南通市届高三第四次统一测试数学试题及答案.docx
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南通市届高三第四次统一测试数学试题及答案
南通市2008届高三第四次统一测试数学试题
第I部分必考内容
(命题单位:
通州中学满分160分,答卷时间120分钟)
、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分•不需写出解答过程,请把答案填写在答题纸相应位置上.
2
1•对于命题p:
€R,使得x+x+1<0.则「p为:
2•复数z=3+i,z2=1-i,则复数—-在复平面内对应的点位于第象限.
Z2
3.'X•1”是’X2•x”的条件.
4.一个靶子上有10个同心圆,半径依次为1、2、……、10,击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环,则不考虑技术因素,射击一次,在有成绩的情
况下成绩为10环的概率为.
_Lx-y<3
5.设x、y满足条件y y>0 6.如果执行下面的程序框图,那么输出的S二 ^=^+1结束 7.△ABC中,AB=J3,AC=1,NB=30”,则△ABC的面积等于 &给出下列命题: 1变量y与x之间的相关系数「二-0.9568,查表到相关系数的临界值为 Ba=0.8016,则变量y与x之间具有线性关系; 2a0,b0则不等式a3b3_3ab恒成立; 3对于函数fx=2x2mxn.若fa\>0.fb户0,则函数在a,b内至多有一个零点; 4y=fx-2与y=f2-x的图象关于x=2对称. 其中所有正确命题的序号是. 1 9.若? ABC内切圆半径为r,三边长为a、b、c,则? ABC的面积S=qr(a+b+c)类 比到空间,若四面体内切球半径为R,四个面的面积为0、S2、S3、S4,则四 面体的体积V=. 10.已知I#=2b式0,且关于x的函数f(x)=^x3+丄ax2+abx在R上有极值, II32 则a与b的夹角范围为. 11.已知数列牯」为等差数列,且a+a7+a13=4兀,则nE+掠=. 2 12.函数f(x)=ln(x+1)-一的零点所在的区间是(n,n+1),则正整数n=. x 13.四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三视图如图: 则四棱锥P-ABCD的表面积为. 左视图 是(4,a),则当\a\>4时, |PA||PM|的最小值是 二、解答题: 本大题共6小题,共步骤 15.(本题满分12分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60 名学生,将其成绩(是不小于40不大于100的整数)分成六段 90分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算 40,50,50,60…90,1001后 (1)求第四小组的频率,并补全 这个画出如下部分频率分布直方图. (2)观察频率分布直方图图形的 信息,估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分. 16.(本题满分13分)如图,在正方体 ABCD—AiBiCiDi中,E、F为棱AD、AB的中点. (1)求证: EF//平面CBiD仁 (2)求证: 平面CAAiCi丄平面CBiDi. 17.(本题满分15分)在ABC中,a,b,c Tm=(2b-c,cosC),n=(a,cosA),且m〃n. 分别是角a、B、c的对边, (1)求角A的大小; 2n (2)求y=2sin2Bcos(2b)的值域. 椭圆上的点到焦点的最短距离为1—V2,直线I与y轴交于点P(0,m),与椭圆C (1)求椭圆方程; =40P,求m的取值范围. —IT (2)若0曲-OB 19.(本题满分16分)已知数列{a*}的首项6=1,a2=3,前n项和为Sn,且Sn.1、 2a1— &、(n分别是直线l上的点A、B、C的横坐标,AB-BC,设an b=1,bn1-log? ®1)bn. ⑴判断数列{an1}是否为等比数列,并证明你的结论; bn13 4n十n ⑵设cn,证明: VCk<1. anan卅 20.对于函数f(x),若存在Xo•R,使f(Xo)=Xo成立,则称Xo为f(X)的不动点。 x2+a 如果函数f(x)(b,c・N*)有且仅有两个不动点0、2,且 bx—c 1 f(-2): : : 匚。 2 (1)试求函数f(x)的单调区间; (2)点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))从左到右依次是函数y=f(x) 图象上三点,其中1讣: : 2(i=1,2,3),求证: "ABC是钝角三角形. 第n部分加试内容 (命题单位: 通州中学满分40分,答卷时间30分钟) 一•必答题: 本大题共2小题,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.(本小题满分10分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R 的函数: fi(x)=x,f2(x)=x,f3(x)=x,f4(x)=sinx,f5(X)=C0SX,f6(x)=2. (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是 奇函数的概率; (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函 数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数■的分布列和数学期望• 2.(本小题满分10分)已知数列{aj满足印=1,且4ani-a^n「2an=9 (nN) (1)求印82,03月4的值; (2)由 (1)猜想{an}的通项公式,并给出证明. 、选答题: 本大题共4小题,请从这4题中选做2小题,如果多做,则按所做的 前两题记分.每小题10分,共20分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 3•(几何证明选讲)(本小题满分10分)如图所示,已知PA与OO相切,A为切点, PBC为割线,,弦CD//AP,AD、BC相交于E点,F为CE上一点,且DE2=EFEC (1)求证: .P=EDF; (2)求证: CEEB=EFEP. 到3倍的伸压变换. 22 求逆矩阵M」以及椭圆%-y=1在M」的作用下的新曲线 49 的方程. 5.(坐标系与参数方程) (本小题满分10分)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角〉二一, 6 (1)写出直线l的参数方程; (2)设I与圆x2y^4相交与两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积 6.(不等式选讲) (本小题满分10分)设xy^1,求F=2x23y2z2的最大值. 数学试题(答卷) 一、填空题: 本大题共14小题,每小题5分,共70分•不需写出解答过程,请把答案直接填写在相应位置上. 1•2•3•4. 5.6.7.8. 9.10.11.12. 13.14. 二、解答题: 本大题共6小题,共90分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分12分) 16.(本题满分13分) C1 C A F B 17.(本题满分15分) 19.(本题满分16分) 第n部分加试内容 一.必答题: 本大题共 2小题,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.(本小题满分10分) 2.(本小题满分10分) 二、选答题 选答题1,你所选择的题号是 解: 选答题2,你所选择的题号是 解: 数学试题参考答案 、填空题: 1.-x・R,均有x+x+1>02.第一象限3.充分而不必要条件4.0.01 5.46.25507.3或仝8.①④9.1R(Si+S2+&+S4) 243 10.(—,「: ],11.312.113.S=2a2、2a214..a2—9-1 3 二、解答题: 15.(I)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率: f4=1-(0.0250.01520.010.005)10=0.33' 直方图如右所示6' 595f6 (n)依题意,60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,频率和为 (0.0150.030.0250.005)10 =0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75%..9' 利用组中值估算抽样学生的平均分 45f155f265f375f485 =450.1550.15650.15750.3850.25950.05 =71 估计这次考试的平均分是71分 12' 16. (1)证明: 连结BD. 在长方体AG中,对角线BD//B1D1. 又tE、F为棱AD、AB的中点, EF//BD. EF//B1D1. 又BiDi=平面CB1D1,EF二平面CBQ,, AEF//平面CBiDi.6' (2)T在长方体AC1中,AAl丄平面AiBiCiDi,而BiDi=平面AiBiCiDi, AAi丄BiDi. 又;在正方形AiBiCiDi中,AiCi丄BiDi, BiDi丄平面CAAiCi. 又’一一BiDi=平面CBiDi, ■平面CAAiCi丄平面CBiDi.i3' TT i7.(i)由m〃n得(2b-c)cosA-acosC=04' 由正弦定理得2sinBcosA-sinCeosA-sinAcosC=0 2sinBcosA—sin(A+C)=0 二2sinBcosA—sinB=0 1兀代B「0,二.sinB=0,cosA,A二 23 2兀. (2)y=sinBcoscos2Bsin—sin2B 3 13. 12 10 1cos2Bsin2B 22 =sin(2B)1 6 (2)由AP=pb,O+Ob=4OP •••H1=4,L3或O点与P点重合OP=_0> 当0点与P点重合OP="3时,m=0 当匸3时,直线I与y轴相交,则斜率存在。 设I与椭圆C交点为A(xi,yi),B(X2,y2) y=kx+m222 22得(k+2)x+2kmx+(m—1)=0 2x+y=1 2 16' cc2 22—2m1,、 因X=3--kz0••k^~~2>0,•—1 4m—12 容易验证k2>2m2—2成立,所以(*)成立 11 即所求m的取值范围为(一1,—)U(1,1)U{0} 19.⑴由题意得SnA3―=and2an■1 Sn-q4an an11=2(%1)(n>2), -数列{an1}是以a,•1=2为首项,以2为公比的等比数列。 8 [则an•1=2n•an=2n-1(nN)] ⑵由an=2n-1及bn1=log2(an1)bn得bni=bnn 11 n(n「1) 2 6' 证明: 据题意A(X1,f(xJ),B(X2,f(X2)),C(X3,f(X3))且X1 由 (1)知f(X1)>f(X2)>f(X3), BA二(Xi-x2,f(Xi)-f(x? )),BC二(X3一x2,f(X3)一f(X2)) 14 bABC=(X! -X2)(X3-X2)「(xJ-fgMMxd-fX)] -X2: : 0,X3-X20,f(xj-f(X2)0,f(X3)-f(X2): : 0 .BABC: : 0,•B(—,二) 2 即"ABC是钝角三角形.18' 第H部分加试内容 由题意知P(A)=2 C6 故E的分布列为 E 1 2 3 4 P 1 3 3 1 2 10 20 20 .1331 E=1234 2102020 10' 答: E的数学期望为-. 4 二、选答题: 2 3. (1)vDE=EF•EC, •••DE: CE=EF: ED. •△DEFPEA.•DE: PE=EF AD、BC相交于点E,「.DE•EA=CE•EB.•CE•EB=EF•EP.10' 4.(矩阵与变换)解: . 22 椭圆—y=1在M」的作用下的新曲线的方程为x2110' 49 x=1W (2)把直线2代入 y=14 I2 得(13t)2(1」t)2=4,t2(31)t-2=0, 22 6. 1=(x+y+zf=•V2x+于.y/Jy+1・z if2嗚 当且仅当 2x.3yz32 〒二=且xyz=1,x,y,z= 111111111 23 F有最小值—■ 11
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