知: 如图,E为口ABC[中DC边的延长线上的一点,且CE^DC连结AE 分别交BCBD于点F、G,连结AC交BD于Q连结OF求证: AB=2OF. 12.如图,在矩形ABC中,AD=8cmAB=6cm点A处有一动点E以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时点C处也有一动点F以2cm/s的速度由点C向点D运动,设运动的时间为x(s),四边形EBFD勺面积为y(cmi),求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。 (1)试说明线段CD与FA相等的理由; (2)若使/F=/BCF,□ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件? 请你补上这个条件,并说明你的理由(不要再增添辅助线). 23,(08上海市)如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点0,E是BD延长线上的点,且 △ACE是等边三角形. (1)求证: 四边形ABCD是菱形; (2)若 AED2EAD,求证: 四边形ABCD是正方形. 24,已知: 如图19,四边形ABCD是菱形,E是BD延长线上一点,F是DB延长线上一点,且DE=BF•请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等 (只须证明一组线段相等即可). (1)连结; (2)猜想: =;(3)证明: 25,如图20,已知正方形ABCD的对角线ACBD相交于点O,E是AC上一点,连结EB,过点A作AM丄BE,垂足为M,AM交BD于点F. (1)试说明0E=OF; ⑵如图21,若点E在AC的延长线上,AM丄BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“0E=0F”还成立吗? 如果成立,请给出说明理由;如果不成立,请说明理由 13.如图在直角梯形ABCD中,AD//BC,/B=90°AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点Q从C开始沿CB向B以3cm/s的速度运动,P,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t,t分别为何值时,四边形PQCD为平行四边形,等腰梯形? 14已知: 如图,在直角梯形ABCD中,/B=90o,AD//BC,AD=24cm,BC=26cm,动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动,动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动,P、Q分别从A、C同时出发,当其一点到端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒,t分别为何值时,四边形PQCD 是平行四边形? 等腰梯形? 15如图把一个正方形割去四分之一,将余下的部分分成3个全等的图形(图甲);将余下的部分分成4个全等的图形(图已)仿 照示例,请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分。 (1)分成3个全等的图形(在图一中画岀示意图); (2)分成四个全等的图形(在图二中画出示意图); (3)你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗? 若能,画出大致的示意图。 16.如图是王大爷的一块四边形菜地,在A处有一口井,王大爷要想从A处引一条笔直的水渠,且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分.请你为王大爷设计一条引水渠的方案,画岀图形,并简要写岀作图的主要步骤. 解: 作图步骤: 1 17. (1)如图25-1,在四边形ABCD中,AB=AD,/B=ZD=90°,E、F分别是边BCCD上的点,且/EAF—/BAD求证: EF= 2 BE+FD; 1 (2)如图25-2在四边形ABCD中,AB=AD,/B+ZD=180°,E、F分别是边BCCD上的点,且/EAF=/BAD, (1)中的结论 2 是否仍然成立? 不用证明. (3)如图25-3在四边形ABCD中,AB=AD, 1 ZB+ZADC=180°,E、F分别是边BCCD延长线上的点,且ZEAF=J_ZBAD, (1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若 2 不成立,请写岀它们之间的数量关系,并证明. F与点C不重合时,过点D作DG//y轴交EF于点T,交0C于点G. 求证: EO=DT (3)在 (2)的条件下,设T(xy),写出y与x之间的函数关系式为,自变量x的取值范围是; (4)如图③,将矩形OABC变为平行四边形,放在平面直角坐标系中,且OC=10oc边上的高等于8,点f与点C不重合,过点D作dg/y轴交ef于点T,交OC于点G,求出这时T(x,y)的坐标y与x之间的函数关系式(不求自变量x的取值范围). 19. (1)如图10-1所示,BD,CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF丄BD,AGLCE,垂足分别为F,G连结FG延长AF,AG 与直线BC分别交于点MN,那么线段尸6与厶ABC的周长之间存在的数量关系是什么? 即: FG=(AB+BC+AC(直接写 出结果即可) (2)如图10-2,若BD,CE分别是△ABC的内角平分线;其他条件不变,线段FG与 △ABC三边之间又有怎样的数量关系? 请写岀你的猜想,并给予证明. ABC勺外角平分线,其他条件不变,线段FG与厶ABC三边又有怎样的数 (3)如图10-3,若BD%AABC的内角平分线, 量关系? 直接写岀你的猜想即可•不需要证明。 20.已知正方形ABC刖等腰R^BEF,EFBE,BEF90°,按图1放置,使点F在BC上,取DF的中点G连EG、CG. (1)探索EGCG勺数量关系,并说明理由; (2)将图1中£BEF绕B点顺时针旋转45°得图2,连结DF,取D啲中点G问 (1)中的 结论是否成立,并说明理由; (3)将图1中IBEF绕B点转动任意角度(旋转角在0到90°之间)得图3,连结DF,取DF的中点G,问 (1)中的结论是否成立,请说明理由;
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