梅涅劳斯定理与塞瓦定理.docx
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梅涅劳斯定理与塞瓦定理.docx
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梅涅劳斯定理与塞瓦定理
塞瓦定理
设O是△ABC内任意一点,
AB、BO、CO分别交对边于D、E、F,则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
(Ⅰ)本题可利用梅内劳斯定理证明:
∵△ADC被直线BOE所截,
∴CB/BD*DO/OA*AE/EC=1①
而由△ABD被直线COF所截,∴BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②
①÷②:
即得:
BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
(Ⅱ)也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△
AOC③
同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
塞瓦定理:
设P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点,则AP、BQ、CR三线共点
的充要条件是:
BP
CQ
AR
1
PC
QA
RB
A
R
Q
M
A
B
P
C
B1
C1
C
供参考
B
A1
证:
先证必要性:
设
AP、BQ、CR相交于点M,则:
BP
SABP
SBMP
SABM同理:
CQ
SBCM,
AR
SACM
PC
SACP
SCMP
SACM
QA
SABM
RB
SBCM
以上三式相乘,得:
BP
CQ
AR=1
PC
QA
RB
再证充分性:
若
BP
CQ
AR
‘
PC
QA
RB
1,设AP与BQ相交于M,且直线CM交AB于R
,
由塞瓦定理有:
BP
CQ
AR拻
AR
=
AR
’
PC
QA
‘
1,于是:
‘
RB
因为R和R都在线
RB
RB
段AB上,所以
’
R
必与R重合,故AP、BQ、CR相交于一点点M;
例1:
证明:
三角形的中线
交于一点;
证明:
记
ABC的中线AA,BB
,CC
,我们只须证明
AC1
BA1
CB1
1
1
1
1
CB
AC
BA
1
1
1
而显然有:
AC1
C1B,BA1
AC,CB
B1A
即AC1
BA1
CB1
成立,
ABC
交于一点;
1
1
1
CB
AC
BA
1
1
A
1
A
【练习1】证明:
三角形的角平
分线交于一点;
【练习2】证明:
锐角三角形的
高交于一点;
B1
C1
例2:
在锐角
ABC中,角
C的平分线交
C1
B1
于AB于L,从L作边AC和BC的垂线,垂
C
C
足分别是M和N,设AN和BM的交点是
B
A1
B
A1
P,证明:
CP
AB
证:
作
CK
AB
下证
CK
、
BM
、
AN
三线共点,且为
点,要证
CK
、
BM
、
AN
三线共点,
P
依塞瓦定理
即要证:
AM
CN
BK
1
又
MC
CN
C
MC
NB
AK
即要证明:
AM
BK
1
AML
AKC
AM
AL
N
AK
NB
AK
AC
BNL
BKC
BK
BC
即要证AL
BC
1
M
NB
BL
AC
BL
依三角形的角平分线定理可知:
AL
BC
1
A
K
L
B
AC
BL
CK、BM、AN三线共点,且为P点
CP
AB
例设
AD
是
的高,且
D
在
BC
边上,若是
AD
上任一点,
、
分别与
、
3.
ABC
P
BPCP
AC
交于和
F
,则
=
FDA
AB
E
EDA
证:
过A作AD的垂线,与DE、DF的延长线分别
交于M、N。
欲证
EDA
FDA,
可以转化为证明AM
AN
AD
BC
故
,可得
AME
,
ANF
BDF
MN//BC
CDE
AM
AE,AN
AF,于是
AM
AECD,AN
AFBD
CD
CE
BD
BF
CE
BF
AD、BE、CF共点于P,根据塞瓦定理可得:
BDCEAF1
DCEAFB
AECD
AFBD
EDAFDA
CE
AMAN
BF
供参考
【练习】已知
外有三点
M
、
、,且
BAR
CAN,CBM
3
ABC
NR
ABR,
ACNBCM
,证明:
AM
、
BN
、
三线共点;
CR
例4.在ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1,
证明:
AC1
BA1
CB1
sin
ACC1
sin
BAA1
sin
CBB1
C1B
AC1
B1A
sin
C1CB
sin
A1ACsinB1BA
证:
如图对
ACC1和BCC1应用正弦定理,可得:
AC1sin
ACC1CC1
sin
B
即:
AC1
sin
ACC1sinB
C1C
sin
A
C1B
sinC1CB
C1B
sinC1CBsinA
同理:
BA1
sin
BAA1
sin
C,
CB1
sin
CBB1
sin
A
AC
sin
A1AC
sin
B
B1A
sin
BBA
sin
C
1
1
从而AC1
BA1
CB1
sin
ACC1
sin
BAA1
sin
CBB1
CB
AC
B1A
sin
C1CB
sin
AAC
sin
BBA
1
1
1
1
【练习4】在ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1,使AA1、BB1、CC1相交于一点,证明,关于角平分线对称于这些直线的直线AA2、BB2、CC2也相交于一点;
课外作业:
1.设A1、B1、C1是ABC的内切圆与边BC、CA、AB的切点,证明:
直线AA1、BB1、CC1三线共点;
2.从圆上的点A、D引切线,相交于点S。
在AD弧上取点B和C,直线AC和BD相交于
P,AB和CD相交于点Q,证明,直线PQ过点S;
3.在ABC的边上向外作正方形,A1、B1、C1是正方形的边BC、CA、AB的对边的中点,证明,直线AA1、BB1、CC1相交于一点;
练习答案:
证:
记
的角平分线分别是
AA1,BB1
CC1,
AC1
b
BA1
cCB1
a
1
ABC
CB
b
c
a
AC
BA
1
1
1
AC1
BA1
CB1
1三角形的角平分线交于一点;
C1BAC1
B1A
练习答案:
证:
记锐角
ABC
的角平分线分别是
AA1,BB1,CC1,
2
设
=,那么
=
b
x,
则:
c
2
(b
x)
2
BB1
a
2
x
2
CB1
x
a2
b2
c2
CB1x
AB1
2b
则:
B1A
c2
b2
a2
同理可得:
AC1
b2
c2
a2
C1B
a2
c2
b2
2b
2c
2c
BA
c2
a2
b2
AC
b2
a2
c2
AC1BA1CB1
1
1
2a
1
2a
C1BA1CB1A
锐角三角形的三条高交于一点;
供参考
练习3的答案:
证:
设AM与BC交于M',BN与AC交于N',CR与AB
交于R',
ABC的三个内角分别
记为
A、B、C
S
‘
ABBM
sin(
A
1
‘
ABsin
BAM
)
ABsin
sin(
B
)
BM
ABM
AM
‘
1
CM
S
‘
ACsin
CAM
ACCM
sin(
C
ACsin
sin(
C
)
ACM
)
AM
‘
ABsin
sin(
B
)
CN'
BCsin
sin(
C
)
‘
CAsin
sin(
A
)
BM
=
AR
=
即:
‘=
ACsin
sin(
C
)
同理:
BAsin
sin(
A
‘
CBsin
sin(
B
)
CM
AN'
)
BR
将以上三式子相乘可得:
BM'CN'AR'=1,根据塞瓦定理可知:
AM'、BN'、CR'三点共线。
CM'AN'BR'
练习4的答案:
证:
A2、B2、C2位于ABC的边上,根据例4的结论有:
AC2BA2CB2
sin
ACC2
sin
BAA2
sin
CBB2
C2BA2CB2A
sin
C2CB
sin
A2AC
sin
B2BA
又AA2、BB2、CC2关于角平分线对称于AA1、BB1、CC1,则
ACC2
C1CB,ACC1
C2CB,
sin
ACC2
sinBAA2
sin
CBB2
sinC1CBsin
A1AC
sin
B1BA
sin
C2CB
sin
A2AC
sin
B2BA
sinACC1sin
BAA1
sin
CBB1
C1BA1CB1A
1
AC1BA1CB1
从而AC2
BA2
CB2
1
AA、BB、CC三线共点
C2B
A2C
B2A
2
2
2
课后练习答案:
1.证:
显然AC1
B1A,
BA1
C1B,
CB1
A1C
AC1
BA1
CB1
1
即:
AA1、BB1、CC1三线共点
C1BA1CB1A
sin
ASP
sin
DAPsin
SPP
sin
ASQ
sin
CAQ
sin
SDQ
2.证:
PSC
sin
PASsin
PPA
1
QSC
sin
QAS
sin
QDA
sin
sin
又
DAP
SDQ,SDP
DAQ,
PAS
QDA,
PDA
QAS,
sin
ASP
sin
ASQ
S、P、Q位于一条直线上
sin
PSD
sin
QSD
供参考
3.证:
记直线AA1、BB1、CC1与边BC、CA、AB的交点分别为A2、B2、C2
BA
S
ABA1
AB
BA
sin
ABA
AB
sin(
B
)
2
=
1
1
A2CSACA1
AC
CA1
sin
ACA1
AC
sin(
C
)
其中
=CBA1
BCA1
arctan2
同理:
CB2
BC
sin(
C
)
AC2
AC
sin(
A
)
B2A
AB
sin(
A
)
C2B
BC
sin(
B
)
将上面三条等式相乘可
得:
BA2
CB2
AC2=1
AA1、BB1、CC1共点
A2C
B2A
C2B
供参考
说明:
赛瓦定理的逆定理是证明线共点类问题的一把利器!
如三角形中三条高、三条角平分线、三条中线共点都
可以利用塞瓦定理的逆定理很轻松地解决。
供参考
供参考
说明:
恰当的选择截线是应用梅涅劳斯定理的关键,
其逆定理常用于证明点共线,应用很广泛。
解决比较复杂的问题时注意赛瓦定理与梅涅
劳斯定理联用。
供参考
个一、
一、选择题
A
1、如图:
设一直线与△
ABC
的边AB、AC及BC延长线分别交于
X、Y、Z,则
X
AX
BZ与AY的关系为
Y
(
)
XB
ZC
CY
Z
AX
BZ
AY
AX
BZ
AY
AX
BZ
AY
B
A、
B
C
XB
ZC
CY
、
ZC
CY
C、
ZC
D、
第1
题
XB
XB
CY
不能确定
A
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- 梅涅劳斯 定理