北师大版七年级数学下册教案全册.docx

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北师大版七年级数学下册教案全册

（新）北师大版七年级数学下册教案（全册）

《同底数幂的乘法》教案

教学目标

一、知识与技能

1．掌握同底数幂的乘法法则，并会用式子表示；

2．能利用同底数幂的乘法法则进行简单计算；

二、过程与方法

1．在探索性质的过程中让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的思维过程；

2．课堂中教给学生“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的研讨式学习方法；

三、情感态度和价值观

1．在活动中培养乐于探索、合作学习的习惯，培养“用数学”的意识和能力；

2．通过同底数幂乘法性质的推导和应用，使学生初步理解“特殊、一般、特殊”的认知规律

和辨证唯物主义思想，体会科学的思想方法，激发学生探索创新精神；

教学重点

同底数幂乘法法则；

教学难点

同底数幂的乘法法则的灵活运用；

教学方法

引导发现法、启发猜想、讲练结合法

课前准备

教师准备

课件、多媒体；

学生准备

练习本；

课时安排

1课时

教学过程

一、导入

光在真空中的速度大约是3×108m/s．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它

发出的光到达地球大约需要4.22年．

一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少？

3×108×3×107×4.22=37.98×（108×107）．

108×107等于多少呢？

通过呈现实际问题引起学生的注意，对同底数幂的乘法内容具体，便于引导学生进入相关问题的思考.

二、新课

在乘方意义的基础上，学生开展探究，采用观察分析、探究归纳，合作学习的方法，易使学生体会知识的形成过程，从而突破难点，同时也培养了学生观察、概括与抽象的能力。

1．计算下列各式：

（1）102×103；

（2）105×108；

（3）10m×10n（m，n都是正整数）．

你发现了什么？

（1）102×103=（10×10）×（10×10×10）

=10×10×10×10×10=105=102+3；

（2）105×108=（10×10×10×10×10）×（10×10×10×10×10×10×10×10）

=10×10×10×···×10×10=1013=105+8；

13个10

（3）10m×10n=（10×10×···×10×10）×（10×10×···×10×10）

m个10n个10

=10×10×10×···×10×10=10m+n；

m+n个10

2．2m×2n等于什么？

（）m×（）n和（-3）m×（-3）n呢？

（m，n都是正整数）

引导学生剖析规律.

（1）等式左边是什么运算？

（2）等式两边的底数有什么关系？

（3）等式两边的指数有什么关系？

（4）设疑：

那么am·an=_____?

猜想:

am·an=am+n（当m、n都是正整数）

证明：

am·an=（aa…a）（aa…a）（乘方的意义）

m个an个a

=aa…a（乘法结合律）

（m+n）个a

=am+n（乘方的意义）

am·an=am+n（当m、n都是正整数）

观察以上等式，你发现什么规律？

你能用等式或语言表示这个规律吗？

am·an=am+n（当m、n都是正整数）。

同底数幂相乘，底数不变，指数不变。

思考：

当三个或三个以上同底数幂相乘时，同底数幂的乘法公式是否也适用呢？

怎样用公式表

示？

am·an·ap=am+n+p（m、n、p都是正整数）

三、例题

通过课本例题和做一做，使学生体会到运用同底数幂的运算性质，可以解决一些实际问题，进一步让学生发展数感.

例1、计算：

（1）（-3）7×（-3）6；

（2）（）3×（）；

（3）-x3·x5；

（4）b2m·b2m+1．

解：

（1）（-3）7×（-3）6=（-3）7+6=（-3）13；

（2）（）3×（）=（）3+1=（）4；

（3）-x3·x5=-x3+5=-x8；

（4）b2m·b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1．

例2：

光在真空中的速度约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102s．地球距离太阳大约有多远？

解：

3×108×5×102

=15×1010

=1.5×1011（m）．

答：

地球距离太阳大约有1.5×1011m．

四、习题

1．计算：

（1）52×57；

（2）7×73×72；

（3）-x2·x3；（4）（-c）3·（-c）m．

解：

（1）52×57=52+7=59；

（2）7×73×72=71+3+2=76；

（3）-x2·x3=-x2+3=-x5；（4）（-c）3·（-c）m=（-c）3+m．

2．一种电子计算机每秒可做4×109次运算，它工作5×102s可做多少次运算？

解：

（4×109）（5×102）=20×1011=2×1012

答：

工作5×102s可做2×1012次运算？

五、拓展

同底数幂乘法公式的应用及注意事项

三点应用：

1.可把一个幂写成几个相同底数幂的乘积.

2.可逆用同底数幂的乘法公式进行计算或说理.

3.可把一些实际问题转化为同底数幂的乘法进行求解.

两点注意：

1.转化过程中要时刻注意幂的底数相同.

2.解题中要注意整体思想的应用.

填空：

（1）16=2x，则x=；

（2）8×4=2x，则x=；

（3）3×27×9=3x，则x=.

六、小结

通过本节课的内容，你有哪些收获？

1．同底数幂的乘法表达式：

am·an=am+n（当m、n都是正整数）

am·an·ap=am+n+p（m、n、p都是正整数）

2．法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

《幂的乘方与积的乘方》教案

教学目标

一、知识与技能

1．经历探索幂的乘方与积的乘方性质，进一步体会幂的乘方与积的乘方；

2．理解幂的乘方与积的乘方运算性质并能解决一些实际问题；

二、过程与方法

1．在探究幂的乘方与积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理地表达的能力；

2．课堂中教给学生“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的研讨式学习方法；

三、情感态度和价值观

1．通过研究探讨解决问题的方法，培养学生会作交流意识与探究精神；

2．通过引导学生主动探索法则的形成和应用过程，培养学生主动获取新知的能力；

教学重点

幂的乘方与积的乘方运算；

教学难点

幂的乘方与积的乘方公式的推导及公式的逆用；

教学方法

引导发现法、启发猜想、讲练结合法

课前准备

教师准备

课件、多媒体；

学生准备

练习本；

课时安排

2课时

教学过程

一、导入

地球、木星、太阳可以近似地看做是球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？

二、新课

木星的半径是地球的10倍，它的体积是地球的103倍！

太阳的半径是地球的102倍，它的体积是地球的（102）3倍！

那么，你知道（102）3等于多少吗？

（102）3=102×102×102=102+2+2=106

通过问题的研究：

（102）3=106，让学生清楚运算之间的关系，题目中所描述的是10的2次幂的三次方，其底数是幂的形式，然后根据幂的意义展开运算，去探究运算过程.

计算下列各式，并说明理由．

（1）（62）4；

（2）（a2）3；（3）（am）2．

解：

（1）（62）4=62×62×62×62=62+2+2+2=68；

（2）（102）3=102×102×102=102+2+2=106；

（3）（am）2=am×am=am+m=a2m；

仿照前面，来研究运算情况，实际上做到（am）2就能猜想（am）n的结果，也为后面幂的乘方的法则带来指导性，完成本节课的主要教学任务.

猜想（am）n等于什么？

你的猜想正确吗？

（am）n=am·am…am=am+m+…+m=amn

幂的乘方的运算性质

（am）n=amn（m，n都是正整数）

法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×10３km，它的体积大约是多少立方千米？

你会计算（ab）2，（ab）３和（ab）4吗？

（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a2b2

（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）=（a·a·a）·（b·b·b）=a3b3

（ab）4=（ab）·（ab）·（ab）·（ab）=（a·a·a·a）·（b·b·b·b）=a4b4

（ab）m=am·bm的证明

（ab）m=ab·ab·……·ab（乘方的意义）

=（a·a·……·a）（b·b·……·b）（乘法运算律）

=am·bm（乘方的意义）

积的乘方的运算性质

（ab）m=am·bm（m为正整数）

法则：

积的乘方等于各因数乘方的积。

三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质?

怎样用公式表示?

（abc）n=an·bn·cn

三、例题

例1计算：

（1）（102）3；

（2）（b5）5；（3）（an）3；（4）-（x2）m；（5）（y2）3·y；（6）2（a2）6-（a3）4.

解：

（1）（102）3=102×3=106；

（2）（b5）5=b5×5=b25；

（3）（an）3=an×3=a3n；

（4）-（x2）m=-x2×m=-x2m；

（5）（y2）3·y=y2×3·y=y6·y=y7；

（6）2（a2）6-（a3）4=2a2×6-a3×4=2a12-a12=a12．

例2：

（1）（3x）2；

（2）（-2b）5；（3）（-2xy）4；（4）（3a2）n．

解：

（1）（3x）2=32x2=9x2；

（2）（-2b）5=（-2）5b5=-32b5；

（3）（-2xy）4=（-2x）4y4=（-2）4x4y4=16x4y4；

（4）（3a2）n=3n（a2）n=3na2n．

四、习题

1．计算：

（1）（103）3；

（2）-（a2）5；（3）（x3）4·x2．

解：

（1）（103）3=109；

（2）-（a2）5=-a10；

（3）（x3）4·x2=x12·x2=x14．

2．计算：

（1）（-3n）3；

（2）（5xy）3；

（3）-a3+（-4a）2a．

解：

（1）（-3n）3=（-3）3n3=-27n3；

（2）（5xy）3=53x3y3=53x3y3=125x3y3；

（3）-a3+（-4a）2a=-a3+42a2a=-a3+16a3=15a3．

五、拓展

幂的乘方的运算性质

（am）n=amn（m，n都是正整数）

注意：

1．公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式。

2．注意幂的乘方中指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加。

积的乘方的运算性质

（ab）m=am·bm（m为正整数）

逆运算使用:

an·bn=（ab）n

六、小结

通过本节课的内容，你有哪些收获？

幂的乘方的运算性质

（am）n=amn（m，n都是正整数）

法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

积的乘方的运算性质

法则：

积的乘方等于各因数乘方的积。

（ab）m=am·bm（m为正整数）

《同底数幂的除法》教案

教学目标

一、知识与技能

1．能用符号语言和文字语言表述同底数幂的除法运算性质；

2．能利用同底数幂的除法法则进行简单计算；

二、过程与方法

1．经历探索同底数幂的除法运算法则的过程，会进行同底数幂的除法运算；

2．在幂的意义的推导过程中，让学生通过观察分析、探究归纳得出结论；

三、情感态度和价值观

1．在活动中培养乐于探索、合作学习的习惯，培养“用数学”的意识和能力；

2．通过同底数幂乘法性质的推导和应用，使学生初步理解“特殊、一般、特殊”的认知规律

和辨证唯物主义思想，体会科学的思想方法，激发学生探索创新精神；

教学重点

同底数幂的除法法则；

教学难点

根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则；

教学方法

引导发现法、启发猜想、讲练结合法

课前准备

教师准备

课件、多媒体；

学生准备

练习本；

课时安排

1课时

教学过程

一、导入

一种液体每升含有1012个有害细菌．为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌．要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？

你是怎样计算的？

通过与数学有密切联系的现实世界的一个问题的解决，让学生体会同底数幂的除法运算和现实世界的联系，在课堂上用实际问题的解决来开展教学.

二、新课

计算下列各式，并说明理由（m>n）．

（1）1012÷109；

（2）10m÷10n；（3）（-3）m÷（-3）n

观察上面三个式子，运算前后指数和底数发生了怎样的变化？

“底数不变，指数相减”

猜想：

am-n（a≠0,m、n都是正整数，且m＞n）

因为：

（a×a×···×a）÷（a×···×a）=am-n

所以：

am-n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

同底数幂的除法法则:

即

am-n（a≠0,m、n都是正整数，且m＞n）

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

注意:

条件：

①同底数幂②除法

结果：

①底数不变②指数相减

强调“不变”、“相减”，让学生类比同底数幂的乘法，不仅是对刚学知识的再现，同时也培养了学生的概括总结能力.

三、例题

例1、计算：

（1）a7÷a4；

（2）（-x）6÷（-x）3；

（3）（xy）4÷（xy）；（4）b2m+2÷b2

解：

（1）a7÷a4=a7-4=a3；

（2）（-x）6÷（-x）3=（-x）6-3=（-x）3=-x3；

（3）（xy）4÷（xy）=（xy）4-1=（xy）3=x3y3；

（4）b2m+2÷b2=b2m+2-2=b2m

做一做

104=10000，24=16，

10（3）=1000，2（3）=8，

10

（2）=100，2

（2）=4，

10

（1）=10．2

（1）=2．

猜一猜下面的括号内该填入什么数？

你是怎么想的？

与同伴交流．

10（0）=1，2（0）=1，

10（-1）=

，2（-1）=

，

10（-2）=

，2（-2）=

，

10（-3）=

．2（-3）=

．

根据“猜一猜”，大家归纳一下，我们应该如何定义零指数幂和负整数指数幂呢？

正整数幂的意义表示几个相同的数相乘.如果用此定义解释负整数指数幂，零指数幂无意义，应该如何定义呢？

我们规定：

（a≠0，p是正整数）

例2：

用小数或分数表示下列各数：

（1）10-3；

（2）70×8-2；（3）1.6×10-4

解：

四、习题

1．计算：

（1）x12÷x4；

（2）（-y）3÷（-y）2；（3）-（k6÷k6）；

（4）（-r）5÷r4；（5）m÷m0；（6）（mn）5÷（mn）．

解：

（1）x12÷x4=x12-4=x8；

（2）（-y）3÷（-y）2=（-y）3-2=-y；

（3）-（k6÷k6）=-k6-6=-1；

（4）（-r）5÷r4=-r5÷r4=-r5-4=-r；

（5）m÷m0=m；

（6）（mn）5÷（mn）=（mn）5-1=（mn）4=m4n4．

五、拓展

同底数幂的除法注明的三个条件：

（1）底数a≠0，否则除数为零，除式没有意义；

（2）指数m，n都是正整数，由于目前指数的范围只限于正整数，而且在推导法则时，用到了m和n都是正整数的条件；

（3）m＞n是保证am-n是正整数指数幂.

六、小结

通过本节课的内容，你有哪些收获？

同底数幂的除法法则:

同底数幂相除，底数不变，指数相减.

即

am-n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）

零指数幂的法则：

规定：

任何不等于零的数的零次幂都等于1.

负整数指数幂的意义：

（a≠0，p是正整数）

任何不等于零的数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数.

零的负整数指数幂没有意义.

《整式的乘法》教案

教学目标

一、知识与技能

1．掌握单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则；

2．会进行整式的乘法运算；

二、过程与方法

1．经历探索整式的乘法运算法则的过程，发展推理能力和有条理地表达的能力；

2．课堂中教给学生“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的研讨式学习方法；

三、情感态度和价值观

1．通过研究探讨解决问题的方法，培养学生会作交流意识与探究精神；

2．通过引导学生主动探索法则的形成和应用过程，培养学生主动获取新知的能力；

教学重点

整式的乘法法则的导出；

教学难点

多种运算法则的综合运用；

教学方法

引导发现法、启发猜想、讲练结合法

课前准备

教师准备

课件、多媒体；

学生准备

练习本；

课时安排

3课时

教学过程

一、导入

京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画．如下图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有

m的空白．

（1）第一幅画的画面面积是多少平方米？

第二幅呢？

你是怎样做的？

第一幅画的画面面积是x·1.2x平方米

第二幅画的画面面积是

平方米

（2）若把图中的1.2x改为mx，其他不变，则两幅画的面积又该怎样表示呢？

第一幅画的画面面积是x·mx平方米

第二幅画的画面面积是

平方米

二、新课

想一想：

问题1：

对于以上求面积时，所遇到的是什么运算？

因为因式是单项式，所以它们相乘是单项式乘以单项式运算.

问题2：

什么是单项式？

表示数与字母的积的代数式叫做单项式.

对于上面的问题的结果：

第一幅画的画面面积是

米2，

第二幅画的画面面积是

米2.

这两个结果可以表达得更简单些吗？

说说你的理由？

根据乘法的交换律、结合律，幂的运算性质.

如何进行单项式乘单项式的运算？

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．

三、例题

例1、计算：

（1）

（2）-2a2b3·（-3a）；（3）7xy2z·（2xyz）2．

解：

（1）

；

（2）-2a2b3·（-3a）=[（-2）·（-3）]（a2a）·b3=6a3b3；

（3）7xy2z·（2xyz）2=7xy2z·4x2y2z2=28x3y4z3．

问题1：

ab·（abc+2x）和c2·（m+n-p）等于什么？

你是怎样计算的？

ab·（abc+2x）=ab·abc+ab·2x=a2b2c+2abx

c2·（m+n-p）=c2·m+c2·n-c2·p=mc2+nc2-pc2

引导学生发现两种不同的运算一方面是包含单项式与单项式乘法、再把所得的积相加，另一方面是单项式与多项式相乘，二者最终是统一的，从而发现单项式乘以多项式的方法。

单项式与多项式相乘时，分两个阶段：

①按分配律把单项式与多项式的乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；

②单项式的乘法运算.

单项式与多项式相乘的法则：

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

例2：

计算：

（1）2ab（5ab2+3a2b）；

（2）

；

（3）5m2n（2n+3m-n2）；（4）2（x+y2z+xy2z3）·xyz．

解：

（1）2ab（5ab2+3a2b）=2ab·5ab2+2ab·3a2b=10a2b3+6a3b2；

（2）

（3）5m2n（2n+3m-n2）=5m2n·2n+5m2n·3m+5m2n·（-n2）=10m2n2+15m3n-5m2n3；

（4）2（x+y2z+xy2z3）·xyz=（2x+2y2z+2xy2z3）·xyz=2x·xyz+2y2z·xyz+2xy2z3·xyz

=2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4．

解题时需要注意的问题：

单项式乘多项式的积仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。

单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号的确定，多项式中的每一项前面

的符号是性质符号，同号相乘得正，异号相乘得负，最后写成省略加号的代数和的形式。

单项式要乘以多项式的每一项，不要出现漏乘现象。

混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项.

图1-1是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得长方形（图1-2）的面积可以怎样表示？

小明的想法:

长方形的面积可以有4种表示方式：

（m+a）（n+b），n（m+a）+b（m+a），m（n+b）+a（n+b）和mn+mb+na+ba，从而，（m+a）（n+b）=n（m+a）+b（m+a）=m（n+b）+a（n+b）=mn+mb+na+ba．

你认为小明的想法对吗？

从中你受到了什么启发？

把（m+a）或（n+b）看成一个整体，利用乘法分配律，可以得到（m+a）（n+b）=（m+a）n+（m+a）b=mn+an+mb+ab，或（m+a）（n+b）=m（n+b）+a（n+b）=mn+mb+an+ab．

如何进行多项式与多项式相乘的运算？

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

例3计算：

（1）（1-x）（0.6-x）；

（2）（2x+y）（x-y）．

解：

（1）（1-x）（0.6-x）=1×0.6-1×x-x×0.6+x×x=0.6-1.6x+x2；

（2）（2x+y）（x-y）=2x·x-2x·y+y·x-y·y=2x2-2xy+xy-y2=2x2-xy-y2．

四、习题

1．计算：

（1）（m+2n）（m-2n）；

（2）（2n+5）（n-3）；

（3）（x+2y）2；（4）（ax+b）（cx+d）．

解：

（1）（m+2n）（m-2n）=m·m-m·2n+2n·m-2n·2n=m2-2mn+2mn-4n2=m2-4n2；

（2）（