高中数学解三角形基本知能检测 新人教B版必修5.docx
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高中数学解三角形基本知能检测新人教B版必修5
2017春高中数学第1章解三角形基本知能检测新人教B版必修5
(时间:
120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.一个三角形的内角分别为45°与30°,如果45°角所对的边长是4,则30°角所对的边长为( C )
A.2 B.3
C.2 D.3
[解析] 设所求边长为x,由正弦定理,得
=,∴x=2,故选C.
2.在△ABC中,已知a=4,b=6,∠C=120°,则sinA的值是( A )
A.B.
C.D.
[解析] 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=16+36-2×4×6×cos120°=16+36+24=76,∴c=2.
由正弦定理,得=,
∴sinA===.
3.在△ABC中,∠A=60°,a=,b=4.满足条件的△ABC( A )
A.无解B.有一解
C.有两解D.不能确定
[解析] 4×sin60°=2=,∵<,即a 4.在△ABC中,a+b+10c=2(sinA+sinB+10sinC),∠A=60°,则a等于( A ) A.B.2 C.4D.不确定 [解析] 由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.∴△ABC的外接圆的半径为1,∴=2R=2.∴a=2sinA=. 5.若==,则△ABC的形状为( B ) A.等腰三角形B.等边三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形 [解析] 解法一: 由正弦定理,得== 即tanA=tanB=tanC, ∵A、B、C∈(0,π),∴A=B=C, ∴△ABC为等边三角形. 解法二: 由余弦定理,得cosA=, cosB=,cosC=, 又∵==, ∴==, ∴==, ∴b2+c2-a2=a2+c2-b2=a2+b2-c2, ∴a=b=c,故选B. 6.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,asinAsinB+bcos2A=a,则=( D ) A.2B.2 C.D. [解析] ∵asinAsinB+bcos2A=a, ∴sin2AsinB+sinBcos2A=sinA, ∴sinB=sinA,∴b=a,∴=. 7.在△ABC中,∠A=60°,b=1,△ABC的面积为,则为( B ) A.B. C.D.2 [解析] 由bcsinA=得c=4. 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=13,故a=. 所以==,故选B. 8.在△ABC中,∠A=,BC=3,则△ABC的周长为( D ) A.4sin(∠B+)+3B.4sin(∠B+)+3 C.6sin(∠B+)+3D.6sin(∠B+)+3 [解析] 令AC=b,BC=a,AB=c, 则a+b+c=3+b+c=3+2R(sinB+sinC) =3+ =3+ =3+6sin(∠B+). 9.如图,一栋建筑物AB的高为(30-10)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B、M、D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为( B ) A.30mB.60m C.30mD.40m [解析] 如图所示, 设AE⊥CD,垂足为E,则在△AMC中, AM==20,∠AMC=105°,∠C=30°, ∴AC==60+20,∴CE=30+10. ∴CD=CE+ED=CE+AB=30+10+30-10=60,故选B. 10.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=( A ) A.30°B.60° C.120°D.150° [解析] 由sinC=2sinB及正弦定理,得c=2b, ∴a2-b2=bc=6b2,即a2=7b2. 由余弦定理,得cosA== ==, 又∵0° 11.在△ABC中,若b=2,A=120°,三角形的面积S=,则三角形外接圆的半径为( B ) A.B.2 C.2D.4 [解析] 在△ABC中,∵b=2,A=120°,三角形的面积S==bc·sinA=c·,∴c=2=b,故B=(180°-A)=30°.再由正弦定理,得=2R==4,∴三角形外接圆的半径R=2.故选B. 12.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,若cosA+sinA-=0,则的值是( C ) A.1B. C.D.2 [解析] 将cosA+sinA-=0,整理得(cosA+sinA)(cosB+sinB)=2,即cosAcosB+sinBcosA+sinAcosB+sinAsinB=cos(A-B)+sin(A+B)=2,∴cos(A-B)=1,sin(A+B)=1,∴A-B=0,A+B=, 即A=B=,C=.利用===2R,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,则====.(R为△ABC的外接圆半径) 二、填空题(本大题共4个小题,每个小题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上) 13.等腰三角形的底边长为6,腰长为12,其外接圆的半径为. [解析] 设△ABC中,AB=AC=12,BC=6,由余弦定理cosA===. ∵A∈(0,π),∴sinA=, ∴外接圆半径r==. 14.三角形的三边长为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为. [解析] 设三边长分别为k-1,k,k+1(k≥2,k∈N+), 则,∴2 故三边比分别为2、3、4, 则最小角的余弦值为=. 15.已知△ABC中,AC=4,BC=2,∠BAC=60°,AD⊥BC于D,则的值为6. [解析] 在△ABC中,AC=4,BC=2,∠BAC=60°,由余弦定理得cos60°==,解得AB=6(负值舍去).因为Rt△ABD与Rt△ACD有公共边AD,所以62-BD2=42-(2-BD)2,解得BD=,所以CD=,所以CD=.故=6. 16.某人在高出海面600m的山上P处,测得海面上的航标A在正东,俯角为30°,航标B在南偏东60°,俯角为45°,则这两个航标间的距离为600m. [解析] 如图所示 由题意可知,PC=600,∠PCB=90°,∠BPC=45°, ∴BC=600. 又∠PAC=30°,∠PCA=90°,∴AC=600. 在△ACB中,∠ACB=30°,由余弦定理, 得AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos30° =6002+(600)2-2×600×600× =6002,∴AB=600. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)在△ABC中,已知A=45°,cosB=. (1)求cosC的值; (2)若BC=10,D为AB的中点,求CD的长. [解析] (1)∵A=45°,∴cosA=,sinA=. 又∵cosB=,∴sinB=. ∴cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB =-×+×=-. (2)由 (1)知cosC=-,∴sinC=, 由正弦定理,得=,∴AB==14. ∴BD=7. 在△BCD中,由余弦定理,得 CD2=BC2+BD2-2BC·BDcosB =100+49-2×10×7×=37, ∴CD=. 18.(本题满分12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c. (1)若sin(A+)=2cosA,求A的值; (2)若cosA=,b=3c,求sinC的值. [解析] (1)由题设知sinAcos+cosAsin=2cosA.从而sinA=cosA,所以cosA≠0,tanA=.因为0 (2)由cosA=,b=3c及a2=b2+c2-2bccosA, 得a2=b2-c2, 故△ABC是直角三角形,且B=.所以sinC=cosA=. 19.(本题满分12分)在△ABC中,角A、B、C对应的边分别是a、b、c,已知cos2A-3cos(B+C)=1. (1)求角A的大小; (2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值. [解析] (1)由cos2A-3cos(B+C)=1, 得2cos2A+3cosA-2=0,即(2cosA-1)(cosA+2)=0, 解得cosA=或cosA=-2(舍去).
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