湘教版八年级数学下册解题技巧专题利用一次函数解决实际问题1.docx

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湘教版八年级数学下册解题技巧专题利用一次函数解决实际问题1

解题技巧专题：

利用一次函数解决实际问题

——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义

类型一　费用类问题

一、建立一次函数模型解决问题

1．（2016·攀枝花中考）某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价；

（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数解析式；

（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？

二、分段函数问题

2．（2016·荆州中考）为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．

（1）求y与x的函数解析式；

（2）若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．

三、两个一次函数图象结合的问题

3．随着互联网的发展，互联网消费逐渐深入人们生活，如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系图象，下列说法：

①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元；②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费1.2元；③A点的坐标为（6.5，10.4）；④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用3.4元．其中正确的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

四、分类讨论思想

4．（2017·天门中考）江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙（单位：

元）与原价x（单位：

元）之间的函数关系如图所示：

（1）直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；

（2）“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？

类型二　路程类问题

一、两个一次函数图象结合的问题

5．（2017·青岛中考）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中l1，l2表示两人离A地的距离s（km）与时间t（h）的关系，请结合图象解答下列问题：

（1）表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________（填l1或l2）；甲的速度是________km/h，乙的速度是________km/h；

（2）甲出发多长时间两人恰好相距5km?

二、分段函数问题

6．（2016·新疆中考）暑假期间，小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游，他们离家的距离y（km）与汽车行驶的时间x（h）之间的函数图象如图所示．

（1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？

（2）求线段AB对应的函数解析式；

（3）小刚一家出发2.5h后离目的地有多远？

类型三　工程类问题

一、两个一次函数图象结合的问题

7．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：

①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x＝2或6时，甲、乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有________（填序号）．

二、分段函数问题

8．（2016·绍兴中考）根据卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：

00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：

30全部排完．游泳池内的水量Q（m3）和开始排水后的时间t（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）暂停排水需要多少时间？

排水孔的排水速度是多少？

（2）当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数解析式．

参考答案与解析

1．解：

（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场价为n元．由题意得

解得

答：

每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元．

（2）当0≤x≤14时，y＝2x；当x＞14时，y＝14×2＋（x－14）×3.5＝3.5x－21.综上所述，y＝

（3）∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70（元）．

答：

小明家5月份应交水费70元．

2．解：

（1）当0≤x≤20时，设y与x的函数解析式为y＝ax，把（20，160）代入y＝ax中，得a＝8.即y与x的函数解析式为y＝8x；当x>20时，设y与x的函数解析式为y＝kx＋b，把（20，160），（40，288）代入y＝kx＋b中，得

解得

即y与x的函数解析式为y＝6.4x＋32.综上所述，y与x的函数解析式为y＝

（2）∵B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，∴

∴22.5≤x≤35.设总费用为W元，则W＝6.4x＋32＋7（45－x）＝－0.6x＋347.∵k＝－0.6<0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝35，45－x＝10时，总费用最低，即购买B种树苗35棵，A种树苗10棵时，总费用最低，W最低＝－0.6×35＋347＝326（元）．

3．D

4．解：

（1）设y甲＝kx，把（2000，1600）代入，得2000k＝1600，解得k＝0.8，所以y甲＝0.8x.当0＜x＜2000时，设y乙＝ax，把（2000，2000）代入，得2000k＝2000，解得k＝1，所以y乙＝x.当x≥2000时，设y乙＝mx＋n，把（2000，2000），（4000，3400）代入，得

解得

所以y乙＝

（2）当0＜x＜2000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；当x≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x＜0.7x＋600，解得x＜6000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x＋600，解得x＞6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x＝0.7x＋600，解得x＝6000；故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．

5．解：

（1）l2　30　20　解析：

由题意可知，乙的函数图象是l2，甲的速度是

＝30（km/h），乙的速度是

＝20（km/h）．故答案为l2，30，20.

（2）设甲出发xh两人恰好相距5km.由题意30x＋20（x－0.5）＋5＝60或30x＋20（x－0.5）－5＝60，解得x＝1.3或1.5.

答：

甲出发1.3h或1.5h两人恰好相距5km.

6．解：

（1）从小刚家到该景区乘车一共用了4h.

（2）设线段AB对应的函数解析式为y＝kx＋b.把点A（1，80），B（3，320）代入得

解得

∴y＝120x－40（1≤x≤3）．

（3）当x＝2.5时，y＝120×2.5－40＝260，380－260＝120（km）．故小刚一家出发2.5h后离目的地120km.

7．①②④

8．解：

（1）暂停排水需要的时间为2－1.5＝0.5（h）．∵排水时间为3.5－0.5＝3（h），一共排水900m3，∴排水孔的排水速度是900÷3＝300（m3/h）．

（2）当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数解析式为Q＝kt＋b，易知图象过点（3.5，0）．∵当t＝1.5时，排水300×1.5＝450（m3），此时Q＝900－450＝450，∴点（2，450）在直线Q＝kt＋b上．把（2，450），（3.5，0）代入Q＝kt＋b，得

解得

∴Q关于t的函数解析式为Q＝－300t＋1050.

考点综合专题：

一元二次方程与其他知识的综合

类型一　一元二次方程与三角形、四边形的综合

1．（雅安中考）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）

A．5B．7C．5或7D．10

2．（广安中考）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）

A．12B．9

C．13D．12或9

3．（罗田县期中）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）

A．16B．12C．16或12D．24

4．（烟台中考）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）

A．9B．10

C．9或10D．8或10

5．（齐齐哈尔中考）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是．

6．（西宁中考）若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为．【方法8】

7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋（2k－1）x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】

类型二　一元二次方程与函数的综合

8．（泸州中考）若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）

9．（安顺中考）若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝（m＋1）x＋m－1的图象不经过（）

A．第四象限B．第三象限

C．第二象限D．第一象限

10．（葫芦岛中考）已知k、b是一元二次方程（2x＋1）（3x－1）＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

11．（广元中考）从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝（5－m2）x和关于x的一元二次方程（m＋1）x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．

12．（甘孜州中考）若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝

（k≠0）的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．　　　　　　　.

类型三　一元二次方程与二次根式的综合

13．（达州中考）方程（m－2）x2－

x＋

＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）

A．m＞

B．m≤

且m≠2

C．m≥3D．m≤3且m≠2

14．（包头中考）已知关于x的一元二次方程x2＋

x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．

考点综合专题：

一元二次方程与其他知识的综合

1．B　2.A　3.A　4.B　5.8

6．16　解析：

设矩形的长和宽分别为x、y，根据题意得x＋y＝8，所以矩形的周长为2（x＋y）＝16.

7．解：

∵一元二次方程x2＋（2k－1）x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴（2k－1）2－4（k2＋3）>0，即－4k－11>0，∴k<－

，令其两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝1－2k，x1·x2＝k2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x

＋x

＝52，∴（x1＋x2）2－2x1·x2＝25，∴（1－2k）2－2（k2＋3）＝25，∴k2－2k－15＝0，∴k1＝5，k2＝－3，∵k<－

，∴k＝－3,∴把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.

8．B

9．D　解析：

∵一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×（－m）＝4＋4m＜0，∴m＜－1，∴m＋1＜1－1，即m＋1＜0，m－1＜－1－1，即m－1＜－2，∴一次函数y＝（m＋1）x＋m－1的图象不经过第一象限．故选D.

10．B　11.－2　12.k>－

且k≠0

13．B　14.k≥1