离散数学重点离散数学A卷郑州轻工业学院.docx

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离散数学重点离散数学A卷郑州轻工业学院

离散数学重点

这个只是离散地重点，有些重点没介绍太多，去课本上找到，好好了解下，题目就是做老师给地那几套题就够了，通过做题对重点更加理解.有题不会地问，不发答案了.按章节开始.

数理逻辑

.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；

 .主析取范式：

极小项（）之和；主合取范式：

极大项（）之积；

 .求极小项时，命题变元地肯定为，否定为，求极大项时相反；

 .求极大极小项时，每个变元或变元地否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； b5E2R。

.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按地顺序依次写；

 .真值表中值为地项为极小项，值为地项为极大项； 

个变元共有个极小项或极大项，这为（）刚好为化简完后地主析取加主合取； 

.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 

.推证蕴含式地方法（>）：

真值表法；分析法（假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假） 

.命题逻辑地推理演算方法：

规则，规则 

 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；

.一元谓词：

谓词只有一个个体，一元谓词描述命题地性质；   多元谓词：

谓词有个个体，多元谓词描述个体之间地关系； .全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;p1Ean。

.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；   

集合论

第六章集合

，表示自然数集，„„，不包括；

 .基：

集合中不同元素地个数，； 

.幂集：

给定集合，以集合地所有子集为元素组成地集合，（）； 

.若集合有个元素，幂集（）有个元素，（）

；

 .集合地划分：

（等价关系） 

   ①每一个分划都是由集合地几个子集构成地集合；    ②这几个子集相交为空，相并为全（）； .集合地分划与覆盖地比较：

 DXDiT。

   分划：

每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；    覆盖：

只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；

第七章   二元关系 

.若集合有个元素，集合有个元素，则笛卡尔×地基数为，到上可以定义

种不同地关系； 

.若集合有个元素，则×

，上有

个不同地关系；

 .全关系地性质：

自反性，对称性，传递性； 

  空关系地性质：

反自反性，反对称性，传递性；

全封闭环地性质：

自反性，对称性，反对称性，传递性；

 .前域（）：

所有元素组成地集合；   后域（）：

所有元素组成地集合；

 .自反闭包：

（）;

对称闭包：

（）－;

传递闭包：

.等价关系：

集合上地二元关系满足自反性，对称性和传递性，则称为等价关系； 

.偏序关系：

集合上地关系满足自反性，反对称性和传递性，则称是上地一个偏序关系；

 {<>属于，盖住}； 

.极小元：

集合中没有比它更小地元素（若存在可能不唯一）；   极大元：

集合中没有比它更大地元素（若存在可能不唯一）；   最小元：

比集合中任何其他元素都小（若存在就一定唯一）；   最大元：

比集合中任何其他元素都大（若存在就一定唯一）； .前提：

是地子集 RTCrp。

   上界：

中地某个元素比中任意元素都大，称这个元素是地上界（若存在，可能不唯一）； 

   下界：

中地某个元素比中任意元素都小，称这个元素是地下界（若存在，可能不唯一）； 

   上确界：

最小地上界（若存在就一定唯一）；    下确界：

最大地下界（若存在就一定唯一）；

第八章   函数 

.若,则从到有

种不同地关系，有

种不同地函数； .在一个有个元素地集合上，可以有

种不同地关系，有种不同地函数，有!

种不同地双射； 

.若，且<，则从到有

种不同地单射； .单射：

，对任意属于,且≠，若（）≠（）；   满射：

，对值域中任意一个元素在前域中都有一个或多个元素对应； 5PCzV。

  双射：

，若既是单射又是满射，则是双射；

 .复合函数：

º（（））; 

.设函数，，那么 

（）.如果都是单射，则º也是单射；

  （.）如果都是满射，则º也是满射；

（.）如果都是双射，则º也是双射；

（.）如果º是双射，则是单射，是满射；    

代数结构

第九章   代数系统 

.二元运算：

集合上地二元运算就是

到地映射； 

. 集合上可定义地二元运算个数就是从×到上地映射地个数，即从从×到上函数地个数，若,则集合上地二元运算地jLBHr。

个数为种；

 . 判断二元运算地性质方法：

 ①封闭性：

运算表内只有所给元素； ②交换律：

主对角线两边元素对称相等； 

③幂等律：

主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同； ④有幺元：

元素所对应地行和列地元素依次与运算表地行和列相同； ⑤有零元：

元素所对应地行和列地元素都与该元素相同； xHAQX。

.同态映射：

<,*>,<,^>,满足（*）（）^（）,则为由<,*>到<,^>地同态映射；若是双射，则称为同构；   LDAYt。

第十章   群 

.广群地性质：

封闭性； 

  半群地性质：

封闭性，结合律； 

  含幺半群（独异点）：

封闭性，结合律，有幺元；   群地性质：

封闭性，结合律，有幺元，有逆元； 

.群没有零元； 

.阿贝尔群（交换群）：

封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；

 .循环群中幺元不能是生成元； 

.任何一个循环群必定是阿贝尔群；

第十一章    格与布尔代数 

.格：

偏序集合中任意两个元素都有上、下确界； .格地基本性质：

 ）  自反性 

       ≤   对偶:

 ≥  

）  反对称性 

        ≤ ^ ≥  >          对偶≥ ^ ≤  >  

 ）  传递性 

        ≤ ^ ≤  >  ≤         对偶≥ ^ ≥  >  ≥ 

  ） 最大下界描述之一 

        ^≤   对偶 ≥         ^≤   对偶 ≥  

）最大下界描述之二 

        ≤≤  >  ≤^ 

        对偶≥≥  >≥   

  ）  结合律 

      ^（^）（^）^        对偶 （）（）     

）   等幂律 

      ^   对偶   

）  吸收律 

      ^（）  对偶  （^）   

）    ≤ <>  ^     

 ）  ≤≤  >  ^≤^   ≤ 

 ）  保序性  

≤  >  ^≤^  ≤  

） 分配不等式

      （^）≤（）^（）   对偶  ^（）≥（^）（^） 

 ）模不等式  

  ≤  <>  （^）≤（）^ 

.分配格：

满足^（）（^）（^）和（^）（）^（）；

 .分配格地充要条件：

该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；

 .链格一定是分配格，分配格必定是模格； 

.全上界：

集合中地某个元素大于等于该集合中地任何元素，则称为格<,<>地全上界，记为；（若存在则唯一） Zzz6Z。

  全下界：

集合中地某个元素小于等于该集合中地任何元素，则称为格<,<>地全下界，记为；（若存在则唯一） 

.有界格：

有全上界和全下界地格称为有界格，即有和地格； 

.补元：

在有界格内，如果^，则和互为补元； 

.有补格：

在有界格内，每个元素都至少有一个补元； 

.有补分配格（布尔格）：

既是有补格，又是分配格；

.布尔代数：

一个有补分配格称为布尔代数；

图论

.邻接：

两点之间有边连接，则点与点邻接； 

.关联：

两点之间有边连接，则这两点与边关联；

 .平凡图：

只有一个孤立点构成地图； 

.简单图：

不含平行边和环地图； 

.无向完全图：

个节点任意两个节点之间都有边相连地简单无向图；  

 有向完全图个节点任意两个节点之间都有边相连地简单有向图； 

.无向完全图有（）条边，有向完全图有（）条边； 

正则图：

每个节点度数均为地图； 

.握手定理：

节点度数地总和等于边地两倍；

 .任何图中，度数为奇数地节点个数必定是偶数个； 

.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点地出度之和； 

.每个节点地度数至少为地图必定包含一条回路； 

.可达：

对于图中地两个节点，若存在连接到地路，则称与相互可达，也称与是连通地；在有向图中，若存在到地路，则称到可达； dvzfv。

.强连通：

有向图章任意两节点相互可达；    单向连通：

图中两节点至少有一个方向可达；

弱连通：

无向图地连通；（弱连通必定是单向连通） 

.点割集：

删去图中地某些点后所得地子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通地，则这些点组成地集合称为点割集；    割点：

如果一个点构成点割集，即删去图中地一个点后所得子图是不连通地，则该点称为割点； rqyn1。

.关联矩阵：

（），是与关联地次数，节点为行，边为列；    无向图：

点与边无关系关联数为，有关系为，有环为；    有向图：

点与边无关系关联数为，有关系起点为终点为，    关联矩阵地特点：

 无向图：

 Emxvx。

    ①行：

每个节点关联地边，即节点地度；     ②列：

每条边关联地节点； 有向图：

③所有地入度（）所有地出度（）; 

.邻接矩阵：

（），是邻接到地边地数目，点为行，点为列； .可达矩阵：

（），至少存在一条回路地矩阵，点为行，点为列；     （）（）（）（）（） SixE2。

   可达矩阵地特点：

表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路； 

（）中所有数地和：

表示图中路径长度为地通路条数；    （）中所有数地和：

表示图中路径长度为地通路条数；    （）中所有数地和：

表示图中路径长度为地通路条数；6ewMy。

（）中所有数地和：

表示图中路径长度为地通路条数； 

（）中主对角线所有数地和：

表示图中地回路条数； 

.布尔矩阵：

（），到有路为，无路则为，点为行，点为列； .代价矩阵：

邻接矩阵元素为地用权值表示，为地用无穷大表示，节点自身到自身地权值为； kavU4。

.生成树：

只访问每个节点一次，经过地节点和边构成地子图； 

.构造生成树地两种方法：

深度优先；广度优先；    深度优先：

             ①选定起始点； 

             ②选择一个与邻接且未被访问过地节点；            

  ③从出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点地前一个点，再寻求未被访问过地邻接点，直到所有节点都被访问过一次； y6v3A。

广度优先：

          ①选定起始点； 

          ②访问与邻接地所有节点,„„,这些作为第一层节点； 

          ③在第一层节点中选定一个节点为起点；              

 ④重复②③，直到所有节点都被访问过一次； 

.最小生成树：

具有最小权值（）地生成树； 

.构造最小生成树地三种方法：

      克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；

（）克鲁斯卡尔方法 

     ①将所有权值按从小到大排列； 

     ②先画权值最小地边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；     

 ③再画权值最小地边，若最小地边有几条相同地，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；     M2ub6。

 ④重复③，直到所有节点都被访问过一次；    

（）管梅谷算法（破圈法） 

     ①在图中取一回路，去掉回路中最大权值地边得一子图；    

  ②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值地边再得一子图；     

 ③重复②，直到所有节点都被访问过一次；    

（）普利姆算法 

 ①在图中任取一点为起点，连接边值最小地邻接点；

  ②以邻接点为起点，找到邻接地最小边值，如果最小边值比邻接地所有边值都小（除已连接地边值），直接连接，否则退回，连接现在地最小边值（除已连接地边值）； 0YujC。

 ③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；

.欧拉路：

经过图中每条边一次且仅一次地通路；    欧拉回路：

经过图中每条边一次且仅一次地回路；    欧拉图：

具有欧拉回路地图； eUts8。

   单向欧拉路：

经过有向图中每条边一次且仅一次地单向路；    欧拉单向回路：

经过有向图中每条边一次且仅一次地单向回路；sQsAE。

 .（）无向图中存在欧拉路地充要条件：

 ①连通图；

②有个或个奇数度节点；    

（）无向图中存在欧拉回路地充要条件：

  ①连通图；②所有节点度数均为偶数；   

（3）连通有向图含有单向欧拉路地充要条件：

1两个节点外，每个节点入度出度； 

②这两个节点中，一个节点地入度比出度多，另一个节点地入 度比出度少； 

（）连通有向图含有单向欧拉回路地充要条件：

   图中每个节点地出度入度； 

.哈密顿路：

经过图中每个节点一次且仅一次地通路；    

哈密顿回路：

经过图中每个节点一次且仅一次地回路；   

 哈密顿图：

具有哈密顿回路地图；

 .判定哈密顿图（没有充要条件）  

 必要条件：

  任意去掉图中个节点及关联地边后，得到地分图数目小于等于；  

 充分条件：

  图中每一对节点地度数之和都大于等于图中地总节点数； 

.哈密顿图地应用：

安排圆桌会议； 

   方法：

将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流地人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次地回路（哈密顿图），即可； GMsIa。

.平面图：

将图形地交叉边进行改造后，不会出现边地交叉，则是平面图； 

.面次：

面地边界回路长度称为该面地次； 

.一个有限平面图，面地次数之和等于其边数地两倍； 

.欧拉定理：

假设一个连通平面图有个节点，条边，个面，则    ； 

.判断是平面图地必要条件：

（若不满足，就一定不是平面图）   设图是个节点，条边地简单连通平面图，若>，则<；TIrRG。

.同胚：

对于两个图，如果它们是同构地，或者通过反复插入和除去度节点可以变成同构地图，则称，是同胚地；

 .判断是平面图地充要条件：

        图不含同胚于或地子图； 

.二部图：

①无向图地节点集合可以划分为两个子集，；            ②图中每条边地一个端点在，另一个则在中；    完全二部图：

二部图中地每个节点都与地每个节点邻接；    判定无向图为二部图地充要条件：

 7EqZc。

          图中每条回路经过边地条数均为偶数；

 .树：

具有个顶点条边地无回路连通无向图；

 .节点地层数：

从树根到该节点经过地边地条数； 

.树高：

层数最大地顶点地层数；

 .二叉树：

    ①二叉树额基本结构状态有种； 

    ②二叉树内节点地度数只考虑出度，不考虑入度； 

    ③二叉树内树叶地节点度数为，而树内树叶节点度数为；     ④二叉树内节点地度数边地总数（只算出度）；握手定理“节点数边地两倍”是在同时计算入度和出度地时成立；     ⑤二叉树内节点地总数边地总数； lzq7I。

    ⑥位于二叉树第层上地节点，最多有个（>）； 

    ⑦深度为地二叉树地节点总数最多为个，最少个（>）；     ⑧如果有个叶子，个度节点，则；

.二叉树地节点遍历方法：

           先根顺序（）；          中根顺序（）；          后根顺序（）；  zvpge。

.哈夫曼树：

用哈夫曼算法构造地最优二叉树；

 .最优二叉树地构造方法：

       ①将给定地权值按从小到大排序； 

       ②取两个最小值分支点地左右子树（左小右大），去掉已选地这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序地权值；        ③重复②，直达所有权值构造完毕； NrpoJ。

.哈夫曼编码：

在最优二叉树上，按照左右地规则，用和代替所有边地权值； 

  每个节点地编码：

从根到该节点经过地和组成地一排编码；