相似三角形性质及判定知识点总结经典题型总结.docx
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相似三角形性质及判定知识点总结经典题型总结
相像三角形的性质及判断
中考要求
考试要求
板块
A级要求B级要求C级要求
相像三角
掌握相像三角形的观点,判断及性质,以及掌会运用相像三角形有关的
认识相像三角形
握有关的模型知识解决有关问题
形
知识点睛
一、相像的有关观点
1.相像形
拥有同样形状的图形叫做相像形.相像形仅是形状同样,大小不必定同样.相像图形之间的相互变换称为相像变换.
2.相像图形的特征
两个相像图形的对应边成比率,对应角相等.
3.相像比
两个相像图形的对应角相等,对应边成比率.
二、相像三角形的观点
1.相像三角形的定义
对应角相等,对应边成比率的三角形叫做相像三角形.
如图,△ABC与△ABC相像,记作△ABC∽△ABC,符号∽读作“相像于〞.
A
A'
BCB'C'
2.相像比
相像三角形对应边的比叫做相像比.全等三角形的相像比是1.“全等三
角形〞必定是“相像形〞,“相像形〞不必定是“全等形〞.
三、相像三角形的性质
1.相像三角形的对应角相等
如图,△ABC与△ABC相像,那么有AA,BB,CC.
A
A'
BCB'C'
2.相像三角形的对应边成比率
△ABC与△ABC相像,那么有
AB
BC
AC
AB
BC
k〔k为相像比〕.
AC
3.相像三角形的对应边上的中线,高线和对应角的均分线成比率,都等于相像比.
如图1,△ABC与△ABC
相像,AM
是△ABC
中BC边上的中线,AM是△ABC中
BC边上的中线,那么有
AB
BC
AC
k
AM
〔k为相像比〕.
AB
BC
AC
AM
A
A'
BMCB'M'C'
图1
如图2,△ABC与△ABC相像,AH是△ABC中BC边上的高线,AH是△ABC中
BC边上的高线,那么有ABBCACkAH〔k为相像比〕.
ABBCACAH
A
A'
BHCB'H'C'
图2
如图3,△ABC与△ABC相像,AD是△ABC中
BAC的角均分线,AD是△ABC
中BAC的角均分线,那么有
AB
BC
AC
k
AD〔k为相像比〕.
AB
BC
AC
AD
A
A'
BDCB'D'C'
图3
4.相像三角形周长的比等于相像比.
如图4,△ABC与△ABC相像,那么有AB
BC
AC
k〔k为相像比〕.应用
AB
BC
AC
比率的等比性质有
ABBCACABBC
AC
k.
ABBCACABBCAC
A
A'
BCB'C'
图4
5.相像三角形面积的比等于相像比的平方.
如图5,△ABC与△ABC相像,AH是△ABC
中BC边上的高线,AH是△ABC中
BC边上的高线,那么有
AB
BC
AC
k
AH〔k为相像比〕.从而可得
1
AB
BC
AC
AH
S△ABC
BCAH
BC
AH
2
2
.
BC
AH
k
S△ABC1
BCAH
2
A
A'
BHCB'H'C'
图5
四、相像三角形的判断
1.平行于三角形一边的直线和其余两边〔或两边的延伸线〕订交,所组成的三角形与原三角形相像.
2.假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像.可简单说成:
两角对应相等,两个三角形相像.
3.假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比率,而且夹角相等,那么这两个三角形相像.
4.假如一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比率,那么这两个三角形相像.可简单地说成:
三边对应成比率,两个三角形相像.
5.假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比率,那么这两个直角三角形相像.
6.直角三角形被斜边上的高分红的两个直角三角形相像〔常用但要证明〕
7.假如一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等,那么这两个等腰三角形相像;假如它们的腰和底对应成比率,那么这两个等腰三角形也相像.
五、相像证明中的比率式或等积式、比率中项式、倒数式、复合式
证明比率式或等积式的主要方法有“三点定形法〞.
1.横向定型法
欲证
AB
BC
,横向察看,比率式中的分子的两条线段是
AB和BC,三个字
BE
BF
母A,B,C恰为△ABC的极点;分母的两条线段是BE和BF,三个字母B,E,F恰为△BEF的三个极点.所以只要证△ABC∽△EBF.
2.纵向定型法
欲证AB
DE,纵向察看,比率式左侧的比
AB和BC中的三个字母A,B,C恰
BC
EF
为△ABC的极点;右侧的比两条线段是
DE和EF中的三个字母
D,E,F恰为
△DEF的三个极点.所以只要证△ABC∽△DEF.
3.中间比法
因为运用三点定形法经常会遇到三点共线或四点中没有同样点的状况,此时可考虑运用等线,等比或等积进展变换后,再考虑运用三点定形法找寻
相像三角形.这种方法就是等量代换法.在证明比率式时,常用到中间比.
比率中项式的证明,往常波及到与公共边有关的相像问题。
这种问题的典型模型是射影定理模型,模型的特点和结论要娴熟掌握和透辟理解.
倒数式的证明,常常需要先进展变形,将等式的一边化为1,另一边化为几个比值和的形式,而后对比值进展等量代换,从而证明之.
复合式的证明比较复杂.往常需要进展等线代换〔对线段进展等量代换〕,等比代换,等积代换,将复合式转变为根本的比率式或等积式,而后进展证明.
六、相像证明中常有协助线的作法
在相像的证明中,常有的协助线的作法是做平行线结构成比率线段或相像三角形,同时再联合等量代换获得要证明的结论.常有的等量代换包含等线代换、等比代换、等积代换等.
如图:
AD均分BAC交BC于D,求证:
BD
AB.
DC
AC
证法一:
过C作CE∥AD,交BA的延伸线于E.
∴
1
E,2
3.
∵
1
2,∴3
E.∴ACAE.
∵AD∥CE,∴BDBABA.
DCBEAC
评论:
做平行线结构成比率线段,利用了“A〞型图的根本模型.
证法二;过B作AC的平行线,交AD的延伸线于E.
A
12
∴12E,∴ABBE.
BDC
∵BE∥AC,∴BD
BE
AB.
DC
AC
AC
评论:
做平行线结构成比率线段,利用了“X〞型图的根本模型.
七、相像证明中的面积法
E
A
面积法主假如将面积的比,和线段的比进展相互
转变来
解决问题.
常用的面积法根本模型以下:
B
CHD
1
BCAH
图1:
“山字”型
S△ABC
BC
如图:
2
.
S△ACD
CD
1
CDAH
2
A
BHGC
O
D
如图:
S△ABC
1
BCAH
AH
AO.
2
S△BCD
1
BCDG
DG
OD
2
如图:
S△ABD
S△ABD
S△AED
AB
AD
AB
AD.
A
S△ACE
S△AED
S△ACE
AE
AC
AE
AC
E
D
八、相像证明中的根本模型
AAA
DEEDDFE
BCBCBGC
ABABAEB
OOF
CDCDCFDC
AA
A
D
A
OEE
BCBCDBCDB
AEA
A
BDCBCDBDCA
AA
A
DDDG
EGEE
BCFBCFBCFB
A
I
EF
BDHGC
AB
E
D
ED
H
C
C
DB
A
D
E
GCF
BC
图3:
“燕尾”型
AGAHAA
DFDFGDDFN
FM
P
BECBECBECBHEC
例题精讲
一、与三角形有关的相像问题
【例1】如图,在△ABC中,ACAB,点D在AC边上,假定在增添一个条件就能使
△ABC∽△ACB,那么这个条件能够是.
A
D
BC
【牢固】如图,D、E是
ABC的边
AC、AB上的点,且ADAC
AEAB,求证:
ADE
B.
A
E
D
B
C
【牢固】如图,在的4倍,
ABC中,
AC6,求
ADBC于
DE的长.
D,CE
AB于E,
ABC的面积是
BDE
面积
【例2】如图,
△ABC
中,
ABC
60,点
P是△ABC内一点,使得
APB
BPC
CPA,
PA
8,PC
6,那么
PB
.
A
P
BC
【牢固】如图,三个边长相等的正方形相邻并排,求EBFEBG.
AHGF
BCDE
【例3】如图,ABC中,AE:
EB1:
3,BC:
CD
2:
1,AD与CE订交于F,那么AF
EF的
FC
FD
值为〔
〕
A.5
B.1
C.
3
2
2
【牢固】在ABC中,BDCE,DE的延伸线交BC的延伸线于P,求证:
ADBPAECP.
A
DE
BCP
【牢固】如图,M、N为△ABC边BC上的两点,且知足BMMNNC,一条平行于
AC的直线分别交AB、AM和AN的延伸线于点D、E和F.
求证:
EF3DE.
A
D
E
BMNC
F
【例4】如图,AB//EF//CD,假定AB
a,CD
b,EF
c,求证:
1
1
1.
c
a
b
A
C
E
BFD
【牢固】如图,ABBD,CD
BD,垂足分别为B、D,AC和BD订交于点E,EF
BD,
垂足为F.证明:
1
1
1.
AB
CD
EF
A
E
C
B
F
D
【牢固】如图,AB//EF//CD,找出SABD、SBED、SBCD之间的关系,并证明你的结
论.
C
A
E
BHFMDN
【例5】如图,在四边形ABCD中,AC与BD订交于点O,直线l平行于BD,且与AB、
DC、BC、AD
及AC的延伸线分别订交于点
M、N、R、S和P.求证:
PM
PN
PRPS
A
B
D
O
C
l
MN
P
RS
【牢固】,如图,四边形ABCD,两组对边延伸后交于E、F,对角线BD∥EF,AC
的延伸线交EF于G.求证:
EGGF.
【考点】相像三角形的性质与判断
【难度】5星
【题型】解答
A
BD
C
【重点词】
E
GF
【例6】如图,ABC中,BC
a,假定D1,E1分别是AB,AC的中点,那么D1E1
1
a;
2
假定D2、E2分别是D1B、E1C的中点,那么;
A
假定D3、E3分别是D2B、E2C的中点,那么;
D1
E1
假定Dn、En分别是Dn-1B、En-1C的中点,那么DnEn.
D2
E2
D3
E3
Dn
En
B
C
【例7】如图,△ABC内有一点P,过P作各边的平行线,把
△ABC分红三个三角形
和三个平行四边形.假定三个三角形的面积
S1,S2
,S3分别为1,1,2,那么
△ABC的面积是
.
【例8】如图,梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为
p2,q2,那么梯形的面积是〔〕
A.2p2
q2
2
B.pq
C.p2
q2
pq
D.
【牢固】如图,梯形
S△AOD:
S△COB
1:
9
ABCD中,AD∥BC
,那么:
S△BOCS△DOC
,两条对角线.
AC、
BD
订交于
O,假定
二、与平行四边形有关的相像问题
【例9】如图,平行四边形ABCD中,过点B的直线按序与AC、AD及CD的延伸线相
交于点
E、
F、G,假定
BE
5,
EF
2,那么
FG的长是
.
G
A
F
D
E
B
C
【牢固】如图,DE∥AB,OA2OCOE,求证:
AD∥BC.
C
DE
O
AB
【例10】如图,ABCD的对角线订交于点O,在
AB的延伸线上任取一点
E,连结OE
交BC于点F,假定ABa,AD
c,BEb,
求BF的值.
D
C
D
C
O
K
O
F
F
A
BE
A
BE
【牢固】如图:
矩形ABCD的面积是36,在AB,AD边上分别取点E,F,使得AE
3EB,
DF2AF,且DE与CF的交点为点O,求FOD的面积。
B
C
B
C
E
E
O
O
A
F
D
A
F
D
K
三、与梯形有关的相像问题
【例11】:
如图,在梯形ABCD中,AB//CD,M是AB的中点,分别连结AC、BD、MD、
MC,且AC与MD交于点E,DB与MC交于F.
〔1〕求证:
EF//CD
〔2〕假定ABa,CDb,求EF的长.
AMB
EF
DC
【牢固】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,ADa,BCb,E,F分别是AD,BC的中点,AF交BE于P,CE交DF于Q,求PQ的长.
E
AD
PQ
O
BFC
【例12】如图,梯形ABCD中,AD//BC,A90,ABa,ADb,BC2b(ab),DEDC,
DE交AB于点E,连结EC.
〔1〕判断DCE与ADE,DCE与BCE能否分别必定相像,假定相像,请加以证明.
〔2〕假如不必定相像,请指出a、b知足什么关系时,它们就能相像.
四、与内接矩形有关的相像问题
【例13】ABC中,正方形EFGH的两个极点E、F在BC上,另两个极点G、H分别
在AC、AB上,BC15,BC边上的高AD
10,求SEFGH.
A
A
HGEF
M
BEDFCBDC
【牢固】如图,ABC中,AC3,BC4,C90,四边形DEGF为正方形,此中D,E
在边AC,BC上,F,G在AB上,求正方形的边长.
C
DE
AFGB
【例14】如图,ABC中,四边形DEGF为正方形,D,E在线段AC,BC上,F,G在AB
上,假如SADFSCDE1,SBEG
3,求
ABC的面积.
C
D
E
AFGB
【牢固】如图,在ABC中,AB5,BC3,AC4,动点E(与点A,C不重合)在
AC边上,EF∥AB交BC于F点.
⑴当ECF的面积与四边形EABF的面积相等时,求CE的长.
⑵当ECF的周长与四边形EABF的周长相等时,求CE的长.
⑶试问在AB上能否存在点P,使得EFP为等腰直角三角形?
假定不存
在,请简要说明原因;假定存在,恳求出EF的长.
C
EF
AB
课后作业
1.直线DE与△ABC的AB边订交于点D,与AC边订交于点E,以下条件:
①
DE∥BC;②AEDB;③AEACADAB;④AEED中,能使△ADE与△ABC
ACBC
相像的条件有〔〕
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图,在ABC的边AB上取一点D,在AC取一点E,使AD
AE,直线DE和BC
的延伸线订交于P,求证:
BP
BD
CP
CE
A
D
E
BCP
3.:
P为ABC的中位线MN上随意一点,BP、CP的延伸线分别交对边AC、AB
于D、E,求证:
AD
AE
1
DC
EB
A
ED
MN
P
BC
4.如图,在矩形ABCD中,E为AD的中点,EFEC交AB于F,连结FC〔ABAE〕.
〔1〕AEF与ECF能否相像,假定相像,证明你的结论;假定不相像,
请说明原因.
〔2〕设ABk能否存在这样的k值,使得AEF∽BCF,假定存在,证明
BC
你的结论并求出k值;假定不存在,说明原因.
AED
F
BC
5.如图,在梯形
ABCD中,
AD∥BC,
AD
3,BC
9,AB
6,
CD
4,假定
EF∥BC,
且梯形
AEFD与梯形
EBCF的周长相等,求
EF
的长.
AD
EF
BC
6.如图,ABC中,AC5,AB11,BC45,四边形
边AC,BC上,F,G在AB上,求正方形的边长.
DEGF
为正方形,此中
D,E在
C
D
E
AFGB
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