四年级上奥数讲义.docx
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四年级上奥数讲义
第一讲等差数列
【课前导引】德国著名数学家高斯年幼时非常聪明,一次数学课上,老师出了一道题:
1+2+3+4+…+99+100=?
老师出完题后,全班同学都在埋头苦算,小高斯却很快算出了答案,那你知道高斯算得答案是多少?
又是怎么算出来的呢?
什么是等差数列?
一、在等差数列中,我们称第1个数为第1项,第2个数为第2项,第3个数为第3项,……依次类推
二、我们把等差数列的第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中所有数的个数称为项数,而相邻两项的差则被称为公差。
下面的数列是否是等差数列?
如果是,每一列的公差是几?
首项和末项分别是多少?
(1)1,2,3,4,5,…,99,100
(2)1,3,5,7,9,…,97,99
(3)34,35,37,38,40,41,42……
【例1】有一个数列首项是3,每一项都比前一项大2,那么这个数列的第13项是多少?
【巩固练习】一个等差数列共有11项,每一项都比前一项少3,并且首项是100,请问:
这个数列的末项是多少?
【例2】有一个数列,首项是2,每一项都比前一项多5,末项是
452,那么这个数列一共有多少项?
【巩固练习】1、5、9、13、17……281,请问这个数列共有多少项?
【例3】一个等差数列的首项是11,第10项是200,这个等差数列的公差等于多少?
第19项等于多少?
305是第多少项?
【巩固练习】一个等差数列首项是15,第7项是57,这个等差数列的公差是多少?
第20项等于多少?
例4】计算下列各题
1)3+6+9+12+15+18+21+24+27+30
2)41+37+33+29+25+21+17+13+9+5+1
巩固练习】计算:
6+11+16+21+26+31+36+41+46
【例5】下面有一列数是按一定的规律排列的:
4,7,10,13,16,…
(1)请问第10个数是多少?
(2)394是第多少个数?
(3)这个等差数列的前30项的和是多少?
【巩固练习】:
3,8,13,18,23,…
(1)请问第20个数是多少?
(2)603是第几个数?
(3)这个等差数列的前20项的和是多少?
【思维拓展】30名同学按照身高由低到高排成一队,相邻两个同学的身高差都相同,前10名同学的身高和是1450厘米,前20名同学的身高和是3030厘米,那么这30名同学的身高和是厘米。
本讲知识点汇总:
一、末项=首项+(项数-1)X公差公差=(末项-首项)十(项数-1)项数=(末项-首项)十公差+1
和=(首项+末项)x项数十2
二、当项数为计数项时,和=中间项X项数
课后练习:
1、一个等差数列共有10项,从第2项起,每一项都比它的前一项大2,并且首项是3,那么末项是多少?
2、数列:
2、610、14、18……那么这个数列的第20项时多少?
3、数列:
3、&13、18……298、303,这个数列共有多少项?
这个数列的和是多少?
4、求70+67+64+61+58+55+52的和
5、计算:
4+11+18+25+…+102的和
6、小明练习写毛笔字,第一天写了50个大字,以后每天比前一天多5个字,小明共连续练习了30天,问小明一共练习了多少个字?
第2讲列方程解应用题
【例1】解下列方程:
18-2(2x-5)=x-2
【巩固练习】:
解方程:
167-3(4x+5)=2x+54
【例2】实验室中培养了一种奇特的植物,它生长得非常迅速,每天都会生长到昨天质量的2倍还多3公斤。
培养了2天后,植物的质量达到45公斤,求这株植物原来有多少公斤?
【巩固练习】父亲今年32岁,儿子今年5岁,几年以后,父亲的年龄是儿子的4倍?
例3】鸡兔共有18只,腿有56条,问鸡和兔各有多少只?
【巩固练习】鸡兔同笼共20只,兔子的腿数要比鸡的腿数多44条,问共有多少只鸡?
【例4】把一堆糖果分给几位小朋友,若每人2块,将剩余12块;每人3块,将缺少5块,那么小朋友共多少位?
糖果有多少块?
【巩固练习】有一堆苹果分给小朋友,如果每人分3个,还剩下
2个苹果;如果每人分4个,还缺2个苹果,求有几个小朋友?
一共有几个苹果?
【例5】某养鸡场的母鸡只数是公鸡只数的6倍,后来公鸡、母
鸡各增加60只,母鸡的只数变为公鸡只数的4倍,则养鸡场原
来一共养了只鸡。
(2010希望杯初赛试题)
【巩固练习】小军原有故事书的本数是小力的3倍,小军又买来
7本书,小力买来6本书后,小军所有的书是小力的2倍,两人原来各有多少本书?
【例6】香蕉、苹果和梨三种水果共40千克,其中苹果和梨的重量相等。
如果香蕉每千克3元,苹果每千克2元,梨每千克6元,买这40千克水果共花了146元,那么三种水果各有多少千克?
【巩固练习】植树节种树,种一棵柳树需要10分钟,一棵杨树需要20分钟,一棵桃树需要25分钟,小明花了300分钟,一共种了16棵树,其中柳树和杨树一样多,请问:
小明种了多少棵柳树?
课后练习
1、解方程:
x2(x1)3(x2)68
2、学校为新生分配宿舍.每个房间住3人,则多出23人;每个房间住5人,则空出3个房间。
问新生有多少人?
3、张大爷家养的母鸡只数是公鸡只数的4倍,后来公鸡、母鸡各增加40只,母鸡的只数变为公鸡只数的2倍,则养鸡场原来一共养了多少只鸡?
4、有一个班的学生去公园划船,如果增加两条船,正好每条船坐6人;如果减少两条船,正好每条船坐9人,问:
这个班一共有多少人?
5、鸡和兔同笼共20只,兔子的腿数要比鸡的腿数多44条,请问:
一共有多少只鸡?
6、男巫和女巫比赛变魔法,男巫可以用1个魔法之尘变出3朵花,女巫可以用1个魔法之尘变出4朵花,最比他们一共用掉了14个魔法之尘,男巫变出的花朵比女巫变出的花朵多14多。
请问:
男巫用了多少个魔法之尘?
第3讲平均数
【例1】去年十一雷老师去买喜糖,如果雷老师要买100斤巧克力糖,50斤棉花糖和50斤QQ糖,超市还有一种混合糖(巧克力、棉花糖和QQ糖混在一起),已知巧克力每斤80元,棉花糖每斤10元,QC糖每斤15元,那么如果是混合糖每斤应该为多少钱?
【巩固练习】苹果汁的市场价为每吨1000元,芒果汁的市场价为每吨3000元,桃汁的市场价为每吨2000元,某果汁生厂商用20吨苹果汁、10吨芒果汁以及20吨桃汁制成50吨混合汁,那么混合汁的价钱应该是每吨多少钱?
【例2】黑板上有7个数,平均数是55。
如果把其中一个数改为140,则平均数变为64,求被改动的数是多少?
如果再将其余6
个数都乘以2,求此时7个数的平均数。
【巩固练习】教室里有20名学生,平均身高为1.65米。
下课铃响后,一名同学立刻冲进教室,与此同时进来一名1.8米的老师,这时教室里20个人的身高平均变成了1.66米,那么冲出教室的这名同学的身高是多少米?
【例3】甲班有33人,乙班有22人,在一次考试中,甲班的平均分是80分,甲班和乙班的总的平均分为82分,求乙班的平均分。
【巩固练习】黑板上写了12个时数,它们的平均数为92,如果前8个的平均数是93,那么后4个数的平均数等于多少?
【例4】北大附小男老师人数是女老师人数的3倍,并且男老师的平均年龄为28岁,女老师的平均年龄为24岁,那么北大附小的全体教师的平均年龄为多少岁?
【巩固练习】四年级三班男生人数是女生的2倍,并且男生的平均身高为137cm女生的平均身高是140cm那么四年级学生的平均身高是多少厘米?
【例5】甲班有25人,乙班有75人,甲班和乙班的总平均分是
90分,如果甲班的平均分比乙班的平均分高5分,那么乙班的平均分是多少?
【巩固练习】北大附小四年级有200人,五年级有240人,两个
年级的平均身高是140厘米,如果五年级的平均身高比四年级多
3.3厘米,那么五年级的平均身高是多少厘米?
【例6】四年级一班和二班共有60名,在一次数学考试中,两班学生的总平均分为105分,其中二班的平均分是102分,一班的平均分为108分,请问:
一班和二班相差多少人?
【巩固练习】四年级三班和四班共有80名,在一次数学考试中,两班学生的总平均分为104.2分,其中二班的平均分是106分,一班的平均分为102.8分,请问:
三班和四班各有多少人?
课后练习:
1、教室有7名学生,平均年龄10岁,现在又来了一名老师,这样一来8个人的平均年龄就变成了12岁,那么老师的年龄是多少岁?
2、黑板上有10个数,平均数是220。
如果把其中一个数改为240,则平均数变为230,求被改动的数是多少?
如果想让平均数变为240,那么这个数必须改为多少?
3、小高在纸上写了12个自然数,平均数为89,如果前10个数的平均数为91,那么后2个数的平均数等于多少?
4、某果汁生厂商将芒果汁和西果汁混合,其中西果汁的重量是芒果汁的2倍。
如果西果汁的价格是每吨3000元,芒果汁的价格为每吨5100元,那么混合果汁的价格是每吨多少元?
5、某企业初级职员有100人,高级职员有60人,这160人的月平均工资为6000元,如果高级职员的平均工资比初级职员多2400元,那么高级职员的平均工资是多少元?
6、甲乙两所学校举行了一次数学竞赛,共有120名同学参加,总平均分为80分,其中甲学校的平均分为78分,乙学校的平均分为83分,那么甲乙两校参赛人数相差多少人?
第4讲图形面积
复习三角形、平行四边形、梯形的面积计算公式复习等积变形和一般模型
【例1】一条白色的正方形手帕,它的边长是18厘米,手帕上横竖各有二道黑条,黑条宽都是2厘米,这条手帕白色部分的面积是多少?
【巩固练习】如图所示,在一块长24米,宽为16米的草坪上有一条宽为2米的曲折小路,你能运用你所学的知识求出这块草坪的绿地面积吗?
【例2】如图,大正方形的边长为10厘米。
连接大正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等分,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连,那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?
【巩固练习】如图所示,外侧大正方形的边长是10cm在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形,阴影的总面积为26cn1,最小的正方形的边长为多少厘米?
【例3】如图大中小三个正方形的边长依次为9厘米、7厘米和3厘米,那么图中阴影部分的面积为多少?
【巩固练习】如图,三角形ABC和三角形ADE都是等腰直角三角形,它们的直角边分别是10厘米和6厘米,那么阴影部分的面积是多少?
【例4】如图从梯形ABCD中分出两个平行四边形ABEF和CDFG其中ABEF勺面积等于60平方米,且AF得长度为10米,FD的长度为4米,平行四边形CDFG勺面积等于多少平方米?
【巩固练习】如图所示,上面的正方形长是3cm下面的长方形的长为8cm宽为3cm那么图中阴影平行四边形的面积等于多
【例5】如图所示,AB=24cm长方形BDEF中EF=15cm阴影三
角形BCE的面积是60平方厘米,请问:
(1)BC长是多少厘米?
(2)三角形DCE的面积是多少平方厘米?
【巩固练习】如图所示,正方形ABCD勺边长为10,三角形BEF的面积为30,那么BF的长度是多少?
【例6】如图所示,梯形ABCD勺上底长为5厘米,下底BC长为12厘米,要CD的长为8厘米,过B点向CD作出的垂线BE的长为9厘米,那么梯形ABCD勺面积是多少?
【巩固练习】梯形ABCD被对角线AC分为左右两个三角形,其中左侧的三角形ABC面积等于60.如果梯形的上下底部分分别为9和15,那么右侧三角形ACDS积等于多少?
DEFG是10X2的长
【思维拓展】如图,ABCD是7X4的长方形,方形,求△BCOW^EFO的面积差。
课后练习
1、如图,一个长为20米,宽为16米的长方形菜地中间有两条宽为2
米的小路,其它地方都种的菜,那么种菜的面积是多少平方米?
2、【巩固练习】如图,九个小长方形组成一个大长方形,且中央的小长方形恰好是一个正方形。
图中的数字为所在小长方形的面积值,请在图中填出其它长方形的面积值。
12
30
20
16
70
3、正方形ABCD勺边长是4,E、F为BC和AD的中点,P、Q为正方形内两点,求阴影部分的面积。
4、如图长方形被分成两部分,已知阴影面积比空白部分面积大50平方厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
10cm
18cm
5、如图,两个正方形的边长分别为8厘米和5厘米,那么左边阴影部分和右边阴影部分的差为多少?
6有一个边长为16厘米的正方形,连接每边的中点构成第二个正方形,再连接每边的中点构成第三个正方形,第四个正方形。
那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
第5讲行程问题
【例1】一辆公共汽车早上6点从A城出发,以每小时40千米的速度向B城驶去。
3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A城出发到B城。
当小轿车到达B城后,公共汽车离B城还有160千米。
问:
小轿车什么时刻到达B城?
【巩固练习】高速路上自西向东分布着A、B、CD四个加油站,其中A、B之间的距离是20千米,C、D之间的距离是40千米。
上午6:
00快、慢两车分别从A、B两地出发向东前进,快车的速度是每小时80千米,慢车的速度是每小时60千米。
当快车到达D加油站的时候,慢车正好到达C,那么快车从A到达D一共开了几个小时?
I:
II
12040
]II|
ABCD
【例2】甲、乙两车同时从东西两地出发,相向而行。
甲每小时行36千米,乙每小时行30千米,两车在距离中点9千米处相遇,求东西两地间的距离。
【巩固练习】灰太狼在河边,喜羊羊在树下,它们各自发现了对方,于是同时向对方冲去。
已知它们相距300米,灰太狼每秒跑6米,喜羊羊每秒跑4米,灰太狼和喜羊羊的相遇地点与中点相距多少米
?
呵
羊;狼
tI
中占
I八、、
【例3】小明一家开车去外地旅游,预计每小时行驶45千米。
实际上,由于高度公路堵车,汽车每小时只行驶30千米,因此比
预计时间晚到了2小时。
请问:
小明一家在路上实际花了多少时间?
【巩固练习】小邵打算8:
00从家里出发,以每小时50千米的速度,骑马去雁荡山见小杨,可是他起晚了,11:
00才从家里出发,于是他给马吃了大力水手的菠菜,以每小时80千米的速度出发,恰好准时到达。
问:
小邵跟小杨约好几点见面?
【例4】甲从A地出发去B地办事,下午1点出发,晚上7点准时到达。
如果他想下午2点出发,晚上7点准时到达,就必须每小时多行2千米。
求AB两地间的距离。
【巩固练习】小吕一家从温州开车去杭州,预计4小时到达。
出发的时候遇上大雨,路上湿滑,汽车每小时比预计少行驶20千米,结果比预计晚2小时到达。
那么他们预计车速为每小时多少千米?
【例5】两人分别从AB两地同时出发,如果相向而行,1小时后两人相遇;如果相向而行,3小时后甲追上乙。
问:
甲的步行速度是乙的几倍?
【巩固练习】小何在A地,小潘在B地,小何从A地到B地需要20分钟,小潘从B地到A地需要30分钟。
如果两人同时出发相向而行,从出发到相遇需要多少分钟?
【例6】如图,A、B是一条道路的两端点,毕胜在A点,麦丹在B点,两人同时出发,相向而行。
他们在离A点100米的C点第一次相遇。
毕胜到达B点后返回A点,麦丹到达A点后返回B点,两人在离B点80米的D点第二次相遇。
整个过程中,两人各自的速度都保持不变。
求A、B间的距离。
要求写出关键的推理过程。
—老—I“町栄1
ACDB
【巩固练习】小东、小青两人同时从甲乙两地出发。
相遇后两人仍以原速度继续行驶,并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回,途中两人在距离乙地15米处第二次相遇。
问甲乙两地相距多远?
课后练习
1、甲乙两人从相距为46千米的A、B两地出发相向而行,甲比乙先出发1小时,他们两人在乙出发后4小时相遇。
又已知甲比乙每小时多走2千米,那么乙每小时走多少千米?
2、甲、乙两车分别从相距600千米的A、B两地同时出发,同向而行,乙车在前,甲车在后。
8小时后甲车还落后乙车440千米已知乙车每小时行50千米,那么甲车每小时行多少千米?
3、甲、乙两车同时从东、西两地出发相向而行,3小时后相遇。
已知甲车较快,每小时行45千米,且两车相遇地点距离东、西
两地中点12千米,那么乙车每小时行多少千米?
4、一群大雁从旧居迁徙去新居,预计每小时飞50千米。
实际上由于逆风,这群大雁每小时只能分40千米,比预计晚1小时到达目的地。
那么,这群大雁的旧居和新居相距多少千米?
5、小何每天早上7点30分从家里出发,7点50分按时到学校。
今天小何出发晚了,7点35分出发,为了按时到达,小何需要每分钟多走20米,请问:
小何甲与学校相距多少米?
6如图,A、B是一条道路的两端点,蓝猫在A点,红兔在B点,它们同时出发,相向而行,它们在离A点5千米的C点第一次相遇。
蓝猫到达B点后返回A点,红兔到达A点后返回B点,它们在离B点2千米的D点第二次相遇.整个过程中,它们各自的速度
都保持不变•求A、B间的距离
1产—
AC
第6讲容斥原理与最不利原则
【例1】同学们到图书馆借课外书,四一班的同学每人都借到了课外书,其中借文艺书的有40人,借科技书的有30人。
两种书都借的有25人,四一班共有多少人?
【巩固练习】还是四一班有45人,其中会谈钢琴的有30人,会拉小提琴的有28人,则这个班即会弹钢琴的又会拉小提琴的有多少人?
【例2】四年级2班有48人,23人参加了科技小组,26人参加了文艺小组,12人两个小组都参加了。
有多少人两个小组都没有参加?
【巩固练习】一个旅行团有40人,其中会英语的有24人,会俄语的有18人,两样都不会的有14人,那么,两样都会的有多少人?
【例3】某校进行体育竞赛,项目有短跑、游泳、跳高、其中参加短跑的有75人,游泳的有52人,跳高有38人;同时参加短跑与游泳的有26人,短跑与跳高的有22人,游泳与跳高的有10人;三个项目都参加的有2人。
参加竞赛的总共有多少人?
【巩固练习】四年级7班的同学组织体育比赛,分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行,参加轮滑比赛的有20人,参加游泳比赛的有25人,参加羽毛球比赛的有30人,同时参加轮滑和游泳比赛的有8人,同时参加轮滑和羽毛球比赛的有7人,同时参加游泳和羽毛球比赛的有6人,三种比赛都参加的有4人,问参加体育比赛的共有多少人?
【例4】⑴四年级一班学雷锋小组有13人。
教数学的张老师说:
“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日。
”你知道张老师为什么这样说吗?
⑵某幼儿园有367名1996年出生的小朋友,是否有生日相同的小朋友?
【巩固练习】18个小朋友中,小朋友在同一个月出生
①恰好有2个②至少有2个
③必有7个④最多有7个
【例5】一个口袋里有大小相同颜色不同的一些小球,其中红色的有12个,黄色的有10个,蓝色的有6个,绿色的有4个。
现在从口袋中往外摸球,请问:
(1)至少要取多少个球,才能保证取出的球至少有三种颜色?
(2)至少要取多少个球,才能保证其中必有红球和黄球?
【巩固练习】在一个盒子里装着大小相同的红黄蓝三种颜色的小球,每种都有30个,现在闭着眼睛从盒子里拿球。
请问:
⑴至少要从中拿出多少个,才能保证拿出的小球中有红色的?
⑵至少要从中拿出多少个,才能保证拿出的小球中至少有两种颜色?
【例6】将1只白手套、2只黑手套、3只红手套、8只黄手套和9只绿手套放入一个布袋里,请问:
(1)次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色相同的两双手套?
⑵一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色不同的两双手套?
(两只手套颜色相同即为一双)
【巩固练习】口袋中有三种颜色的筷子各10根,问:
⑴至少取多少根才能保证三种颜色都取到?
⑵至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子?
⑶至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子?
课后练习
1、1、四年级1班去麦当劳买东西,买汉堡的有45人,买可乐的有30人,两种都买得有20人,请问实际上去了多少人?
2、四年级2班60名同学报课外班,参加绘画课的有35人,参加音乐的有40人,两种都报名的有20人,那么有多少人两项都没报名?
3、一次数学竞赛出了A、B、C三道题,每人都至少做对一道,其中做对A题的有30人,做对B题的有32人,做对C题的有21人,既做对A题又做对B题的有15人,既做对C题又做对B题的有12人,既做对A题又做对C题的有14人,三道题都做对的有8人。
那么参加竞赛的共有多少人?
4、、在一个盒子里装着大小相同的红黄蓝三种颜色的小球,每种都有20个,现在闭着眼睛从盒子里拿球。
那么至少要从中拿出多少个,才能保证拿出的小球中至少有两种颜色?
5、在一个袋子里装着形状相同的四种口味的糖果,分别是草莓口味、巧克力口味、菠萝口味和苹果口味的,每种糖果各有15块。
现在闭着眼睛从盒子里拿果冻,那么至少要从中拿出多少块,才能保证拿出的果冻中有菠萝口味的糖果?
6、口袋中有四种颜色的筷子各6双,
(1)至少取多少根才能保证四种颜色都取到?
(2)至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子?
第7讲应用题综合
【例1】甲班和乙班共83人,乙班和丙班共86人,丙班和丁班共88人。
问:
甲班和丁班共多少人?
【巩固练习】一个正方形木块放在桌子上,每一面都有一个数,位于对面的两个数之和都等于13,阿呆能看到顶面和两个相邻侧面,看到的三个数之和是18,阿瓜能看到顶面和另两个相邻侧面,看到的三个数之和是24,那么底面上的数是多少?
【例2】四年级有甲乙丙丁四个班,不算甲班,其余三个班的总人数是131;不算丁班,其余三个班的总人数是134人;乙丙两班的总人数比甲丁两班的总人数少1人。
问:
这四个班共有多少人?
【巩固练习】四年级有甲乙丙丁四个班,不算甲班,其余三个班的总人数是121人,不算丁班,其余三个班的总人数是134人;丁班人数的2倍比甲班多9人。
问:
这四个班共有
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