本量利数学模型分析.docx

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本量利数学模型分析

本量利模型分析

什么是本量利分析？

一本量利分析是成本--产量（或销售量）--利润依存关系分析的简称,也称为CVP分析，是

指在变动成本计算模式的基础上，以数学化的会计模型与图文来揭示固定成本、变动成本、

销售量、单价、销售额、利润等变量之间的内在规律性的联系，为会计预测决策和规划提

供必要的财务信息的一种定量分析方法。

本量利分析它着重研究销售数量、价格、成本和利润之间的数量关系，它所提供的原

理、方法在管理会计中有着广泛的用途,同时它又是企业进行决策、计划和控制的重要工具。

本量利分析方法是在成本性态分析和变动成本法的基础上发展起来的，主要研究成本、

销售数量、价格和利润之间数量关系的方法。

它是企业进行预测、决策、计划和控制等经

营活动的重要工具，也是管理会计的一项基础内容。

本量利分析的前提条件二在现实经济生活中，成本、销售数量、价格和利润之间的关系非常复杂。

例如，成本

与业务量之间可能呈线性关系也可能呈非线性关系；销售收入与销售量之间也不一定是线

性关系，因为售价可能发生变动。

为了建立本量利分析理论，必须对上述复杂的关系做一

些基本假设，由此来严格限定本量利分析的范围，对于不符合这些基本假设的情况，可以

进行本量利扩展分析。

（一）相关范围和线性关系假设

由于本量利分析是在成本性态分析基础上发展起来的，所以成本性态分析的基本假设

也就成为本量利分析的基本假设，也就是在相关范围内，固定成本总额保持不变，变动成

本总额随业务量变化成正比例变化，前者用数学模型来表示就是y=a，后者用数学模型来

表示就是y=bx，所以，总成本与业务量呈线性关系，即y=a+bx。

相应的，假设售价也在

相关范围内保持不变，这样，销售收入与销售量之间也呈线性关系，用数学模型来表示就

是以售价为斜率的直线y=px（p为销售单价）。

这样，在相关范围内，成本与销售收入均

分别表现为直线。

由于有了相关范围和线性关系这种假设，就把在相关范围之外，成本和销售收入分别

与业务量呈非线性关系的实际情况排除在外了。

但在实际经济活动中，成本、销售收入和

业务量之间却存在非线性关系这种现象。

为了解决这一问题，将在后面放宽这些假设，讨

论非线性条件下的情况。

（二）品种结构稳定假设

该假设是指在一个生产和销售多种产品的企业里，每种产品的销售收入占总销售收入

的比重不会发生变化。

但在现实经济生活中，企业很难始终按照一个固定的品种结构来销

售产品，如果销售产品的品种结构发生较大变动，必然导致利润与原来品种结构不变假设

下预计的利润有很大差别。

有了这种假定，就可以使企业管理人员关注价格、成本和业务

量对营业利润的影响。

（三）产销平衡假设

所谓产销平衡就是企业生产出来的产品总是可以销售出去，能够实现生产量等于销售

量。

在这一假设下，本量利分析中的量就是指销售量而不是生产量，进一步讲，在销售价格不变时，这个量就是指销售收入。

但在实际经济生活中，生产量可能会不等于销售量，这时产量因素就会对本期利润产生影响。

正因为本量利分析建立在上述假设基础上，所以一般只适用于短期分析。

在实际工作

中应用本量利分析原理时，必须从动态的角度去分析企业生产经营条件、销售价格、品种

结构和产销平衡等因素的实际变动情况，调整分析结论。

积极应用动态分析和敏感性分析

等技术来克服本量利分析的局限性。

本量利分析的基本关系三

在进行本量利分析时，应明确认识下列基本关系：

1．在销售总成本已定的情况下，盈亏临界点的高低取决于单位售价的高低。

单位售

价越高，盈亏临界点越低；单位售价越低，盈亏临界点越高。

2．在销售收入已定的情况下，盈亏临界点的高低取决于固定成本和单位变动成本的

高低。

固定成本越高，或单位变动成本越高，则盈亏临界点越高；反之，盈亏临界点越低。

3．在盈亏临界点不变的前提下，销售量越大，企业实现的利润便越多（或亏损越少）

；销售量越小，企业实现的利润便越少（或亏损越多）。

4．在销售量不变的前提下，盈亏临界点越低，企业能实现的利润便越多（或亏损越

少）；盈亏临界点越高，企业能实现的利润便越少（或亏损越多）。

本量利分析的基本公式四

本量利分析是以成本性态分析和变动成本法为基础的，其基本公式是变动成本法下计

算利润的公式，该公式反映了价格、成本、业务量和利润各因素之间的相互关系。

即：

税前利润=销售收入-总成本=销售价格×销售量-（变动成本+固定成本）

=销售单价×销售量-单位变动成本×销售量-固定成本

即：

P=px-bx-a=（p-b）x-a

式中：

P——税前利润

p——销售单价

b——单位变动成本

a——固定成本

销售量x——

该公式是本量利分析的基本出发点，以后的所有本量利分析可以说都是在该公式基础上进行的。

五本量利模型分析

（一）盈亏临界点分析

盈亏临界点，又称为保本点、盈亏平衡点、损益两平点等，是指刚好使企业经营达到

不盈不亏状态的销售量（额）。

此时，企业的销售收入恰好弥补全部成本，企业的利润等

于零。

盈亏临界点分析就是根据销售收入、成本和利润等因素之间的函数关系，分析企业

如何达到不盈不亏状态。

也就是说，销售价格、销售量以及成本因素都会影响企业的不盈

不亏状态。

通过盈亏临界点分析，企业可以预测售价、成本、销售量以及利润情况并分析

这些因素之间的相互影响，从而加强经营管理。

企业可以根据所销售产品的实际情况，计

算盈亏临界点。

下面就是盈亏临界点计算

1．单一产品的盈亏临界点

企业只销售单一产品，则该产品的盈亏临界点计算比较简单。

根据本量利分析的基本

公式：

税前利润=销售收入-总成本=销售价格×销售量-（变动成本+固定成本）

=销售单价×销售量-单位变动成本×销售量-固定成本

P=px-bx-a=（p-b）x-a

企业不盈不亏时，利润为零，利润为零时的销售量就是企业的盈亏临界点销售量。

即：

0=销售单价×盈亏临界点销售量-单位变动成本×盈亏临界点销售量-固定成本

盈亏临界点销售量=固定成本/（销售单价－单位变动成本）=固定成本/单位贡献毛益

可以写成：

相应的，盈亏临界点销售额=盈亏临界点销售量×销售单价=固定成本/贡献毛益率，即：

2．多品种的盈亏临界点

在现实经济生活中，大部分企业生产经营的产品不只一种。

在这种情况下，企业的盈

亏临界点就不能用实物单位表示，因为不同产品的实物计量单位是不同的，把这些计量单

位不同的产品销量加在一起是没有意义的。

所以，企业在产销多种产品的情况下，只能用

金额来表示企业的盈亏临界点。

即只能计算企业盈亏临界点的销售额。

通常计算多品种企．

业盈亏临界点的方法有综合贡献毛益率法；联合单位法；主要品种法和分算法等几种方法，

下面将逐一介绍：

（1）综合贡献毛益率法。

所谓综合贡献毛益率法是指将各种产品的贡献毛益率按照其各自的销售比重这一权数

进行加权平均，得出综合贡献毛益率，然后再据此计算企业的盈亏临界点销售额和每种产

品的盈亏临界点的方法。

具体来说，企业盈亏临界点=企业固定成本总额/综合贡献毛益率

企业盈亏临界点的具体计算步骤是：

①计算综合贡献毛益率。

首先，计算各种产品的销售比重

某种产品的销售比重=该种产品的销售额/全部产品的销售总额×100%

销售比重是销售额的比重而不是销售量的比重。

其次，计算综合贡献毛益率

综合贡献毛益率=∑（各种产品贡献毛益率×该种产品的销售比重）

该公式也可以写作：

综合贡献毛益率=各种产品贡献毛益额之和/销售收入总额

②计算企业盈亏临界点销售额。

企业盈亏临界点销售额=企业固定成本总额/综合贡献

毛益率

③计算各种产品盈亏临界点销售额。

某种产品盈亏临界点销售额=企业盈亏临界点销

售额×该种产品的销售比重

综合贡献毛益率的大小反映了企业全部产品的整体盈利能力高低，企业若要提高全部

产品的整体盈利水平，可以调整各种产品的销售比重，或者提高各种产品自身的贡献毛益

率。

（2）联合单位法。

所谓联合单位法是指企业各种产品之间存在相对稳定的产销量比例关系，这一比例关

系的产品组合可以视同为一个联合单位，然后确定每一联合单位的售价和单位变动成本，

以进行多品种的盈亏临界点分析。

如企业A、B、C三种产品，其销量比为1︰2︰3，则这

三种产品的组合就构成一个联合单位。

然后按照这种销量比来计算各种产品共同构成的联

合单价和联合单位变动成本。

即：

联合销售单价=A产品单价×1+B产品单价×2+C产品单价×3

联合单位变动成本=A产品单位变动成本×1+B产品单位变动成本×2+C产品单位变动

成本×3

然后就可以计算出联合保本量，即：

联合保本量=固定成本/（联合单价-联合单位变动成本）

该产品销量比×联合保本量=某产品保本量

这种方法主要适用于有严格产出规律的联产品生产企业。

（3）主要品种法。

如果企业生产经营的多种产品中，有一种产品能够给企业提供的贡献毛益占企业全部

贡献毛益总额的比重很大，而其他产品给企业提供的贡献毛益比重较小。

则可以将这种产

品认定为主要品种。

此时，企业的固定成本几乎由主要产品来负担，所以，可以根据这种

产品的贡献毛益率计算企业的盈亏临界点。

当然，用这种方法计算出来的企业的盈亏临界

点可能不十分准确。

如果企业产品品种主次分明，则可以采用这种方法。

（4）分算法。

分算法是指在一定条件下，企业可以将全部固定成本按一定标准在各种产品之间进行

分配，然会再对每一个品种分别进行盈亏临界点分析的方法。

全部固定成本中的专属固定

成本直接划归某种产品负担，而共同固定成本则要按照一定标准（如产品重量、体积、长

度、工时、销售额等）分配给各种产品。

这种方法要求企业能够客观分配固定成本，如果不能做到客观，则可能使计算结果出现误

差。

这种方法可以给企业管理当局提供各产品计划和控制所需要的资料。

（二）盈亏临界点作业率和安全边际

1．盈亏临界点的作业率

盈亏临界点作业率也称为保本作业率、危险率，是指企业盈亏临界点销售量（额）占

现有或预计销售量（额）的百分比。

该指标越小，表明用于保本的销售量（额）越低；反

之，越高。

其计算公式为：

盈亏临界点作业率=盈亏临界点销售量（额）/现有或预计销售量（额）

2．安全边际

所谓安全边际是指现有或预计销售量（额）超过盈亏临界点销售量（额）的部分。

超

出部分越大，企业发生亏损的可能性越小，发生盈利的可能性越大，企业经营就越安全。

安全边际越大，企业经营风险越小。

衡量企业安全边际大小的指标有两个，它们是安全边

际量（额）和安全边际率。

安全边际量（额）=现有或预计销售量（额）-盈亏临界点销售量（额）

安全边际率=安全边际销售量（额）/现有或预计的销售量（额）×100%

安全边际率与盈亏临界点的作业率之间的关系为：

安全边际率+盈亏临界点作业率=1

西方国家一般用安全边际率来评价企业经营的安全程度。

下面列示了安全边际的经验数

据。

安全边际率10%以下10%～20%20%～30%30%～40%40%以上

很安全安全比较安全值得注意危险安全程度．

安全边际能够为企业带来利润。

我们知道，盈亏临界点的销售额除了弥补产品自身的变动成本外，刚好能够弥补企业的固定成本，不能给企业带来利润。

只有超过盈亏临界点的销售额，才能在扣除变动成本后，不必再弥补固定成本，而是直接形成企业的税前利润。

用公式表示如下：

-固定成本×销售单价销售量-单位变动成本×销售量税前利润=

单位贡献毛益-固定成本=（安全边际销售量+盈亏临界点销售量）×

单位贡献毛益安全边际销售量×=

贡献毛益率安全边际销售额×=

将上式两边同时除以销售额可以得出：

税前利润率=安全边际率×贡献毛益率

（三）实现目标利润的本量利分析

前面盈亏临界点分析是研究企业利润为零时的情况。

而企业的目标是获取利润，所

以，下面将分析企业实现目标利润时的情况。

（一）保利点及其计算

所谓保利点是指企业为实现目标利润而要达到的销售量或销售额。

保利点具体可用

保利量和保利额两个指标表示。

根据本量利分析的基本公式：

目标利润=销售单价×保利量-单位变动成本×保利量-固定成本

可得：

保利量=（固定成本+目标利润）/（销售单价－单位变动成本）=（固定成本＋目标利

润）/（单位贡献毛益）

相应的，可得：

保利额=销售单价×保利量=（固定成本＋目标利润）/贡献毛益率=（固定

成本＋目标利润）/（1-变动成本率）

这里的目标利润是指尚未扣除所得税的利润。

（二）保净利点及其计算

由于税后利润（即净利润）是影响企业生产经营现金流量的真正因素，所以，进行税

后利润的规划和分析更符合企业生产经营的需要。

因此，应该进行保净利点的计算。

保净

利点是指实现目标净利润的业务量。

其中，目标净利润就是目标利润扣除所得税后的利润。

保净利点可以用保净利量和保净利额两个指标表示。

，所得税税率）-1（×目标利润=由于，目标净利润

所以，可以得出，

所得税税率-）目标利润=目标净利润/（1

相应的保净利点公式可以写成，

）-/（1所得税税率）]/（销售单价－单位变动成本保净利量=[固定成本＋目标净利润

贡献毛益率）]//（1-所得税税率保净利额=[固定成本＋目标净利润

六、相关因素变动对盈亏临界点和保利点的影响

前面进行本量利分析时，销售单价、固定成本、单位变动成本、目标利润都是不变的，

当这些因素变动时，对盈亏临界点和保利点会产生很大影响。

（一）销售单价单独变动对盈亏临界点和保利点的影响

从盈亏临界点和保利点的计算公式来看，销售单价提高会使单位贡献毛益和贡献毛益

率上升，也就是盈亏临界点和保利点的计算公式的分母增大，因此，销售单价提高会降低

盈亏临界点和保利点；销售单价降低，则情况相反。

从传统式和贡献毛益式本量利关系图来看，销售单价提高表明销售收入线斜率增大，

而总成本线不变，所以两线交点下降，即盈亏临界点和保利点降低；销售单价降低，则情

况相反。

（二）单位变动成本单独变动对盈亏临界点和保利点的影响

从盈亏临界点和保利点的计算公式来看，单位变动成本上升会使单位贡献毛益和贡献

毛益率下降，也就是盈亏临界点和保利点计算公式的分母变小，因此，单位变动成本上升

会提高盈亏临界点和保利点；单位变动成本下降，则情况相反。

从传统式和贡献毛益式本量利关系图来看，单位变动成本提高表明销售成本线斜率增

大，而总收入线不变，所以，两线交点上升，即盈亏临界点和保利点提高；单位变动成本

降低，则情况相反。

（三）固定成本单独变动对盈亏临界点和保利点的影响

从盈亏临界点和保利点的计算公式来看，固定成本上升会使盈亏临界点和保利点的计

算公式的分子增大，因此，固定成本上升会提高盈亏临界点和保利点；固定成本下降，则

情况相反。

从传统式和贡献毛益式本量利关系图来看，固定成本提高表明销售成本线截距提高，

而总成本线斜率不变，总收入线也不变，所以，两线交点上升，即盈亏临界点和保利点提

高；固定成本降低，则情况相反。

（四）目标利润单独变动对保利点的影响

目标利润的变动只影响到保利点而不影响盈亏平衡点。

企业预计达到的目标利润提高

时，保利点提高，预计达到的目标利润降低时，保利点降低。

．

七、本量利关系中的敏感性分析

敏感性分析方法是一种广泛应用于各领域的分析技术。

它是研究一个系统在周围环境

发生变化时，该系统状态会发生怎样变化的方法。

敏感性分析具体研究的问题是，一个确

定的模型在得出最优解之后，该模型中的某个或某几个参数允许发生多大的变化，仍能保

持原来的最优解不变；或者当某个参数的变化已经超出允许的范围，原来的最优解已不再

最优时，怎样用最简便的方法重新求得最优解。

本量利关系中的敏感性分析，主要是研究销售单价、单位变动成本、固定成本和销售

量这些因素变动对盈亏临界点和目标利润的影响程度。

具体说来，本量利关系中的敏感性

分析就是分析由盈利转为亏损时各因素变化情况和分析利润敏感性。

由盈利转为亏损时各

因素变化情况分析就是分析确定那些使得企业由盈利转为亏损的各因素变化的临界值，也

就是计算出达到盈亏临界点的销售量、销售单价的最小允许值以及单位变动成本和固定成

本的最大允许值。

分析利润的敏感性是分析销售量、销售单价、单位变动成本和固定成本

各因素变化对利润的影响程度，在这些因素中，有的因素微小的变化导致利润很大的变化，

说明利润对该因素很敏感，该因素被称为敏感因素；而有的因素很大的变化只导致利润不

大的变化，说明利润对该因素不敏感，该因素被称为不敏感因素。

（一）相关因素临界值的确定

根据实现目标利润的模型P=px-bx-a=（p-b）x-a，当P等于零时，可以求出公式中各

因素的临界值（最大、最小值）。

确定某一相关因素临界值时，通常假定其他因素不变。

所以：

a=（p-b）x

（二）相关因素变化对利润变化的影响程度

销量、销售单价、单位变动成本和固定成本各因素变化对利润的影响程度是不同的，

也就是利润对这些因素变动的敏感程度是不同的，为了测量利润对这些因素变动的敏感程

度，人们在长期实践中建立了敏感系数这一指标。

因素值变动百分比/目标值变动百分比=敏感系数根据该公式，企业管理者可以分析哪些是敏感因素，哪些是不敏感因素，然后对敏感

因素应予以高度重视，对于不敏感因素，则可以不作重点关注，这样，就可以分清主次，

把握重点了。

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