命题及其关系充分条件与必要条件.docx
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命题及其关系充分条件与必要条件
命题及其关系、充分条件与必要条件
一、基础知识
1.命题的概念
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
3.充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件;
①A是B的充分不必要条件是指:
A⇒B且B
A;
②A的充分不必要条件是B是指:
B⇒A且A
B,在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误.
(2)如果q⇒p,则p是q的必要条件;
(3)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作p⇔q,则p是q的充要条件.
充要关系与集合的子集之间的关系
设A={x|p(x)},B={x|q(x)},
①若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
②若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
③若A=B,则p是q的充要条件.
二、常用结论
1.四种命题中的等价关系
原命题等价于逆否命题,否命题等价于逆命题,所以在命题不易证明时,往往找等价命题进行证明.
2.等价转化法判断充分条件、必要条件
p是q的充分不必要条件,等价于非q是非p的充分不必要条件.其他情况以此类推.
考点一 四种命题及其真假判断
[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题:
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题;
③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;
④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.
其中真命题是( )
A.①② B.②③
C.④D.①②③
[解析] ①原命题的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”,是真命题;③若m≤1,Δ=4-4m≥0,所以原命题是真命题,故其逆否命题也是真命题;④由A∩B=B,得B⊆A,所以原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题,故①②③正确.
[答案] D
[题组训练]
1.(2019·长春质监)命题“若x2<1,则-1 A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1 B.若-1 C.若x>1或x<-1,则x2>1 D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1 解析: 选D 命题的形式是“若p,则q”,由逆否命题的知识,可知其逆否命题是“若非q,则非p”的形式,所以“若x2<1,则-1 2.已知集合P= ,Q= ,记原命题: “x∈P,则x∈Q”,那么,在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( ) A.0B.1 C.2D.4 解析: 选C 因为P= = ,Q= , 所以PQ,所以原命题“x∈P,则x∈Q”为真命题, 则原命题的逆否命题为真命题. 原命题的逆命题“x∈Q,则x∈P”为假命题, 则原命题的否命题为假命题,所以真命题的个数为2. 考点二 充分、必要条件的判断 [典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a,b,c,d∈R,则“a+d=b+c”是“a,b,c,d依次成等差数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (2)(2018·天津高考)设x∈R,则“ < ”是“x3<1”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 (3)已知p: x+y≠-2,q: x,y不都是-1,则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 [解析] (1)定义法 当a=-1,b=0,c=3,d=4时,a+d=b+c,但此时a,b,c,d不成等差数列;而当a,b,c,d依次成等差数列时,由等差数列的性质知a+d=b+c.所以“a+d=b+c”是“a,b,c,d依次成等差数列”的必要不充分条件,故选B. (2)集合法 由 < ,得0<x<1,则0<x3<1,即“ < ”⇒“x3<1”; 由x3<1,得x<1, 当x≤0时, ≥ , 即“x3<1” “ < ”. 所以“ < ”是“x3<1”的充分而不必要条件. (3)等价转化法 因为p: x+y≠-2,q: x≠-1或y≠-1, 所以非p: x+y=-2,非q: x=-1且y=-1, 因为非q⇒非p但非p 非q,所以非q是非p的充分不必要条件,即p是q的充分不必要条件. [答案] (1)B (2)A (3)A [提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别,要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义. [题组训练] 1. 已知x∈R,则“x<1”是“x2<1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选B 若x2<1,则-1 2. (2018·南昌调研)已知m,n为两个非零向量,则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选B 设m,n的夹角为θ,若m,n的夹角为钝角,则 <θ<π,则cosθ<0,则m·n<0成立;当θ=π时,m·n=-|m|·|n|<0成立,但m,n的夹角不为钝角.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件. 3. “xy≠1”是“x≠1或y≠1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选A 设p: xy≠1,q: x≠1或y≠1, 则非p: xy=1,非q: x=1且y=1. 可知非q⇒非p,非p 非q,即非q是非p的充分不必要条件. 故p是q的充分不必要条件, 即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要条件. 考点三 根据充分、必要条件求参数的范围 [典例] 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围是________. [解析] 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, 所以P={x|-2≤x≤10}, 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P. 则 所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3]. [答案] [0,3] [变透练清] 1. 若本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 解: 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, 所以 解得 即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件. 2. 若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若非P是非S的必要不充分条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解: 由例题知P={x|-2≤x≤10}, ∵非P是非S的必要不充分条件, ∴S是P的必要不充分条件,∴P⇒S且S P. ∴[-2,10][1-m,1+m]. ∴ 或 ∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞). 1.已知命题p: “正数a的平方不等于0”,命题q: “若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的( ) A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题D.否定 解析: 选B 命题p: “正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题. 2.命题“若x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为( ) A.“若x=4,则x2+3x-4=0”为真命题 B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为真命题 C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为假命题 D.“若x=4,则x2+3x-4=0”为假命题 解析: 选C 根据逆否命题的定义可以排除A、D,因为x2+3x-4=0,所以x=-4或1,故原命题为假命题,即逆否命题为假命题. 3.原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假D.假,假,假 解析: 选B 当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|= ,所以原命题为真,故其逆否命题为真.取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,所以其逆命题为假,故其否命题也为假. 4.(2018·北京高考)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选B a,b,c,d是非零实数,若a<0,d<0,b>0,c>0,且ad=bc,则a,b,c,d不成等比数列(可以假设a=-2,d=-3,b=2,c=3).若a,b,c,d成等比数列,则由等比数列的性质可知ad=bc.所以“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要而不充分条件. 5.已知命题α: 如果x<3,那么x<5;命题β: 如果x≥3,那么x≥5;命题γ: 如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中,下列说法正确的是( ) ①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题; ②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题; ③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题. A.①③B.② C.②③D.①②③ 解析: 选A 本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换,否命题是把原命题的条件和结论都加以否定,逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误,③正确. 6.(2018·北京高考)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选C 由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2, 即a2+9b2-6a·b=9a2+b2+6a·b. 因为a,b均为单位向量,所以a2=b2=1, 所以a·b=0,能推出a⊥b. 由a⊥b得|a-3b|= ,|3a+b|= , 能推出|a-3b|=|3a+b|, 所以“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件. 7.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选C 设集合A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cosx≠cosy},则A的补集C={(x,y)|x=y},B的补集D={(x,y)|cosx=cosy},显然CD,所以BA.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件. 8.(2019·湘东五校联考)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A.m> B.0 C.m>0D.m>1 解析: 选C 若不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则Δ=(-1)2-4m<0,解得m> ,因此当不等式x2-x+m>0在R上恒成立时,必有m>0,但当m>0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m>0. 9.在△ABC中,“A=B”是“tanA=tanB”的________条件. 解析: 由A=B,得tanA=tanB,反之,若tanA=tanB,则A=B+kπ,k∈Z.∵0<A<π,0 答案: 充要 10.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是________. 解析: 若m=2,n=3,则2>-3,但22<32,所以原命题为假命题,则逆否命题也为假命题,若m=-3,n=-2,则(-3)2>(-2)2,但-3<2,所以逆命题是假命题,则否命题也是假命题.故假命题的个数为3. 答案: 3 11.已知p(x): x2+2x-m>0,若p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m的取值范围为________. 解析: 因为p (1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3. 又p (2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8. 故实数m的取值范围为[3,8). 答案: [3,8) 12.(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法: ①“若x+y= ,则sinx=cosy”的逆命题是假命题; ②“在△ABC中,sinB>sinC是B>C的充要条件”是真命题; ③“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件; ④命题“若x<-1,则x2-2x-3>0”的否命题为“若x≥-1,则x2-2x-3≤0”. 以上说法正确的是________(填序号). 解析: 对于①,“若x+y= ,则sinx=cosy”的逆命题是“若sinx=cosy,则x+y= ”,当x=0,y= 时,有sinx=cosy成立,但x+y= ,故逆命题为假命题,①正确;对于②,在△ABC中,由正弦定理得sinB>sinC⇔b>c⇔B>C,②正确;对于③,“a=±1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件,故③错误;对于④,根据否命题的定义知④正确. 答案: ①②④ 13.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. 解: (1)逆命题: 已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题. (2)否命题: 已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,则a2<4b,为真命题. (3)逆否命题: 已知a,b∈R,若a2<4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,为真命题. 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 一、基础知识 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词. ①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p且q”,记作p∧q; ②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,得到复合命题“p或q”,记作p∨q; ③对命题p的结论进行否定,得到复合命题“非p”,记作非p.❷ ❶“且”的数学含义是几个条件同时满足,“且”在集合中的解释为“交集”;“或”的数学含义是至少满足一个条件,“或”在集合中的解释为“并集”;“非”的含义是否定,“非p”只否定p的结论,“非”在集合中的解释为“补集”. ❷“命题的否定”与“否命题”的区别 (1)命题的否定只是否定命题的结论,而否命题既否定其条件,也否定其结论. (2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的,即一真一假,而否命题与原命题的真假无必然联系. (2)命题真值表: p q p∧q p∨q 非p 真 真 真 假 真 真 真 假 真 假 假 假 命题真假的判断口诀 p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p与非p→真假相反. 2.全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 3.全称命题与特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x,有p(x)成立 ∀x∈M,p(x) 特称命题 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 ∃x0∈M,p(x0) 4.全称命题与特称命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M,p(x) ∃x0∈M,非p(x0) ∃x0∈M,p(x0) ∀x∈M,非p(x) 二、常用结论 含逻辑联结词命题真假的等价关系 (1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假. (2)p∨q假⇔p,q均假⇔(非p)∧(非q)真. (3)p∧q真⇔p,q均真⇔(非p)∨(非q)假. (4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真. 考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假 [典例] (1)(2017·山东高考)已知命题p: ∀x>0,ln(x+1)>0;命题q: 若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.p∧非q C.非p∧qD.非p∧非q (2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p: ∃x0∈(0,+∞),x0+ >3;命题q: ∀x∈(2,+∞),x2>2x,则下列命题为真的是( ) A.p∧(非q)B.(非p)∧q C.p∧qD.(非p)∨q [解析] (1)当x>0时,x+1>1,因此ln(x+1)>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题.由复合命题的真假性,知B为真命题. (2)对于命题p,当x0=4时,x0+ = >3,故命题p为真命题;对于命题q,当x=4时,24=42=16,即∃x0∈(2,+∞),使得2x0=x 成立,故命题q为假命题,所以p∧(非q)为真命题,故选A. [答案] (1)B (2)A [题组训练] 1.(2019·惠州调研)已知命题p,q,则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选B 充分性: 若非p为假命题,则p为真命题,由于不知道q的真假性,所以推不出p∧q是真命题.必要性: p∧q是真命题,则p,q均为真命题,则非p为假命题.所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件. 2.已知命题p: “若x2-x>0,则x>1”;命题q: “若x,y∈R,x2+y2=0,则xy=0”.下列命题是真命题的是( ) A.p∨(非q)B.p∨q C.p∧qD.(非p)∧(非q) 解析: 选B 若x2-x>0,则x>1或x<0,故p是假命题;若x,y∈R,x2+y2=0,则x=0,y=0,xy=0,故q是真命题.则p∨q是真命题. 考点二 全称命题与特称命题 [典例] (1)命题∀x∈R,ex-x-1≥0的否定是( ) A.∀x∈R,ex-x-1≤0 B.∀x∈R,ex-x-1≥0 C.∃x0∈R,ex0-x0-1≤0 D.∃x0∈R,ex0-x0-1<0 (2)对命题∃x0>0,x >2x0,下列说法正确的是( ) A.真命题,其否定是∃x0≤0,x ≤2x0 B.假命题,其否定是∀x>0,x2≤2x C.真命题,其否定是∀x>0,x2≤2x D.真命题,其否定是∀x≤0,x2≤2x [解析] (1)改全称量词为存在量词,把不等式中的大于或等于改为小于.故选D. (2)已知命题是真命题,如32=9>8=23,其否定是∀x>0,x2≤2x.故选C. [答案] (1)D (2)C [题组训练] 1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x2”的否定形式是( ) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2 C.∃x0∈R,∃n∈N*,使得n>x D.∃x0∈R,∀n∈N*,使得n>x 解析: 选D ∀改写为∃,∃改写为∀,n≤x2的否定是n>x2,则该命题的否定形式为“∃x0∈R,∀n∈N*,使得n>x ”. 2.已知命题p: ∃n∈R,使得f(x)=nxn2+2n是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增;命题q: “∃x0∈R,x +2>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+2<3x”.则下列命题为真命题的是( ) A.p∧qB.(非p)∧q C.p∧(非q)D.(非p)∧(非q) 解析: 选C 当n=1时,f(x)=x3为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,故p是真命题,则非p是假命题;“∃x0∈R,x +2>3x0”的否定是“∀x∈R,x2+2≤3x”,故q是假命题,非q是真命题.所以p∧q,(非p)∧q,(非p)∧(非q)均为假命题,p∧(非q)为真命题,选C. 考点三 根据命题的真假求参数的取值范围 [典例] 已知p: 存在x0∈R,mx +1≤0,q: 任意x∈R,x2+mx+1>0.若p或q为假命题,求实数m的取值范围. [解] 依题意知p,q均为假命题, 当p是假命题时,则mx2+1>0恒成立,则有m≥0; 当q是真命题时,则Δ=m2-4<0,-2 因此由p,q均为假命题得 即m≥2. 所以实数m的取值范围为[2,+∞). [变透练清] 1. 若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”,其他条件不变,则实数m的取值范围为________. 解析: 依题意,当p是真命题时,有m<0; 当q是真命题时,有-2 由 可得-2 所以m的取值范围为(-2,0). 答案: (-2,0) 2. 若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假,p或q为真”,其他条件不变,则实数m的取值范围为________. 解析: 若p且q为假,p或q为真,则p,q一真一假. 当p真q假时 所以m≤-2; 当p假q真时 所以0≤m<2. 所以m的取值范围为(-∞,-2]∪[0,2). 答案: (-∞,-2]∪[0,2) 3. 若本例将条件q变为: 存在x0∈R,x +mx0+1<0,其他条件不变,则实数m的取值范围为________. 解析: 依题意,当q是真命题时,Δ=m2-4>0, 所以m>2或m<-2.由 得0≤m≤2, 所以m的取值范围为[0,2]. 答案: [0,2] 1.(2019·西安摸底)命题“∀x>0, >0”的否定是( ) A.∃x0≥0, ≤0 B.∃x0>0,0≤x0≤1 C.∀x>0, ≤0D.∀x<0,0≤x≤1 解析: 选B ∵ >0,∴x<0或x>1,∴ >0的否定是0≤x≤1, ∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”. 2.下列命题中,假命题的是( ) A.∀x∈R,21-x>0 B.∃a0∈R,y=xa0的图象关于y轴对称 C.函数y=xa的图象经过第四象限 D.直线x+y+1=0与圆x2+y2= 相切 解析: 选C 对于A,由指数函数的性质可知为真命题;对于B,当a=2时,其图象关于y轴对称;对于C,当x>0时,y>0恒成立,从而图象不过第四象限,故为假命题;对于D,因为圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离等于 ,等于圆的半径,命题成立. 3.(2019·陕西质检)已知命题p: 对任意的x∈R,总有2x>0;q: “x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧qB.(非p)∧(非q) C.(非p)∧qD.p∧(非q) 解析: 选D 由指数函数的性质知命题p为真命题.易知x>1是x>2的必要不充分条件,所以命题q为假命题.由复合命题真值表可知p∧(非q)为真命题. 4.(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( ) A.“a>
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