江西科技学院专升本《高等数学》专升本理教学大纲.docx

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江西科技学院专升本《高等数学》专升本理教学大纲

《高等数学（专升本）》课程教学大纲

一、课程基本信息

课程名称

高等数学（专升本）

课程英文名称

Highermathematics（upgrade）

总学时数

120

授课学时

105

实践学时

0

实验学时

0

习题课学时

15

设计学时

0

学分

8

开课单位

江西科技学院理科教学部

类型、层次

统招专升本（理工科）学生

适用专业

汽车服务工程、车辆工程、土木工程、机械设计、材料科学、热能与动力系统、计

算机科学、通信工程等相关专业

先修课程

初等数学基础

课程类别

学科通识课

使用教材

《高等数学》（第六版），高等教育出版社，同济大学数学系编

主要教学

参考书

1.《高等数学》（第三版），黄立宏主编，复旦大学出版社。

2.《微积分》，金路，北京大学出版社。

3.《微积分》，张润琦、陈一宏主编，机械工业出版社。

本课程任务和目的

高等数学是理工科学生各专业的必修科，数学教学不但要教给学生数学知识，培

养学生应用数学知识解决实际问题的能力，还要提高他们的数学修养，养成良好的思维品格。

学生学好了高等数学，也为后继各专业学习准备了数学知识，发展自己的智力，锻炼和提高分析问题和解决问题的能力，培养高素质人才。

通过本课程的学习，要使学生获得高等数学中的基本概念、基本理论和基本方法。

要通过各个教学环节，逐步培养学生具备较熟练地运算能力和运用数学方法处理问题的初步能力。

同时，在抽象思维和逻辑推理方面也有一定的提高，以提升学生的数学素养，使自学能力提高一个层次，为以后深造打下坚实的基础。

教学大纲

制订单位

数学教研室

教学大纲制订时间

2016.4

二、课程内容及基本要求

第一章函数与极限

课程内容：

1映射与函数

2.数列的极限的定义，收敛数列的性质

3.函数极限的定义函数极限的性质

4.无穷小与无穷大极限运算法则

5.极限存在准则两个重要极限

6.无穷小的比较

7.函数的连续性与间断点

8.连续函数的运算与初等函数的连续性

9.闭区间上连续函数的性质

基本要求：

1.了解集合与区间的基本知识、邻域和内点的知识。

2.理解函数的概念，会求函数的定义域、值域。

3.理解复合函数和分段函数的概念。

4.了解反函数、初等函数的概念,了解函数的单调性，有界性，周期性和奇偶性。

5.掌握基本初等函数的性质及图形。

6.了解数列极限的定义。

7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

8.掌握极限的性质及四则运算法则。

9.了解极限存在的两个准则，会用两个重要极限求极限。

10.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

11.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

12.了解连续函数的性质和初等函数的连续性；理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

本章重点：

函数的概念；复合函数和分段函数的概念；基本初等函数；

极限的性质及四则运算法则；两个重要极限；无穷小及无穷小的比较；函数连续性及判别函数的间断点类型；闭区间上连续函数的性质。

本章难点：

基本初等函数；左极限与右极限概念及应用；极限存在的两个准则的应用；间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用。

第二章导数与微分

课程内容：

1.导数的概念

2.函数的求导法则

3.高阶导数

4.隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数

5.函数的微分

基本要求：

1.理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程；了解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。

3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数、了解其二阶导数的求法。

5.理解函数微分的概念，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

本章重点：

导数和微分的概念；导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；基本初等函数的导数公式；隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

本章难点：

复合函数的求导法则；分段函数的导数；反函数的导数；隐函数和由参数方程确定的导数。

第三章微分中值定理及其应用

课程内容：

1.微分中值定理

2.洛必达法则

※3.泰勒公式

4.函数的单调性与曲线的凹凸性

5.函数的极值与最大值最小值

6.函数图形的描绘

※7.曲率

※8.方程的近似解

基本要求：

1.理解并会用罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）中值定理。

2.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

3.了解泰勒公式。

4.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

5.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，了解函数图形的水平、铅直渐近线。

6.了解曲率的概念及其计算公式。

7.了解二分法和切线法求方程的解

本章重点：

用导数判断函数的单调性和求极值，求函数最大值和最小值；用洛必达法则求未定式极限的方法；罗尔定理、拉格朗日中值定理；求函数的拐点及凹凸性。

本章难点：

函数最大值和最小值的求法及其简单应用；用洛必达法则求未定式极限的方法；用导数判断函数图形的凹凸性和拐点。

第四章不定积分

课程内容：

1.不定积分的概念及性质

2.换元积分法

3.分部积分法

4.有理函数的积分

5.积分表的使用

基本要求：

1.理解原函数的概念，理解不定积分概念。

2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握第一换元积分法与分部积分法，了解第二换元积分法。

3.会求简单的有理函数、三角函数的积分，了解简单的无理函数的积分。

本章重点：

不定积分的性质;不定积分的第一换元积分法与分部积分法。

本章难点：

不定积分的第一、第二换元积分法与分部积分法。

第五章定积分

课程内容：

1.定积分的概念及性质

2.微积分基本公式

3.定积分的换元法和分部积分法

4.反常积分

※5.反常积分的审敛法

基本要求：

1.理解定积分的概念和性质。

2.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3.理解变上限函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4.了解广义积分的概念，会计算一些简单函数的广义积分。

5.了解无穷限和无界函数的反常积分的审敛法

本章重点：

定积分的性质；牛顿—莱布尼茨公式；定积分的换元积分法与分部积分法。

本章难点：

定积分的换元积分法与分部积分法；变上限函数的导数；广义积分的计算。

第六章定积分的应用

1.定积分的元素法

2.定积分在几何上的应用

3.定积分在物理学上的应用

基本要求：

1.理解定积分的微元法、

2.掌握利用定积分计算平面图形的面积，求体积，会求平面曲线的弧长。

3.了解用定积分求变力做功，水压力，引力。

本章重点：

利用定积分计算平面图形的面积，体积，平面曲线的弧长。

本章难点：

利用定积分计算面积，体积，平面曲线的弧长。

第七章微分方程

课程内容：

1.微分方程的基本概念

2.可分离变量的微分方程

3.齐次方程

4.一阶线性微分方程

5.可降阶的高阶微分方程

6.高阶线性微分方程

7.常系数齐次微分方程

※8.常系数非齐次线性微分方程

※9.欧拉方程

※10.常系数线性微分方程组解法举例

基本要求：

1.了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特解概念。

2.掌握可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3.了解齐次微分方程。

4.会用降阶法解三种可降阶的微分方程。

5.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6.了解二阶常系数齐次线性微分方程的特解和通解。

7.了解自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

本章重点：

可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法；可降阶的高阶微分方程

。

本章难点：

求一阶线性微分方程；用降阶法解三种可降阶的微分方程。

第八章空间解析几何与向量代数

课程内容：

1.向量及其线性运算

2.数量积向量积混合积

※3.曲面及其方程

※4.空间曲线及其方程

5.平面及其方程

6.空间直线及其方程

基本要求：

1.了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积）及其性质

3.知道单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4.掌握平面方程和直线方程及其求法。

5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

7.了解点到直线以及点到平面的距离。

8.了解曲面方程的概念、常用二次曲面的方程及其图形，知道以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

9.了解空间曲线的参数方程和一般方程。

10.了解空间曲线在坐标平面上的投影及其方程。

本章重点：

向量的数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；两个向量垂直和平行的条件；平面方程和直线方程；平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件。

本章难点：

向量积、平面方程和直线方程及其求法；点到直线以及点到平面的距离，常用二次曲面的方程及其图形，空间曲线在坐标平面上的投影及其方程。

第九章多元函数微分学及其应用

课程内容：

1.多元函数的基本概念

2.偏导数

3.全微分

4.多元复合函数的求导法则

5.隐函数的求导公式

※6.微分学在几何上的应用

※7.方向导数与梯度

※8.多元函数的极、最值及其求法

※9.二元函数的泰勒公式

※10.最小二乘法

基本要求：

1.理解多元函数的概念、了解二元函数的几何意义；会求二元函数的定义域。

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

会求简单的二元函数的极限。

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶偏导数的求法、了解二阶偏导数的求法.

5.会求隐函数（了解包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

6.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线。

7.了解多元函数极值和条件极值的概念，了解二元函数极值存在的充分条件，了解二元函数的极值的求法，了解条件极值的拉格朗日乘数法。

本章重点：

多元函数的偏导数和全微分；多元复合函数偏导数；隐函数的偏导数。

本章难点：

二元函数的极限与连续性的概念；复合函数偏导数的求法；全微分的概念；隐函数的偏导数；拉格朗日乘数法。

第十章重积分

课程内容：

1.二重积分的概念和性质

2.二重积分的计算法

3.三重积分

※4.重积分应用

基本要求：

1.理解二重积分的概念，了解重积分的性质。

2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

3.会求三重积分（直角坐标、柱面坐标）。

本章重点：

二重积分的计算（直角坐标、极坐标）。

本章难点：

利用极坐标计算二重积分，三重积分

第十一章曲线积分和曲面积分

1.对弧长的曲线积分

2.对坐标的曲线积分

3.格林公式及其应用

4.对面积的曲面积分

※5.对坐标的曲面积分

※6.高斯公式通量和散度

※7.斯托克斯公式环流量与旋度

基本要求：

1.掌握对弧长的曲线积分的计算，了解重积分的性质。

2.掌握对坐标的曲线积分的计算方法

3.掌握对面积的曲面积分的计算方法

4.了解对坐标的曲面积分的计算方法

5.会用格林公式，了解高斯公式和斯托克斯公式

本章重点：

对弧长的曲线积分的计算；对坐标的曲线积分的计算；对面积的曲面积分的计算。

本章难点：

对面积的曲面积分的计算。

第十二章无穷级数

课程内容：

1.常数项级数的概念与性质

2.正项级数的审敛法

3.任意项级数的绝对收敛和条件收敛

4.幂级数

※5.函数的幂级数展开的应用

※6.函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质

7.傅里叶级数

※8.一般周期的傅里叶级数

基本要求：

1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2.掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。

3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。

4.了解交错级数的莱布-尼茨判别法。

5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7.理解幂级数收敛域的求法。

8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

9.了解利用简单函数的麦克劳林展开式将一些简单函数间接展开成幂级数。

10.理解傅里叶级数和了解一般周期函数的傅里叶级数

本章重点：

级数的基本性质及收敛的必要条件；正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法；幂级数的收敛域。

本章难点：

比较判别法的极限形式；莱布-尼茨判别法；函数项级数的收敛域，傅里叶级数。

三、学时分配表

教学环节

教学时数

课程内容

讲课

实验

实践

习

题

课

讨

论

课

设计

其他

小计

1、函数与极限

11

1

12

2、导数与微分

8

1

9

3、微分中值定理及导数的应用

10

1

11

4、不定积分

10

1

11

5、定积分

8

1

9

6、定积分的应用

4

1

5

7、微分方程

14

1

15

8、空间解析几何与向量代数

8

1

9

9、多元函数微分法及其应用

10

1

11

10、重积分

8

1

9

11、曲线积分与曲面积分

6

1

7

12.无穷级数

8

1

9

总复习

0

3

3

合计

105

15

120

四、课程教学的有关说明

1.本课程自学内容：

对于以上标有“※”符号的章节为学生自学内容，教师可略讲或不讲。

2.教学方法：

《高等数学》的教学应采用以“预、教、思、辨、结”五个步骤为主线的综合性教学方法，具体为：

（一）所谓“预”：

教师必须课前要求学生预习，教师的“预”主要指课前的集体讨论和个人备课。

（二）“教”：

教师必须以启发式教学作为根本的指导方法。

学生在预习时，往往会感到“心求通而未得，口欲言而不能”，而教师在教学过程中则要针对这种情况对学生进行点悟开导，创设情境诱导学生自觉学习，积极思考，主动配合教师的教学。

（三）“思”：

主要指学生的复习思考。

教师要要求学生课后必须对所学课程进行复习，然后针对教师留下的思考题进行分析思考，以培养学生独立思考能力，并配合练习对所学的知识加以强化、巩固。

教师再通过对复习思考题及练习的批阅，及时找出学生存在的问题。

（四）“辩”：

是指学生的讨论、辩论。

（五）“结”是指各类小结、总结。

3.对学生的能力培养要求：

本课程不仅要为学生学习本科后继课程和解决实际问题提供了必不可少的数学基础知识和数学方法，要为学生的考研打下良好基础。

而且也为培养学生思维能力、分析解决问题的能力和自学能力，为学生形成良好的学习方法提供了不可多得的素材。

对于教学重点应安排习题课，习题作业要能起到巩固理论、掌握计算方法和技巧、提高分析问题与解决问题能力的作用。

五、考核方式

1.本课程考试内容以教学大纲为依据，自学部分不做考试要求。

2.考试为闭卷考试，考试成绩分平时成绩和期末考试成绩，分别在总成绩中占30%和70%。

平时成绩依据出勤率、平时作业、课堂表现、纪律遵守等情况打分。

制订人：

尧克刚审核人：

方玲玲审定人：

危子青