高二数学同步检测 324《利用向量知识求空间中的角》 新人教A版选修21.docx
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高二数学同步检测324《利用向量知识求空间中的角》新人教A版选修21
3.2第4课时利用向量知识求空间中的角
一、选择题
1.平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面α所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
[答案] C
[解析] l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角),∵cos〈a,b〉==,
∴〈a,b〉=60°.
2.(08·全国Ⅱ)已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE、SD所成的角的余弦值为( )
A. B.
C.- D.
[答案] C
[解析] 如图,设棱长为1,
∵=(+)=(+-),
∴||=
=,
∴cos〈,〉=
==
=-,故选C.
3.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 解法一:
∵=+,=+,
∴·=(+)·(+)
=·=.
而||=
===.
同理,||=.如令α为所求角,则
cosα===.应选D.
解法二:
如图以D为原点,分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),M(1,,1),C(0,1,0),N(1,1,),
∴=-(1,0,0)=(0,,1),=(1,1,)-(0,1,0)=(1,0,).
故·=0×1+×0+1×=,
||==,
||==.
∴cosα===.
4.把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,点E、F分别是AD、BC的中点,O是正方形中心,则折起后,∠EOF的大小为( )
A.(0°,90°)B.90°
C.120°D.(60°,120°)
[答案] C
[解析] =(+),=(+),
∴·=(·+·+·+·)=-||2.
又||=||=||,
∴cos〈,〉==-.
∴∠EOF=120°,故选C.
5.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD与平面ABC所成的角的大小为( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
[答案] C
[解析] 翻折后A、B、C、D四点构成三棱锥的体积最大时,平面ADC⊥平面BAC,设未折前正方形的对角线交点为O,则∠DBO即为BD与平面ABC所成的角,大小为45°.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若F、G分别是棱AB、CC1的中点,则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 解法一:
过F作BD的平行线交AC于M,则∠MGF即为所求.
设正方体棱长为1,MF=,GF=,
∴sin∠MGF=.
解法二:
分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则易知平面ACC1A1的一个法向量为n=(-1,1,0),
∵F(,0,0),G(1,1,),∴=,
设直线FG与平面A1ACC1所成角θ,
则sinθ=|cos〈n,〉|===.
7.从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是60°,则二面角B—PA—C的余弦值是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 在射线PA上取一点O,分别在面PAB,PAC内作OE⊥PA,OF⊥PA交PB,PB于EF,连接E、F,则∠EOF即为所求二面角的平面角.在△EOF中可求得cos∠EOF=.
8.在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B—AD—C后,BC=a,这时二面角B—AD—C的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
[答案] C
二、填空题
9.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,点D在棱BB1上,且BD=1,则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________.
[答案]
[解析] 解法一:
取AC、A1C1的中点M、M1,连结MM1、BM.过D作DN∥BM,则容易证明DN⊥平面AA1C1C.连结AN,则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角.
在Rt△DAN中,
sin∠DAN===.
解法二:
取AC、A1C1中点O、E,则OB⊥AC,OE⊥平面ABC,以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
在正三角形ABC中,BM=AB=,
∴A,B,D,
∴=,
又平面AA1C1C的法向量为e=(0,1,0),
设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ,则
sinθ=|cos〈,e〉|==.
解法三:
设=a,=b,=c,
由条件知a·b=,a·c=0,b·c=0,
又=-=c-b,
平面AA1C1C的法向量=(a+b).
设直线BD与平面AA1C1C成角为θ,则
sinθ=|cos〈,〉|=,
∵·=(c-b)·(a+b)
=a·c-a·b+b·c-|b|2=-.
||2=(c-b)2=|c|2+|b|2-2b·c=2,
∴||=,
||2=(a+b)2=(|a|2+|b|2+2a·b)=,∴||=,∴sinθ=.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________.
[答案] 30°
[解析] 解法一:
连结BC1,设与B1C交于O点,连结A1O.
∵BC1⊥B1C,A1B1⊥BC1,A1B1∩B1C=B1.
∴BC1⊥平面A1B1C,
∴A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.∴∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角,
设正方体的棱长为1.
在Rt△A1OB中,A1B=,BO=,
∴sin∠OA1B===.∴∠OA1B=30°.
即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
解法二:
以D为原点,DA,DC,DD1分别x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),C(0,1,0).
∴=(1,0,1),=(0,1,0).
设平面A1B1CD的一个法向量为n=(x,y,z)
则⇒令z=-1得x=1.
∴n=(1,0,-1),又B(1,1,0),∴=(0,1,-1),
cos〈n,〉===.
∴〈n,〉=60°,
所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
11.如图所示,ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,则SC与平面ABCD所成的角的大小为________.
[答案] -arccos
[解析] 是平面ABCD的法向量,
设与的夹角为φ.
∵=++,
∴·=·(++)=·=1.
||=1,||=
==,
∴cosφ==.∴φ=arccos.
从而CS与平面ABCD所成的角为-arccos.
三、解答题
12.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC.
[解析]
(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0)、B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2),E(0,,1),
∴=(,1,0),=(,0,-2)
设与的夹角为θ,则
cosθ===,
∴AC与PB所成角的余弦值为.
(2)由于N点在侧面PAB内,故可设N(x,0,z),则=(-x,,1-z),由NE⊥平面PAC可得,
即
化简得.∴,
即N点的坐标为(,0,1).
13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点,求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值.
[解析] 以D为原点,{,,}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图,则C(0,1,0),E(0,,1),F(,1,1).
设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),则,
∵=,=,
∴,∴,
令z=1,则n=(-2,1,1).
显然平面ABCD的法向量e=(0,0,1),则
cos〈n,e〉==.
设二面角为α,则cosα=,∴tanα=.
14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.
(1)求证:
EF⊥CD;
(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论;
(3)求DB与平面DEF所成角的大小.
[解析] 以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),设AD=a,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、E(a,,0)、F(,,)、P(0,0,a).
(1)·=(-,0,)·(0,a,0)=0,∴EF⊥DC.
(2)设G(x,0,z),则G∈平面PAD.
=(x-,-,z-),
·=(x-,-,z-)·(a,0,0)
=a(x-)=0,∴x=;
·=(x-,-,z-)·(0,-a,a)
=+a(z-)=0,∴z=0.
∴G点坐标为(,0,0),
即G点为AD的中点.
(3)设平面DEF的法向量为n=(x,y,z).
由得,
即
取x=1,则y=-2,z=1,∴n=(1,-2,1).
cos<,n>===,
∴DB与平面DEF所成角大小为-arccos.
15.(2010·湖南理,18)如图5所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值;
(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?
证明你的结论.
[解析] 解法一:
设正方体的棱长为1,如图所示,以,,为单位正交基底建立空间直角坐标系.
(1)依题意,得B(1,0,0),E(0,1,),A(0,0,0),D(0,1,0),
所以=(-1,1,),=(0,1,0).
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AD⊥平面ABB1A1,所以是平面ABB1A1的一个法向量,设直线BE与平面ABB1A1所成的角为θ,则
sinθ===.
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
(2)依题意,得A1(0,0,1),=(-1,0,1),=(-1,1,).
设n=(x,y,z)是平面A1BE得一个法向量,则由n·=0,n·=0,得
所以x=z,y=z.取z=2,得n=(2,1,2).
设F是棱C1D1上的点,则F(t,1,1)(0≤t≤1).
又B1(1,0,1),所以=(t-1,1,0),而B1F⊄平面A1BE,于是B1F∥平面A1BE⇔·n=0⇔(t-1,1,0)·(2,1,2)=0⇔2(t-1)+1=0⇔t=⇔F为C1D1的中点.
这说明在棱C1D1上存在一点F(C1D1的中点),使B1F∥平面A1BE.
解法二:
(1)如图(a)所示,取AA1的中点M,连结EM,BM.
因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,所以EM∥AD.
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1,
所以EM⊥ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角.
设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE==3.
于是,在Rt△BEM中,sin∠EBM==.
即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
(2)在棱C1D1上存在点F,使B1F∥平面A1BE.
如图(b)所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连结EG,BG,CD1,FG.
因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,因此D1C∥A1B.
又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EG∥D1C,从而EG∥A1B.
这说明A1,B,G,E共面.所以BG⊂平面A1BE.
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FG∥C1C∥B1B,且FG=C1C=B1B,因此四边形B1BGF为平行四边形,所以B1F∥BG.
而B1F⊄平面A1BE,BG⊂平面A1BE,故B1F∥平面A1BE.
[点评] 本题考查了直线与平面所成的角,直线与平面平行的性质与判定.综合考查了学生空间想象能力、探究能力和运算能力.
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