角平分线和中垂线 讲义.docx
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角平分线和中垂线讲义
中垂线和角平分线的性质
1、线段垂直平分线的性质
(1)垂直平分线性质定理:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理的作用:
证明两条线段相等
(2)线段关于它的垂直平分线对称.
3、关于三角形三边垂直平分线的定理
(1)关于三角形三边垂直平分线的定理:
三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
定理的作用:
证明三角形内的线段相等.
(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:
若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.
例1 如图1,在△ABC中,BC=8cm,AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长等于( )
A.6cm B.8cmC.10cm D.12cm
4、角平分线的性质定理:
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等..
定理的作用:
①证明两条线段相等;②用于几何作图问题;
角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、关于三角形三条角平分线的定理:
(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:
三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
定理的作用:
①用于证明三角形内的线段相等;②用于实际中的几何作图问题.
(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
一、选择题:
1.如图1,在△ABC中,AD平分∠CAE,∠B=
,∠CAD=
,则∠ACD等于()
A.
B.
C.
D.
2.如图2,在△ABD中,AD=4,AB=3,AC平分∠BAD,则
=()
A.
B.
C.
D.不能确定
3.如图3,在△ABC中,∠C=
,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:
①AD平分∠CDE;
②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB。
其中正确的有()
A.2个B.3个C.4个 D.1个
4.如图4,AD∥BC,∠D=
,AP平分∠DAB,PB平分∠ABC,点P恰好在CD上,则PD与PC的大小关系是()
A.PD>PCB.PD 二、填空题: 1、已知: 线段AB及一点P,PA=PB,则点P在上。 2、已知: 如图,∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC=。 3、△ABC中,∠A=500,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数。 4、如图,△ABC中,DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线,则∠B∠BAE,∠C∠GAF,若∠BAC=1260,则∠EAG=。 5、如图,△ABC中,AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB,则△BCD的周长是。 第2题第4题第5题 三、解答题 1、如图,在△ABC中,AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E 求证: (1)∠EAD=∠EDA; (2)DF∥AC (3)∠EAC=∠B 2、如图12,PA=PB,∠1+∠2= 。 求证: OP平分∠AOB。 3.Rt 中, , , 为 中点,若点 . 分别在线段 . 上移动,且在移动过程中保持 ,试判断 的形状,并证明你的结论. 4、如图13,△ABC中,P、Q分别是BC、AC上的点,PR⊥AB于R,PS⊥AC于S, 若AQ=PQ,RP=PS。 则PQ与AB是否平行? 请说明理由。 1、在三角形内部,有一点P到三角形三个顶点的距离相等,则点P一定是() A、三角形三条角平分线的交点;B、三角形三条垂直平分线的交点; C、三角形三条中线的交点;D、三角形三条高的交点。 2、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上,则△ABC的形状为() A、锐角三角形;B、直角三角形;C、钝角三角形;D、不能确定 3、如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AD于E,F在BC上,并且BF=AB,则下列四个结论: ①EF∥AC,②∠EFB=∠BAD,③AE=EF,④△ABE≌△FBE,其中正确的结论有( ) A、①②③④ B、①③ C、②④ D、②③④ 3题图4题图5题图 4、如图所示,在 中,∠C=90°,AC=4㎝,AB=7㎝,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,则EB的长是( ) A、3㎝ B、4㎝ C、5㎝ D、不能确定 5、随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有( )处。 A、1 B、2 C、3 D、4 6、在△ABC中,AB、AC的垂直平分线相交于点P,则PA、PB、PC的大小关系是。 7、在△ABC中,AB=AC,∠B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC= 8.如图,已知AB∥CD,O是∠ACD和∠BAC的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=2,则两平行线AB、CD间的距离为______。 9.如图所示,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA=_____。 10.如图所示,在 中,∠C=90°,折叠后,使A、B两点重合,得到折痕ED,再沿BE折叠,C点恰好与D点重合,则∠A等于____度。 8题图9题图10题图 11.如图,AD⊥DC,BC⊥DC: ,E是DC上一点,AE平分∠DAB. (1)如果BE平分∠ABC,求证: 点E是DC的中点; (2)如果E是DC的中点,求证: BE平分∠ABC. 12.如图,过线段AB的两个端点作射线AM、BN,使AM∥BN,按下列要求画图并回答: 画∠MAB、∠NBA的平分线交于E (1)∠AEB是什么角? (2)过点E作一直线交AM于D,交BN于C,观察线段DE、CE,你有何发现? (3)无论DC的两端点在AM、BN如何移动,只要DC经过点E,①AD+BC=AB;②AD+BC=CD谁成立? 并说明理由。 13.正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数. 逆命题 一、知识点讲解: 1.定理1: 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 定理2: 在一个角的内部,到这个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。 2.角平分线另一种定义: 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。 3.在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设。 那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个叫做另一个的逆命题。 4.如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫互逆定理。 其中一个叫另一个的逆定理,虽然一个命题都有逆命题,但一个定理并不都有逆定理。 例2.写出下列定理的逆命题,并判断真假。 (1)同位角相等,两直线平行。 (2)如果x=3,那么x2=9. (3)如果ΔABC是直角三角形,那么当每个内角取一个对应外角时,ΔABC的三个外角中只有两个钝角。 (4)如果ΔABC≌ΔA'B'C',那么BC=B'C',AC=A'C',∠ABC=∠A'B'C'。 解: (1)的逆命题是: 两直线平行,同位角相等,真命题。 (2)的逆命题是: x2=9,则x=3。 它是一个假命题。 ∵(-3)2=9, ∴x=3或x=-3. (3)的逆命题是: 如果ΔABC的每个内角取一个对应外角时,若三个外角中只有两个钝角,那么ΔABC是直角三角形。 它是一个假命题,因为ΔABC还可能是钝角三角形。 (4)的逆命题: 如果在ΔABC和ΔA'B'C'中,BC=B'C',AC=A'C',∠ABC=∠A'B'C',那么ΔABC≌ΔA'B'C'。 这是一个假命题,因为有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。 同步练习: 一、写出下列命题的逆命题,并判断真假。 (1)对顶角相等; (2)两直线平行,同位角相等。 (3)如果a=-b,那么|a|=|b|。 (4)若a·b=0,则a=0. 作业 一、写出下列命题的逆命题,并判断真假。 (1)内错角相等; (2)两直线平行,同旁内角互补。 (3)如果a+b=0,那么a,b互为相反数。 (4)若a+b>0,则a>0,b>0. 二、填空题: 在等腰ΔABC中,AB=AC,∠BAC=120°。 AB的垂直平分线交BC于D,且DC=6厘米,则∠DAC=______,BC=______,点D到AB的距离是______,点D到AC的距离为______。 三、已知如图,在RtΔABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,∠CAD∶∠DAB=1∶2,求∠B的度数。 四、如图所示,已知,三角形ABC中,AB>AC,P在ΔABC的角平分线AD上。 求证: AB-AC>BP-PC. 五、如图: BF⊥AC,CE⊥AB,CE、BF交于D,且BD=CD。 求证: D在∠BAC的平分线上。 六、如 图,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E。 求证: ΔDBE的周长等于AB。 七、在ΔABC中,已知AB的垂直平分线交AC于E,ΔABC和ΔBEC的周长分别为24厘米和14厘米,求AB长。
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