线性代数课后答案工程数学第五版同济大学数学系编版次第十九次印刷.docx
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线性代数课后答案工程数学第五版同济大学数学系编版次第十九次印刷
第一章行列式
1利用对角线法则计算下列三阶行列式
201
(1)14183
201解14183
2(4)30
(1)
(1)1180132
(1)81(4)
(1)2481644
abc
(2)bcacab
abc解bcacab
acbbaccbabbbaaaccc
3abca3b3c3
111(3)abca2b2c2
111解abca2b2c2
bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(ab)(bc)(ca)
xyxy(4)yxyx
xyxy
xyxy解yxyx
xyxy
x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3
3xy(xy)y33x2yx3y3x3
2(x3y3)
2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数
(1)1234
解逆序数为0
(2)4132
解逆序数为441434232
(3)3421
解逆序数为532314241,21
(4)2413
解逆序数为3214143
(5)13(2n1)24(2n)
n(n1)解逆序数为2
32(1个)
5254(2个)
727476(3个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2n2)(n1个)
(6)13(2n1)(2n)(2n2)2
解逆序数为n(n1)
32(1个)
5254(2个)
(2n1)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2n2)(n1个)42(1个)
6264(2个)
(2n)2(2n)4(2n)6(2n)(2n2)(n1个)
3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项
解含因子a11a23的项的一般形式为
(1)ta11a23a3ra4s
其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是
(1)ta11a23a32a44
(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44
(1)ta11a23a34a42
(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42
4计算下列各行列式
41
(1)012512021420741解1252024c2c342101232021041102122
(1)43140117c47c30010314
4110c2c39910
123142c0020
12c31714
2
(2)311141
522
031
62
2
240
解311211c4c322311402r4r22521
06221522
03603114
22212
132
40
r4r12311142
022
0300
00
(3)bdabacae
bfcfcddeef解bdab
bfac
cfcdae
deefadfbb
bc
cce
ee
1111
11114abcdef
a1(4)001b1001c1001d
a1解001b1001c10r1ar201ab01b101d00a1c1001d
aba0c3dc2abaad
(1)
(1)211c11c1cd01d010
6证明:
abadabcdabcdad1
(1)
(1)3211cd
a2abb2
(1)2aab2b(ab)3;111
证明
a2abb2c2c1a2aba2b2a2
2aab2b2aba2b2a00111c3c11
222ababaaba(ab)3(ba)(ba)1
(1)2ba2b2a31
axbyaybzazbxxyz
(2)aybzazbxaxby(a3b3)yzx;
azbxaxbyaybzzxy
证明
axbyaybzazbxaybzazbxaxby
azbxaxbyaybz
xaybzazbxyaybzazbxayazbxaxbybzazbxaxbyzaxbyaybzxaxbyaybzxaybzzyzazbxa2yazbxxb2zxaxby
zaxbyyxyaybz
xyzyzxa3yzxb3zxy
zxyxyz
xyzxyza3yzxb3yzx
zxyzxy
xyz(a3b3)yzx
zxy
a2
2b(3)2c
d2
证明(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)20;(c3)2(d3)2
a2
2b2c
d2(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)2(cccccc得)(c3)2433221(d3)2
a2
2bc2
d22a12b12c12d12a32b32c32d32a52b5(cccc得)2c54332
2d5
a2
2bc2
d2
1a(4)a2
a41bb2b42a12b12c12d11cc2c41dd2d4222222022
(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);
证明
1aa2
a41bb2b41cc2c41dd2d4
1110bacada0b(ba)c(ca)d(da)
0b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)
111cd(ba)(ca)(da)b222(ba)c(ca)d(da)
11cbdb(ba)(ca)(da)00c(cb)(cba)d(db)(dba)
1(ba)(ca)(da)(cb)(db)(c1ba)d(dba)
=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
x0(5)0an
1x0an1010an20000xna1xn1an1xanx1a2xa1
证明用数学归纳法证明
x1x2axa命题成立当n2时D2a122xa1
假设对于(n1)阶行列式命题成立即Dn1xn1a1xn2an2xan1则Dn按第一列展开有
1
DnxDn1an
(1)n1x101100x001xDn1anxna1xn1an1xan因此对于n阶行列式命题成立
7设n阶行列式Ddet(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得
an1anna1nannanna1nD1D2D3a11a1na11an1an1a11
证明D1D2
(1)n(n1)
2DD3D
证明因为Ddet(aij)所以
a11an1annD1
(1)n1an1a11a1na21a1nanna2n
a11a21
(1)n1
(1)n2an1
a31a1na2nanna3n
n(n1)
2
(1)12(n2)(n1)D
(1)
同理可证
D2
(1)
D3
(1)
n(n1)112Daan1n(n1)n(n1)T
(1)2D
(1)2Da1nannn(n1)2n(n1)2D2
(1)
(1)n(n1)
2D
(1)n(n1)DD
8计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)
a
(1)Dn
都是0
解11a,其中对角线上元素都是a未写出的元素
a0
Dn0010a00000a00
00a0000a0000a100(按第n行展开)0a1a0
(1)2na0a(n1)(n1)0(n1)(n1)0an1
(1)00
0000
a
n1n
(1)
(1)a(n2)(n2)ananan2an2(a21)
x
(2)Dnaaaxaaa;x
a000xa解将第一行乘
(1)分别加到其余各行得xaaaxxa0Dnax0xaax00
再将各列都加到第一列上得
x(n1)aaa0xa0Dn00xa000a0n10[x(n1)a](xa)0xaan(a1)n
an1(a1)n1
(3)Dn1aa1
11(an)n(an)n1;an1
解根据第6题结果有
11a1n(n1)aDn1
(1)an1(a1)n1
an(a1)n1ann1(an)(an)n
此行列式为范德蒙德行列式
Dn1
(1)
(1)
(1)
an
n(n1)n1ij1n(n1)2[(ai1)(aj1)]n1ij1n(n1)2[(ij)]n(n1)12
(1)n1ij1(ij)n1ij1(ij)bn(4)D2ncna1b1c1d1;dn
解
an
bnD2ncna1b1c1d1(按第1行展开)dnan1
ana1b1c1d1
bn10cn10
dn100dn
0an1
(1)2n1bn
cn1
cna1b1c1d1bn1dn10
再按最后一行展开得递推公式
D2nandnD2n2bncnD2n2即D2n(andnbncn)D2n2于是D2n(aidibici)D2
i2n
而D2a1b1a1d1b1c1c1d1
n
i1所以D2n(aidibici)
(5)Ddet(aij)其中aij|ij|;
解aij|ij|
01
Dndet(aij)23n1
1r1r2111r2r3n1123012101210n2n3n411111111n3n411110n1n2n3n401111n2
1c2c11
11c3c1
n10002002202222n32n42n50000n
(1)n1(n1)2n2
a11
(6)Dn11a2
11解
a11
Dn11a2
11
1
1,其中aaa0
12n
1an
111an
a1
c1c2a2
0
c2c3
0
00a2a30000a300000an10
010101an11an1an
11
a1a2an0
00011000010000010
0a11
1
0a2
1
0a3
1
1an1
1
11an
100
a1a2an
00100001000000001
a111a21a31an1
ni1
000001ai1
(a1a2an)(11)
i1ai
10用克莱姆法则解下列方程组x1x2x3x45x2x2x34x42
(1)1
2x13x2x35x423xx2x11x01234
n
解因为1
D12
3
1231
1112
1
4142511
52D120D32
3所以x1
1231111214142D252
1135
22011121
4284511
12315220114426D1
425
1131
23111125
214220
DDDD
1x22x33x41
DDDD
15x16x20x15x26x3
(2)x25x36x40x35x46x50x45x51
解因为
51D00065100065100065100066565
0D10051D3000651006510006510100010065100651050101507D20605005010703D40605010001651000651006510006511000100011456500039565
5D500065100065100065110021201
所以
x11507x21145x3703x4395x4212665665665665665
x1x2x3011问取何值时齐次线性方程组x1x2x30有非x12x2x30
零解?
解系数行列式为
1D112令D0得
0或1
于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解
(1)x12x24x3012问取何值时齐次线性方程组2x1(3)x2x30x1x2
(1)x30
有非零解?
解系数行列式为
2434D231211111101
(1)3(3)4
(1)2
(1)(3)
(1)32
(1)23
令D0得
02或3
于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解
第二章矩阵及其运算
1计算下列乘积
4317
(1)12325701
431747321135解123217
(2)2316570157720149
3
(2)(123)21
3解(123)2(132231)(10)1
2(3)1(12)3
2
(1)2222解1(12)1
(1)12133
(1)323
102140(4)1113443130121
2426
102140解111344313012678120562
a11a12a13x1(5)(x1x2x3)a12a22a23x2aaa132333x3
解
a11a12a13x1
(x1x2x3)a12a22a23x2
aaa132333x3
x1
(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a23x2a33x3)x2
a11x12a22x22a33x32
2a12x1x22a13x1x32a23x2x3
2设A111123111B124
求3AB1112A及ATB
051解3AB2A3111111123111
1110152412111
111300558621111112213172220
290111
4292AT
B111111123058
111015241056
290
3已知两个线性变换
x12y21yy3zx3
y1213y22y3
x34y1y25y3y1zz2
22z133zy3z23
求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换
解由已知
x3
x1201y120131x2232y223220x415y4150123
613z11249z210116z3
x16z1z23z3所以有x212z14z29z3x310z1z216z30z11z23z3
14设A1
(1)ABBA吗?
解ABBA2B10问123
3因为AB44BA12所以ABBA386
(2)(AB)2A22ABB2吗?
解(AB)2A22ABB2
2因为AB225
22252814142952(AB)22
3868101016但A22ABB2411812341527
所以(AB)2A22ABB2
(3)(AB)(AB)A2B2吗?
解(AB)(AB)A2B2
2因为AB22AB005
200521692(AB)(AB)22001
38102而A2B2411341
故(AB)(AB)A2B287
5举反列说明下列命题是错误的
(1)若A20则A0
0解取A0
1解取A0
解取1则A20但A001则A2A但A0且AE0
(2)若A2A则A0或AE(3)若AXAY且A0则XY
1A00X11Y1110011
则AXAY且A0但XY
10求A2A3Ak6设A1
101010解A21121
101010A3A2A21131
10Akk1
107设A01求Ak00
解首先观察
1010221A201010220000002
3323A3A2A0332003
44362A4A3A0443004
554103A5A4A0554005
kkk1k(k1)k22kA0kkk100k
用数学归纳法证明
当k2时显然成立
假设k时成立,则k1时,
kkk1k(k1)k2102Ak1AkA0kkk1010000k
k1(k1)k1(k1)kk120k1(k1)k1k100
由数学归纳法原理知
kkk1k(k1)k22Ak0kkk100k
8设AB为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵
证明因为ATA所以
(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB
从而BTAB是对称矩阵
9设AB都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA
证明充分性因为ATABTB且ABBA所以
(AB)T(BA)TATBTAB
即AB是对称矩阵
必要性因为ATABTB且(AB)TAB所以
AB(AB)TBTATBA
10求下列矩阵的逆矩阵
1
(1)225
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