浙教版七年级数学下册试题第一章 平行线 单元复习训练.docx
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浙教版七年级数学下册试题第一章平行线单元复习训练
第一章平行线单元复习训练
解码专训一:
两直线的位置关系
名师点金:
在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系只有两种:
平行或相交,而不在同一平面内,不重合的两条直线还存在着既不平行也不相交这种位置关系.
同一平面内两直线的位置关系
1.下列说法正确的有( )
(1)同一平面内两直线有相交、平行、重合三种情况;
(2)两直线垂直是相交的一种特殊情况;
(3)同一平面内,两直线不垂直,则这两直线平行;
(4)同一平面内三条直线既不重合也不平行,则它们最多有三个交点.
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.三条直线a,b,c,若a∥c,b∥c,则a与b的位置关系是( )
A.a⊥bB.a∥b
C.a⊥b或a∥bD.无法确定
3.在同一平面内画三条直线,使它们分别满足以下条件:
(1)它们没有交点;
(2)它们有一个交点;
(3)它们有两个交点;
(4)它们有三个交点.
不在同一平面内两直线的位置关系
(第4题)
4.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,与棱A1B1平行的棱有________;与棱CC1在同一平面内且垂直的棱有________________;与棱BC既不平行也不相交的棱有______________.
解码专训二:
“三线八角”的识别方法
名师点金:
两条直线被第三条直线所截,可得到“三线八角”,识别两个角属于何种类别时可联想英文大写字母,即“F”形的为同位角,“Z”形的为内错角,“U”形的为同旁内角,每类角都有一个共同点,即:
有两条边在截线上,另外两条边在被截直线上.
识别同位角、内错角、同旁内角
1.如图,试判断∠1与∠2,∠1与∠7,∠1与∠BAD,∠2与∠9,∠2与∠6,∠5与∠8各对角的位置关系.
(第1题)
从复杂图形中找同位角、内错角、同旁内角
2.如图,请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角.
(第2题)
解码专训三:
常见辅助线的作法
名师点金:
在解决平行线的问题时,当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时,通常借助辅助线来帮助解答,如何作辅助线需根据已知条件确定,辅助线的添加既可以产生新的条件,又能将题目中原有的条件联系在一起.
加截线(连接两点或延长线段)
1.如图,已知AB∥CD,∠ABF=∠DCE.∠BFE与∠FEC有何关系?
并说明理由.
(第1题)
过“拐点”作平行线
a.“
”形图
2.如图,AB∥CD,P为AB,CD之间的一点,已知∠1=32°,∠2=25°,求∠BPC的度数.
(第2题)
b.“
”形图
3.如图,已知AB∥CD,请你猜想一下∠B+∠BED+∠D的度数,并说明理由.
(第3题)
c.“
”形图
4.如图,AB∥DE,则∠BCD,∠B,∠D有何关系?
为什么?
(第4题)
d.“
”形图
5.如图,已知AB∥DE,∠ABC=72°,∠CDE=140°,求∠BCD的度数.
(第5题)
平行线间多折点角度问题探究
6.
(1)如图①,AB∥CD,则∠BEF+∠FGD与∠B+∠EFG+∠D有何关系?
并说明理由.
(2)如图②,若AB∥CD,又能得到什么结论?
(第6题)
解码专训四:
几何计数的四种常用方法
名师点金:
1.对于几何中的计数问题,掌握一定的方法能够让我们准确、高效地得出结果,常见的计数方法有:
按顺序计数、按画图计数、按基本图形计数、按从特殊到一般的思想方法计数.
2.计数的原则是不重复、不遗漏.
按顺序计数问题
1.如图,两条直线相交于一点O,则图中共有( )对邻补角.
(第1题)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.在同一平面内有A,B,C,D,E五个点,以其中任意两点画直线最多有________条.
按画图计数问题
3.请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系,它们分别有几个交点?
4.平面内有10条直线,无任何三线共点,要使它们恰好有31个交点,请你画出示意图.
按基本图形计数问题
5.如图,一组互相平行的直线有6条,它们和两条平行线a,b都相交,构成若干个“#”形,则此图中共有多少个“#”形?
(第5题)
按从特殊到一般的思想方法计数问题
6.观察如图所示的图形,寻找对顶角(不含平角).
(第6题)
(1)两条直线相交于一点,如图①,共有________对对顶角;
(2)三条直线相交于一点,如图②,共有________对对顶角;
(3)四条直线相交于一点,如图③,共有________对对顶角;
……
(4)根据以上结果探究:
当n条直线相交于一点时,所构成的对顶角有____________对;
(5)根据探究结果,求2016条直线相交于一点时,所构成的对顶角的对数.
7.平面内n条直线最多将平面分成多少个部分?
解码专训五:
活用判定两直线平行的六种方法
名师点金:
1.直线平行的判定方法很多,我们要根据图形的特征和已知条件灵活选择方法.
2.直线平行的判定常结合角平分线、对顶角、邻补角、垂直等知识.
3.直线平行的判定和性质常常结合在一起,解决有关角度的计算或证明角相等等问题.
利用平行线的定义
1.下面几种说法中,正确的是( )
A.同一平面内不相交的两条线段平行
B.同一平面内不相交的两条射线平行
C.同一平面内不相交的两条直线平行
D.以上三种说法都不正确
利用“同平行于第三条直线的两直线平行”
2.如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°,试说明AB∥EF.
(第2题)
利用“同垂直于第三条直线的两直线平行(在同一平面内)”
3.如图,在三角形ABC中,CE⊥AB于点E,DF⊥AB于点F,DE∥CA,CE平分∠ACB,试说明∠EDF=∠BDF.
(第3题)
利用“同位角相等,两直线平行”
4.(探究题)如图,已知∠ABC=∠ACB,∠1=∠2,∠3=∠F,试判断EC与DF是否平行,并说明理由.
(第4题)
利用“内错角相等,两直线平行”
5.如图,CB平分∠ACD,∠1=∠3,说明AB∥CD.
(第5题)
利用“同旁内角互补,两直线平行”
6.如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗?
请说明理由.
(第6题)
解码专训六:
思想方法荟萃
名师点金:
1.本章体现的主要方法有:
基本图形(添加辅助线)法、分离图形法、平移法.
2.几种主要的数学思想:
方程思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等.
基本图形(添加辅助线)法
1.已知AB∥CD,探讨图中∠APC与∠PAB,∠PCD的数量关系,并请你说明成立的理由.
(第1题)
分离图形法
2.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相交成如图所示的图形,则共得出同旁内角多少对?
(第2题)
平移法
3.如图,某住宅小区内有一长方形地块,想在长方形地块内修筑同样宽的小路(阴影部分),余下部分绿化,小路的宽为2m,则绿化的面积为多少?
(第3题)
转化思想
4.如图,AB∥CD,∠1=∠B,∠2=∠D,试说明BE⊥DE.
(第4题)
数形结合思想
5.如图,直线AB,CD被EF所截,∠1=∠2,∠CNF+∠BMN=180°.试说明:
AB∥CD,MP∥NQ.
(第5题)
分类讨论思想
6.如图,已知直线l1∥l2,直线l3交l1于C点,交l2于D点,P是线段CD上的一个动点,当P在线段CD上运动时,请你探究∠1,∠2,∠3之间的关系.
(第6题)
答案
解码专训一
1.B 2.B
3.解:
如图.
(第3题)
4.AB,CD,C1D1;CD,BC,C1D1,B1C1;A1B1,C1D1,AA1,DD1
解码专训二
1.解:
∠1与∠2是同旁内角,∠1与∠7是同位角,∠1与∠BAD是同旁内角,∠2与∠9没有特殊的位置关系,∠2与∠6是内错角,∠5与∠8是对顶角.
2.解:
(1)当直线AB,BE被AC所截时,所得到的内错角有:
∠BAC与∠ACE,∠BCA与∠FAC;同旁内角有:
∠BAC与∠BCA,∠FAC与∠ACE.
(2)当AD,BE被AC所截时,内错角有:
∠ACB与∠CAD;同旁内角有:
∠DAC与∠ACE.
(3)当AD,BE被BF所截时,同位角有:
∠FAD与∠B;同旁内角有:
∠DAB与∠B.
(4)当AC,BE被AB所截时,同位角有:
∠B与∠FAC;同旁内角有:
∠B与∠BAC.
(5)当AB,AC被BE所截时,同位角有:
∠B与∠ACE,同旁内角有:
∠B与∠ACB.
解码专训三
1.解:
∠BFE=∠FEC.
理由一:
连接BC,如图①.
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠BCD(两直线平行,内错角相等).
又∵∠ABF=∠DCE,
∴∠ABC-∠ABF=∠BCD-∠DCE,
即∠FBC=∠ECB.
∴BF∥CE(内错角相等,两直线平行).
∴∠BFE=∠FEC(两直线平行,内错角相等).
(第1题)
理由二:
延长AB,CE相交于点G,如图②.
∵AB∥CD,∴AG∥CD.
∴∠DCE=∠G(两直线平行,内错角相等).
又∵∠ABF=∠DCE,
∴∠ABF=∠G.
∴BF∥CG(同位角相等,两直线平行).
∴∠BFE=∠FEC(两直线平行,内错角相等).
2.思路导引:
此图不是我们所学过的“三线八角”的基本图形,需添加辅助线,把它转化成我们所熟悉的基本图形.
解:
方法一:
过点P作射线PN∥AB,如图①.∵AB∥CD,∴PN∥CD.
∴∠4=∠2=25°.
∵PN∥AB,∴∠3=∠1=32°.
∴∠BPC=∠3+∠4=57°.
(第2题)
方法二:
过点P作射线PM∥AB,如图②.
∵AB∥CD,∴PM∥CD.
∴∠4=180°-∠2=180°-25°=155°.
∵AB∥PM,
∴∠3=180°-∠1=180°-32°=148°.∴∠BPC=360°-∠3-∠4=360°-148°-155°=57°.
3.解:
∠B+∠BED+∠D=360°.理由如下:
理由一:
如图①,过E作EF∥AB.
(第3题)
∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD,
∴∠D+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵EF∥AB,∴∠B+∠1=180°.
∴∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°,
即∠B+∠BED+∠D=360°.
理由二:
如图②,过E作EF∥AB.
∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD,
∴∠D=∠DEF(两直线平行,内错角相等).
∵EF∥AB,∴∠B=∠BEF.
又∠BED+∠BEF+∠DEF=360°,
∴∠B+∠BED+∠D=360°.
4.解:
∠BCD=∠B-∠D.
理由:
如图,过点C作CF∥AB.
(第4题)
∵CF∥AB,∴∠B=∠BCF(两直线平行,内错角相等).
∵AB∥DE,CF∥AB,
∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行).
∴∠DCF=∠D(两直线平行,内错角相等).∴∠B-∠D=∠BCF-∠DCF(等式的性质).
∵∠BCD=∠BCF-∠DCF,
∴∠BCD=∠B-∠D.
方法总结:
已知图形中有平行线和折线或拐角时,常过折点或拐点作平行线,构造出同位角、内错角和同旁内角,这样就可利用角之间的关系求解了.
5.解:
如图,过点C作CF∥AB.
(第5题)
∵AB∥CF,
∴∠BCF=∠B=72°.
∵AB∥CF,AB∥DE,
∴CF∥DE.
∴∠CDE+∠DCF=180°.
∴∠DCF=180°-∠CDE=180°-140°=40°.
∴∠BCD=∠BCF-∠DCF=72°-40°=32°.
6.解:
(1)∠BEF+∠FGD=∠B+∠EFG+∠D.
理由:
过点E,F,G分别作EM∥AB,FN∥AB,GH∥AB,
如图,由AB∥CD,得AB∥EM∥FN∥GH∥CD,
所以∠1=∠B,∠2=∠3,∠4=∠5,∠6=∠D.
因此∠BEF+∠FGD=∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D=∠B+∠EFG+∠D.
(第6题)
(2)∠E1+∠E2+∠E3+…+∠En=∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn-1+∠D.
解码专训四
1.C 方法规律:
此题是按一定顺序来计数,将满足条件的图形按一定顺序一一列举,并最终求出总对数,此类方法适合于简单的几何图形的计数.
2.10 点拨:
如图,当任意三点都不共线时可作直线AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10条.
(第2题)
3.解:
图①有0个交点,图②有1个交点,图③、图④有3个交点,图⑤、图⑥有4个交点,图⑦有5个交点,图⑧有6个交点
(第3题)
4.解:
如图所示.
(第4题)
5.解:
此题可以按基本图形进行计数,以一个“#”形为基本图形的有5个,以两个“#”形为基本图形的有4个,以三个“#”形为基本图形的有3个,以四个“#”形为基本图形的有2个,以五个“#”形为基本图形的有1个,所以共有5+4+3+2+1=15(个).
6.解:
(1)2
(2)6 (3)12
(4)n(n-1)
(5)当2016条直线相交于一点时,所构成的对顶角的对数为2016×(2016-1)=2016×2015=4062240.
方法规律:
本题运用了从特殊到一般的思想,前三题可以直接数出对顶角的对数.根据前三题中的结果,探究出一般规律,再运用规律来解决最后一个问题.
7.解:
画图如下:
(第7题)
列表如下:
直线条数
1
2
3
4
…
n
…
平面最多被分
成的部分数
2
4
7
11
…
…
当n=1时,平面被分成2个部分;
当n=2时,增加2个,分成2+2=4(个)部分;
当n=3时,增加3个,分成2+2+3=7(个)部分;
当n=4时,增加4个,分成2+2+3+4=11(个)部分;…;
所以n条直线分成2+2+3+4+…+n=1+1+2+3+4+…+n=1+
=
(个)部分.
解码专训五
1.C 点拨:
根据定义判定两直线平行,一定要注意前提条件“同一平面内”,同时要注意在同一平面内,不相交的两条线段或两条射线不能判定其平行.
2.解:
如图,在∠BCD的内部作∠BCM=25°,在∠CDE的内部作∠EDN=10°.因为∠B=25°,∠E=10°,所以∠B=∠BCM,∠E=∠EDN.所以AB∥CM,EF∥ND.又因为∠BCD=45°,∠CDE=30°,所以∠DCM=20°,∠CDN=20°.所以∠DCM=∠CDN.所以CM∥ND.所以AB∥EF.
(第2题)
点拨:
题目不能直接得出AB∥EF,因此考虑作辅助线拆分角,构造两直线平行的条件,最后证得AB∥EF时运用了“同平行于第三条直线的两直线平行”.
3.解:
∵DF⊥AB,CE⊥AB,∴DF∥CE.
∴∠BDF=∠DCE,∠EDF=∠DEC.
∵DE∥CA,∴∠DEC=∠ACE.
∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠DCE.
∴∠DCE=∠DEC.
∴∠EDF=∠BDF.
4.解:
EC∥DF,理由如下:
∵∠ABC=∠ACB,∠1=∠2,
∴∠3=∠ECB.
又∵∠3=∠F,∴∠ECB=∠F.
∴EC∥DF(同位角相等,两直线平行).
5.解:
∵CB平分∠ACD,∴∠1=∠2.
又∵∠1=∠3,∴∠2=∠3.
∴AB∥CD.
6.解:
AB∥CD,理由如下:
如图,延长BE,交CD于点F,则直线CD,AB被直线BF所截.
因为∠BEC=95°,所以∠CEF=180°-95°=85°.又因为∠DCE=35°,所以∠BFC=180°-∠DCE-∠CEF=180°-35°-85°=60°.又因为∠ABE=120°,所以∠ABE+∠BFC=180°.所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
(第6题)
点拨:
本题利用现有条件无法直接判断AB与CD是否平行,我们可考虑作一条辅助线,架起AB与CD之间的桥梁.
解码专训六
1.解:
∠APC=∠PCD-∠PAB.
理由如下:
如图,过点P作PE∥AB.
(第1题)
∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD.
∴∠PAB+∠APE=180°,∠PCD+∠CPE=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠APE=180°-∠PAB,∠CPE=180°-∠PCD.
∴∠APC=∠APE-∠CPE=(180°-∠PAB)-(180°-∠PCD)=∠PCD-∠PAB.
2.解:
如图,将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形,由每个基本图形都有2对同旁内角,知共有16对同旁内角.
(第2题)
(第3题)
3.解:
如图,把小路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边,则余下部分EFCG是长方形.
∵CF=32-2=30(m),CG=20-2=18(m),∴长方形EFCG的面积=30×18=540(m2).
答:
绿化的面积为540m2.
4.解:
如图,过点E作EF∥AB.
(第4题)
∵AB∥CD,∴EF∥CD.∴∠DEF=∠D(两直线平行,内错角相等).
又∠D=∠2,
∴∠DEF=∠2(等量代换).
同理可得∠BEF=∠1.
又∵∠1+∠2+∠BEF+∠DEF=180°(平角定义),
∴∠1+∠2=∠BEF+∠DEF=∠BED=90°.∴BE⊥DE.
方法规律:
解该类问题需转化为比较简单,熟悉的几何问题,通过在“拐点”处作平行线,把一个大角分成两个角,分别与已知角建立联系,这种转化思想在解题时经常用到.
5.解:
由对顶角相等,
得∠CNF=∠END.
又∠CNF+∠BMN=180°,
所以∠END+∠BMN=180°.
所以AB∥CD.
因为∠EMB+∠BMN=180°,
所以∠EMB=∠END.
又因为∠1=∠2,
所以∠END+∠2=∠EMB+∠1,
即∠ENQ=∠EMP.所以MP∥NQ.
点拨:
平行线的判定是由角与角的数量关系到“形”的判定,而性质则是由“形”到“数”的说理,研究两条直线的垂直或平行的共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角和角之间的关系.
6.分析:
观察图形,仅靠题图中的线段难以找到∠1,∠2,∠3之间的关系,为此过P点作l1的平行线,因为P是线段CD上的一个动点,所以P点可能在C,D两点之间,也可能与C点或D点重合,因此应按上述三种情况分类讨论.
解:
当点P在C,D之间时,过P点作PE∥AC,则PE∥BD,如图①.
∵PE∥AC,∴∠APE=∠1(两直线平行,内错角相等).
∵PE∥BD,∴∠BPE=∠3(两直线平行,内错角相等).
∵∠2=∠APE+∠BPE,
∴∠2=∠1+∠3.
当点P与点C重合时,∠1=0°,如图②.
(第6题)
∵l1∥l2(已知),
∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等).
∵∠1=0°,∴∠2=∠1+∠3.
当点P与点D重合时,∠3=0°,如图③.
∵l1∥l2(已知),
∴∠2=∠1(两直线平行,内错角相等).
∵∠3=0°,∴∠2=∠1+∠3.
综上所述,当点P在线段CD上运动时,∠1,∠2,∠3之间的关系为∠2=∠1+∠3.
初中数学试卷
金戈铁骑制作
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