小学六年级数学比例.docx

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小学六年级数学比例

三、比例

1、比例的意义和基本性质

第一课时

教学内容：

P32～34比例的意义和基本性质

教学目的：

1、使学生理解比例的意义和基本性质，能正确判断两个比是否能组成比例。

2、通过引导探究、概括归纳、讨论、合作学习，培养学生抽象概括能力。

3、使学生初步感知事物间是相互联系、变化发展的。

教学重点；比例的意义和基本性质

教学难点：

应用比的基本性质判段两个数能否成比例，并正确的组成比例。

教学过程：

一、回顾旧知，复习铺垫

1、请同学们回忆一下上学期我们学过的比的知识，谁能说说什么叫做比？

并举例说明什么是比的前项、后项和比值。

教师把学生举的例子板书出来，并注明比的各部分的名称。

2、我们知道了比的前后项相除所得的商叫做比值，你们会求比值吗？

教师板书出下面几组比，让学生求出它们的比值。

12:

16:

4.5:

2.710:

6

学生求出各比的比值后，再提问：

哪两个比的比值相等？

（4.5:

2.7的比值和10:

6的比值相等。

）

教师说明：

因为这两个比的比值相等，所以这两个比也是相等的，我们把它们用等号连起来。

（板书：

4.5:

2.7＝10:

6）像这样表示两个比相等的式子叫做什么呢？

这就是这节课我们要学习的内容。

（板书课题：

比例的意义）

二、引导探究，学习新知

1、教学比例的意义。

（1）出示P32例1。

每面国旗的长和宽的比分别是多少？

指名分别算出一面国旗长和宽的比。

5:

2.4:

1.660:

4015:

10

每面国旗长和宽的比值有什么关系？

（都相等）

5:

=2.4:

1.660:

40=15:

102.4:

1.6=60:

40

象这样表示两个比相等的式子叫做比例。

比例也可以写成：

==

（2）我们也学过不同的两个量也可以组成一个比，如：

一辆汽车第一次2小时行驶80千米，第二次5小时行驶200千米。

列表如下：

时间（时）25

路程（千米）80200

指名学生读题。

教师：

这道题涉及到时间和路程两个量的关系，我们用表格把它们表示出来。

表格的第一栏表示时间，单位“时”，第二栏表示路程，单位“千米”。

这辆汽车第一次2小时行驶多少千米？

第二次5小时行驶多少千米？

（边问边填写表格。

）

“你能根据这个表，分别写出第一、二次所行驶的路程和时间的比吗？

”教师根据学生的回答，板书：

第一次所行驶的路程和时间的比是80:

2

第二次所行驶的路程和时间的比是200:

5

让学生算出这两个比的比值。

指名学生回答，教师板书：

80:

2＝40，200:

5＝40。

让学生观察这两个比的比值。

再提问：

你们发现了什么？

”（这两个比的比值都是40，这两个比相等。

）

教师说明：

因为这两个比相等，所以可以把它们用等号连起来组成比例。

（板书：

80:

2＝200:

5）像这样表示两个比相等的式子叫做比例。

指着比例式4.5:

2.7＝10:

6提问：

“谁能说说什么叫做比例？

”引导学生观察是表示两个比相等。

然后板书：

表示两个比相等的式子叫做比例。

并让学生齐读一遍。

“从比例的意义我们可以知道，比例是由几个比组成的？

这两个比必须具备什么条件？

因此判断两个比能不能组成比例，关键是看什么？

如果不能一眼看出两个比是不是相等的，怎么办？

”

根据学生的回答，教师小结：

通过上面的学习，我们知道了比例是由两个相等的比组成的。

在判断两个比能不能组成比例时，关键是看这两个比是不是相等。

如果不能一眼看出两个比是不是相等，可以先分别把两个比化简以后再看。

例如判断10:

12和35:

42这两个比能不能组成比例，先要算出10:

12＝，35:

42＝，所以10:

12=35:

42。

（以上举例边说边板书。

）

（3）比较“比”和“比例”两个概念。

教师：

上学期我们学习了“比”，现在又知道了“比例”的意义，那么“比”和“比例”有什么区别呢？

引导学生从意义上、项数上进行对比，最后教师归纳：

比是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。

（4）巩固练习。

①用手势判断下面卡片上的两个比能不能组成比例。

（能，就用张开拇指和食指表示；不能就用两手的食指交叉表示。

）

6:

3和12:

635:

7和45:

920:

5和16:

80.8:

0.4和0.3:

0.6

学生判断后，指名说出判断的根据。

②做P33“做一做”。

让学生看书，不抄题，直接把能组成比例的两个比写在练习本上，教师边巡视边批改，对做得不对的，让他们说说是怎样做的，看看自己做得对不对。

③给出2、3、4、6四个数，让学生组成不同的比例（不要求举全）。

④P36练习六的第1～2题。

对于能组成比例的四个数，把能组成的比例写出来。

组成的比例只要能成立就可以。

第4小题，给出的四个数都是分数，在写比例式时，也要让学生写成分数形式。

2、教学比例的基本性质

（1）教学比例各部分的名称。

教师：

同学们能正确地判断两个比能不能组成比例了，那么比例各部分的名称是什么？

请同学们翻开教科书P34，看看什么叫比例的项、外项、内项。

指名让学生指出板书中的比例的外项、内项。

（2）教学比例的基本性质。

教师：

我们知道了比例各部分的名称，那么比例有什么性质呢？

现在我们就来研究。

（在比例的意义后面板书：

比例的基本性质）请同学们分别计算出这个比例中两个内项的积和两个外项的积。

教师板书：

两个外项的积是805＝400

两个内项的积是2200＝400

“你发现了什么？

”（两个外项的积等于两个内项的积。

）板书：

805＝2200“是不是所有的比例都是这样的呢？

”让学生分组计算前面判断过的比例式。

通过计算，大家发现所有的比例式都有这个共同的规律，谁能用一句话把这个规律说出来？

最后教师归纳并板书出：

在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

并说明这叫做比例的基本性质。

“如果把比例写成分数形式，比例的基本性质又是怎样的呢？

”（指着80:

2＝200:

5）教师边问边改写成：

=

“这个比例的外项是哪两个数呢？

内项呢？

”

“因为两个内项的积等于两个外项的积，所以，当比例写成分数的形式，等号两端的分子和分母分别交叉相乘的积怎么样？

学生回答后，教师强调：

如果把比例写成分数形式，比例的基本性质就是等号两端分子和分母分别交叉相乘，积相等。

3．巩固练习。

前面要判断两个比是不是成比例，我们是通过计算它们的比值来判断的。

学过比例的基本性质以后，也可以应用比例的基本性质来判断两个比能不能成比例。

（1）应用比例的基本性质判断3:

4和6:

8能不能组成比例。

（2）P34“做一做”。

三、巩固深化，拓展思维

1、说说比和比例有什么区别？

2、填空

5:

2=80:

（）2:

7=（）:

51.2:

2.5=（）:

4

3、先应用比例的意义，再应用比例的基本性质，判断下面那组中的两个比可以组成比例。

（1）6:

9和9:

12

（2）1.4:

2和7:

10（3）0.5:

0.2和:

4、下面的四个数可以组成比例吗？

把组成的比例写出来。

2、3、4和6

四、全课小结，提高认识

通过这节课，我们学到了什么知识？

什么是比例？

比例的基本性质是什么？

应用比例的基本性质可以做什么？

五、课堂练习，辅助消化

P36～37第3～6题。

六、课外补充，拓展延伸

1、判断。

（1）如果3×a=5×b，那么5:

a=3:

b。

（2）:

和:

中，能与:

组成比例的是:

。

（3）在一个比例中，两个外项分别是7和8，那么两个内项的和一定是15。

2、用、8、、12四个数分别作为比例的项，你能组成几个比例？

3、请你用20以内的四个合数组成一个两个比的比值都是的比例。

第二课时

教学内容：

P35～37解比例

教学目的：

1、使学生学会解比例的方法，进一步理解和掌握比例的基本性质。

2、通过合作交流、尝试练习，提高学生运用比例的基本性质解比例的能力。

3、培养学生的知识迁移的能力，增强学生的合作意识。

教学重点：

使学生掌握解比例的方法，学会解比例。

教学难点：

引导学生根据比例的基本性质，将比例改写成两个内项的积等于两个外项积的形式，即已学过的含有未知数的等式。

教学过程：

一、回顾旧知，复习铺垫

1、上节课我们学习了一些比例的知识，谁能说一说什么叫做比例？

比例的基本性质是什么？

应用比例的基本性质可以做什么？

2、判断下面每组中的两个比是否能组成比例？

为什么？

6:

3和8:

4:

和:

3、这节课我们继续学习有关比例的知识，学习解比例。

（板书课题）

二、引导探索，学习新知

1、什么叫解比例？

我们知道比例共有四项，如果知道其中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。

求比例中的未知项，叫做解比例。

解比例要根据比例的基本性质来解。

2、教学例2。

（1）把未知项设为X。

解：

设这座模型的高是X米。

（2）根据比例的意义列出比例：

X:

320=1:

10

（3）让学生指出这个比例的外项、内项，并说明知道哪三项，求哪一项。

根据比例的基本性质可以把它变成什么形式？

3x＝815。

这变成了什么？

（方程。

）

教师说明：

这样解比例就变成解方程了，利用以前学过的解方程的方法就可以求出未知数X的值。

因为解方程要写“解：

”，所以解比例也应写“解：

”。

（4）学生说，教师板书解比例的过程。

教师：

从刚才解比例的过程，可以看出，解比例可以根据比例的基本性质把比例变成方程，然后用解方程的方法来求未知数x。

3、教学例3。

出示例3：

解比例=

提问：

“这个比例与例2有什么不同？

”（这个比例是分数形式。

）

这种分数形式的比例也能根据比例的基本性质，变成方程来求解吗？

学生回答后，教师说明在写方程时，含有未知数的积通常写在等号的左边，然后板书：

1.5X＝2.56

让学生在课本上填出求解过程。

解答后，让他们说一说是怎样解的。

4、总结解比例的过程。

刚才我们学习了解比例，大家回忆一下，解比例首先要做什么？

（根据比例的基本性质把比例变成方程。

）

变成方程以后，再怎么做？

（根据以前学过的解方程的方法求解。

）

从上面的过程可以看出，在解比例的过程中哪一步是新知识？

（根据比例的基本性质把比例变成方程。

）

5、P35“做一做”。

学生独立解答，订正时，让学生说说是怎么做的。

三、巩固深化，拓展思维

P37第7题。

四、全课小结，提高认识

什么叫解比例？

解比例的根据是什么？

解比例的书写格式应注意什么？

五、课堂练习，辅助消化

P37～38第8～11题。

六、课外补充，拓展延伸

1、P38第12、13题。

2、4:

8=12:

24，如果将第二项减少1，要使比例成立，则第四项减少多少？

3、把两个比值都是的比组成比例，已知比例的两个内项都是15，请分别求出这个比例的两个外项，并写出比例。

4、一个比例的四个项都是大于0的整数，它的两个比的比值都是，且第一项比第二项少3，第三项是第一项的3倍。

请写出这个比例。

2、正比例和反比例的意义

第一课时

教学内容：

P39～41成正比例的量

教学要求：

1、使学生理解正比例的意义，能根据正比例的意义判断是不是成正比例。

2、培养学生概括能力和分析判断能力。

3、培养学生用发展变化的观点来分析问题的能力。

教学重点：

成正比例的量的特征及其判断方法。

教学难点：

理解两个变量之间的比例关系，发现思考两种相关联的量的变化规律.

教学过程：

一、四顾旧知，复习铺垫

1、已知路程和时间,求速度

2、已知总价和数量,求单价

3、已知工作总量和工作时间,求工作效率

二、引导探索，学习新知

1、教学例1：

出示:

一列火车1小时行驶90千米，2小时行驶180千米，

3小时行驶270千米，4小时行驶360千米，

5小时行驶450千米，6小时行驶540千米，

7小时行驶630千米，8小时行驶720千米……

（1）出示下表,填表

一列火车行驶的时间和路程

时间

路程

填表，思考：

在填表中你发现了什么?

时间变化,路程也随着变化，我们就说时间和路程是两个相关联的量。

（板书：

两种相关联的量）

根据计算，你发现了什么?

相对应的两个数的比的比值一样或固定不变,在数学上叫做一定。

用式子表示他们的关系是:

路程/时间=速度（一定）（板书）

（2）教师小结：

同学们通过填表，交流,知道时间和路程是.两种相关联的量,路程随着时间的变化而变化.时间扩大,路程随着扩大;时间缩小，路程也随着缩小。

即：

路程/时间=速度（一定）

2、教学例2：

（1）花布的米数和总价表

数量1234567……

总价8.216.424.632.841.049.257.4……

（2）观察图表,发现什么规律？

用式子表示它们的关系：

总价/米数=单价（一定）

3、抽象概括正比例的意义。

（1）比较例1、例2，思考并讨论：

这两个例题有什么共同点？

（2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两个量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

（3）看书P39，进一步理解正比例的意义。

（4）如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系怎样用字母表示出来？

x/y=k（一定）

（5）根据正比例的意义以及表示正比例的式子想一想:

构成正比例关系的两种量必须具备哪些条件?

4、看书P40例2。

（1）题中有几种量？

哪两种量是相关联的量？

（2）体积和高度的比的比值是多少？

这个比值是什么？

是不是一定？

（3）它们的数量关系式是什么？

（4）从图中你发现了什么？

（5）不计算，根据图像判断，如果杯中水的高度是7厘米，那么水的体积是多少？

225立方厘米的水有多高？

三、课堂小结：

什么是成正比例的量？

它必须具备什么条件？

怎样判断成正比例的量？

四、课堂练习：

1、P41做一做

2、P43～44练习七第1～5题。

第二课时

教学内容：

P42成反比例的量

教学目的：

1、理解反比例的意义，能根据反比例的意义，正确的判断两种量是否成反比例。

2、通过引导学生讨论探究，分析合作，使学生进一步认识事物之间的联系和发展变化的规律。

3、初步渗透函数思想。

教学重点：

引导学生总结出成反比例的量,是相关的两种量中相对应的两个数积一定,进而抽象概括出成反比例的关系式.

教学难点：

利用反比例的意义,正确判断两个量是否成反比例.

教学过程：

一、复习铺垫

1、下面两种量是不是成正比例?

为什么?

购买练习本的价钱0.80元,1本;1.60元,2本;3.20元,4本;4.80元6本.

2、成正比例的量有什么特征?

二、探究新知

1、导入新课：

这节课我们继续学习常见的数量关系中的另一种特征——成反比例的量。

2、教学P42例3。

（1）引导学生观察上表内数据，然后回答下面问题：

A、表中有哪两种量？

这两种量相关联吗？

为什么？

B、水的高度是否随着底面积的变化而变化？

怎样变化的？

C、表中两个相对应的数的比值各是多少？

一定吗？

两个相对应的数的积各是多少？

你能从中发现什么规律吗？

D、这个积表示什么?

写出表示它们之间的数量关系式

（2）从中你发现了什么？

这与复习题相比有什么不同？

A、学生讨论交流。

B、引导学生回答：

（3）教师引导学生明确：

因为水的体积一定，所以水的高度随着底面积的变化面变化。

底面积增加，高度反而降低，底面积减少，高度反而升高，而且高度和底面积的乘积一定，我们就说高度和底面积成反比例关系，高度和底面积叫做成反比例的量。

（4）如果用字母x和y表示两种相关的量，用k表示它们的积一定，反比例可以用一个什么样的式子表示？

板书：

x×y=k（一定）

三、巩固练习

1、想一想：

成反比例的量应具备什么条件？

2、判断下面每题中的两个量是不是成反比例，并说明理由。

（1）路程一定，速度和时间。

（2）小明从家到学校，每分走的速度和所需时间。

（3）平行四边形面积一定，底和高。

（4）小林做10道数学题，已做的题和没有做的题。

（5）小明拿一些钱买铅笔，单价和购买的数量。

（6）你能举一个反比例的例子吗？

四、全课小节

这节课我们学习了成反比例的量，知道了什么样的两个量是成反比例的两个量，也学会了怎样判断两种量是不是成反比例。

五、课堂练习

P45～46练习七第6～11题。

第三课时

教学内容：

正比例和反比例的比较

教学目标：

1、进一步理解正比例和反比例的意义，弄清它们的联系和区别。

掌握它们的变化规律。

2、使学生能正确判断正、反比例。

3、发展学生分析、比较、抽象、概括能力，激发学生的学习兴趣。

教学难点：

正反比例的联系和区别。

教学重点：

能判断正、反比例。

教学过程：

一、复习：

判断：

下面每组中的两个量成什么关系？

1、单价一定，数量和总价。

2、路程一定，速度和时间。

3、正方形的边长和它的面积。

4、时间一定，工效和工作总量。

二、新知：

1、出示课题：

2、教学补充例题

出示表1

路程（千米）5102550100

时间（时）1251020

表2

速度（千米/时）1005020105

时间（时）1251020

分组讨论、交流：

说一说怎样想的，同时填空。

引导学生讨论回答。

总结路程、速度、时间三个量中每两个量之间的比例关系。

速度×时间=路程=速度=时间

判断：

（1）速度一定，路程和时间成什么比例？

（2）路程一定，速度和时间成什么比例？

（3）时间一定，路程和速度成什么比例？

3、比较正比例、反比例的关系

正反比例的相同点：

都有两种相关联的量，一种量随着另一种量变化。

不同点：

正比例使变化相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。

相对应的每两个数的比值（商）一定，反比例是变化相反，一种量扩大（或缩小），另一种量反而缩小（扩大）相对应的每两个量的积一定。

三、巩固练习

1、做一做

判断单价、数量和总价中的一种量一定，另外两种量成什么关系。

为什么？

单价一定，数量和总价—

总价一定，数量和单价—

数量一定，总价和单价—

2．判断下面一些相关联的量成什么比例?

为什么?

（1）除数一定，和成比例。

被除数—定，和成比例。

（2）前项一定，和成比例。

（3）后项一定，和成比例。

（4）长方形的长、宽和面积三总量，如果长是一定的，宽和面积成正例关系。

这三种量再什么条件下还能组成比例关系，是哪种比例关系。

3.比例的应用

教学内容：

教科书第6～8页的例4～例6，练习二的第1题。

教学目的：

使学生理解比例尺的含义，会应用比例的知识求平面图的比例尺，以及根据比例尺求图上距离或实际距离。

教学重点：

理解比例尺的意义；能根据比例尺正确求图上距离和实际距离。

教学难点：

设未知数时长度单位的使用。

教具准备：

教师准备一些比例尺不同的地图或本校、本地的平面图。

教学过程：

一、复习

1．复习提问：

长度单位：

千米、米、分米、厘米、毫米之间的进率及化聚方法。

1米＝（）分米＝（）厘米＝（）毫米

1千米＝（）米＝（）厘米

2．什么叫做比?

3．化简下面各比。

12：

810厘米：

100厘米

2米：

140厘米3米：

15千米16厘米：

90千米

二、新课

教师：

前面我们学习了比例的知识，比例的知识在实际生活中有什么用途呢？

请同学们看一看我们教室有多大，它的长和宽大约是多少米。

（长大约8米，宽大约6米。

）如果我们要绘制教室的平面图，若是按实际尺寸来绘制，需要多大的图纸？

可能吗？

如果要画中国地图呢？

于是，人们就想出了一个聪明的办法：

在绘制地图和其他平面图的时候，把实际距离按一定的比例缩小，再画在图纸上，有时也把一些尺寸比例小的物体（如机器零件等）的实际距离扩大一定的倍数，再画在图纸上。

不管是哪种情况，都需要确定图上距离和实际距离的比。

这就是比例的知识在实际生活中的一种应用。

今天我们就来学习这方面的知识。

1．教学比例尺的意义。

（1）教学例4。

设计一座厂房，在平面图上用10厘米的距离表示地上10米的距离。

求图上距离和实际距离的比。

让学生读题。

指名回答：

“这道题告诉我们什么？

”（在平面图上用10厘米的距离表示地面上10米的距离。

）

“要我们做什么？

”（求图上距离和实际距离的比。

）板书：

图上距离:

实际距离

“图上距离知道吗？

实际距离也知道吗？

各是多少？

”继续板书如下：

图上距离:

实际距离

10厘米:

10米

“10厘米和10米的单位相同吗？

能直接化简吗？

”

教师说明：

这两个数量的单位不同，所以先要把它们化成相同单位，再化简。

“是把厘米化作米，还是把米化作厘米？

为什么？

”（因为把米化作厘米后实际距离仍是整数，计算起来比较方便，所以要把米化作厘米。

）

“10米等于多少厘米？

”学生回答后，教师把10米改写成1000厘米。

“现在单位统一了，是多少比多少，怎样化简？

”教师边说边擦掉10和1000后面的单位“厘米”，并加上“:

”，板书成如下形式：

图上距离:

实际距离

10:

1000

请一名同学到黑板前化简这个比，别的同学在练习本上做。

集体订正后，教师写出这道题的“答：

…”。

然后说明：

因为在绘制地图和其他平面图时，经常要用到“图上距离和实际距离的比”，我们就给它起一个名字叫做“比例尺”。

（板书：

图上距离:

实际距离＝比例尺）有时图上距离和实际距离的比也可似写成分数形式。

（板书：

或

图上距离＝比例尺

实际距离

图上距离是比的前项，实际距离是比的后项。

为了计算简便，通常把比例尺写成前项是1的最简单整数比。

教师出示比例尺不同的地图和本地、本校的平面图给学生看，让学生说出它们的比例尺各是多少，表示什么意思。

最后教师指出：

①比例尺与一般的尺不同，这是一个比，不应带计量单位。

②求比例尺时，前、后项的长度单位一定要化成同级单位。

如1O厘米:

1O米，要把后项的米化成厘米后再算出比例尺。

③为了计算简便，通常把比例尺的前项化简成“1”，如果写成分数形式，分子也应化简成“1”。

比如，例4中的比例尺通常写成：

1:

100＝

（2）巩固练习。

让学生完成第6页的“做一做”。

教师可提醒学生注意把图上距离和实际距离的单位化成同级单位。

集体订正时，要注意检查学生求出的比例尺的前项是不是“l”。

2．教学根据比例尺求图上距离或实际距离。

教师：

知道了一幅图的比例尺，我们可以根据图上距离求出实际距离，或者根据实际距离求出图上距离。

（1）教学例5。

在比例尺是1：

6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米。

南京到北京的实际距离大约是多少千米?

指名读题，并说出题目告诉了什么，要求什么。

（告诉了比例尺，又告诉了南京到北京的图上距离，求南京到北京的实际距离。

）

教师启发：

因为图上距离：

实际距离＝比例尺，要求实际距离可以用解比例的方法来求。

“这道题的图上距离是多少？

”板书：

15

“实际距离不知道，怎么办？

”（用x表示。

）在15的下面板书出x，并在它们中间画上分数线。

“因为图上距离和实际距离的单位要相同，所设的x应用什么单位？

”（应用厘米。

）板书：

解：

设南京到北京的实际距离为x厘米。

“比例尺是多少？

写成什么形式？

”（写成分数形式。

）最后板书成下面的形式：

15＝1

x6000000

指定一名学生到前面求X的值，其他学生在练习本上做。

订正后，回答：

“现在求出的实际距离是多少厘