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不动点理论及其应用
不动点理论及其应用
主要内容:
不动点理论一压缩映像原理
不动点理论在微分方程中的应用
不动点理论在中学数学中的应用目录:
一、弓丨言
二、压缩映像原理
三、在微分方程中的应用
四、在中学数学中的应用
五、其它
一、引言
取一张照片,按比例缩小,然后把小照片随手放在大照片上,
那么大小两张照片在同一个部位,一定有一个点是重合的这个重合点就是一个不动点
函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点
即函数f(x)在取值过程中,如果有一个点X。
使f(X0)Xo,则Xo就是
一个不动点。
二、压缩映像原理
定理:
(Banach不动点定理一压缩映像原理)
设(X,)是一个完备的距离空间,T是(X,)到其自身的一个压缩映射,则T在X上存在唯一的不动点
这里有三个概念:
距离空间,完备的距离空间,压缩映射
距离空间又称为度量空间
定义:
(距离空间)设X是一个非空集合。
X称为距离空间,是指在X上定义了一个双变量的实值函数(x,y),满足下面三个条
件:
(1)。
(x,y)0,而且(x,y)0,当且仅当xy;
(2)。
(x,y)
(y,x);
(3)。
(x,z)
(x,y)(y,z),(x,y,zX)。
这里
叫做
X上的一个距离,以为距离的距离空间X
记作(X,)
定义:
(完备的距离空间)距离空间(X,)中的所有基本列都是收敛列,则称该空间是完备的。
定义:
(压缩映射)称映射T:
(X,)(X,)是一个压缩映射,如果存在0a1,使得(Tx,Ty)a(x,y)(x,yX)成立。
三、在微分方程中的应用
定理:
(存在和唯一性)考虑如下初值问题
dyf(x,y),
dx
y(xo)yo.
假设f(x,y)在矩形区域
R:
|xxo|a,|yy°|b
内连续,而且对y满足Lipschitz条件,则上述问题在区间
I[X。
h,X。
h]上有且仅有一个解,其中
hmin2,寻},M(mya>R|f(x,y)|.
(1)。
传统的证明方法
通常,我们分成四步来证明:
a.转换成等价的积分方程
xyyoxf(t,y)dt
xo
b.构造皮卡迭代序列
c.证明皮卡迭代序列一致收敛,而且极限函数是解
d.证明解唯一
(2)。
压缩映像原理证明
根据上面的理论,先定义XC[x。
h,X。
h]C(l)
然后,给一个度量(x,y)max|x(t)y(t)|
由积分方程yy0xf(t,y)dt,我们可以定义一个映射:
x0
x
(Ty)(x)y0xf(t,y(t))dt
x0
我们要证明两点:
a.任意xX,则TxX
b.检验映射T:
(X,)(X,)是一个压缩映射
tt
(Tx,Ty)mtaIx|f(,x()df(,y())d|
x0x0
2hmtaIx|f(t,x(t))f(t,y(t))|
注意函数f(x,y)对y满足Lipschitz条件:
|f(t,x1)f(t,x2)|L|x1x2|,
其中L是一个常数。
容易得到
tt
(Tx,Ty)mtaIx|f(,x()df(,y())d|
x0x0
2hmtaIx|f(t,x(t))f(t,y(t))|2hL(x,y)
因此,只要h取得适当小,使得2hL1,则映射
T:
(X,)(X,)是一个压缩映射,因此,有唯一的不动点y,使得
x
yy0xf(t,y)dt
x0
这样,存在与唯一性同时成立。
四、在中学数学中的应用
例1,假设定义在R上的奇函数f(x)的图像上存在有限个不动点,则不动点有奇数个。
证明:
函数f(x)为奇函数,所以f(x)f(x),xR
特别,取x0,贝Sf(0)0。
因此0是一个不动点。
如果c0是一个不动点,即f(c)c,那么f(c)f(c)c
说明c也是一个不动点,而且cc。
或者说,奇函数的非
零不动点是成对出现的,由题目条件,可知结论成立。
例2,给定函数f(x)心,a,b为常数。
xb
(1)。
如果函数f(x)有两个关于原点对称的不动点,求a,b应该满足的条件。
(2)。
在
(1)的条件下,取a8,yf(x)的图像上代A'两点的横坐标是函数f(x)的不动点,P为函数f(x)图像上的另外一点,而
且其纵坐标大于3,求点P到直线AA'距离的最小值,以及取得最小值时点P的坐标
解:
设X。
是函数f(x)图像上的不动点,则有
由题意知方程(*)有两个根,而且绝对值相等,符号相反
由此得bxo,f(x)3H
b3,a0,a
因此,a,b应该满足的条件是:
x4,y4
(4,4)O
五、其它
a.还有很多其它不动点定理
Brouwer不动点定理:
n维欧氏空间中的闭单位球有不动点性质,即
如果Sn表示这个球,f:
SnSn是任意连续函数,则存在一个点
X。
Sn,使得f(X°)X。
在经济均衡理论中的应用
例如,经典的Leontief模型。
假设每生产一个产品有N个生产者,p,i1,2,...,N
Xi表示生产者Pi的全部产品,Xj表示P生产的产品被Pj
N
消耗的全部总数。
定义YXiXj
ji
上式含义:
P的全部产品数与由生产者Pi,P2,...,Pn消耗的总数之差。
Yi称为商品i的“最后要求”。
闭合的Leontief模型假设Yo,i1,2,…,N。
aj虫称为“产品系数”。
jXi
如果3j是常数,那么(IA)XY,其中A(aj),
X(X1,…,Xn),Y",…,Yn)。
一般情况下,假设aj为正连续函数。
fj(x)称为“要求函数”:
表示当Pi的收益为x,而花费在由
Pj生产的产品Gj上的资本总数。
显然,fH(x)0。
现在,如果每个生产者由于买另外生产者的商品而花掉其收益,那
么有如下关系式
N
Xfj(X)
(1)
j
般的经济规律认为,生产者P的收益Xi按照这样的方式确
定,即由生产者卖出的每个产品的总额必等于由另外的生产者买进
产品的总值,用数学语言表示,有关系式
Nxjfij(x)
(2)
i
现在,假设函数fij是非线性连续函数,则可知存在点x(x1,...,xN)适合关系式
(2)。
定理:
假设函数fij都是正的连续函数,满足条件
(1),则存在点x(x1,...,xN)适合关系式
(2)。
Schauder不动点定理:
Banach空间中每个凸紧集,对于连续映射有不动点性质。
b.在偏微分方程的处理中有很多应用
c.引言中例子的证明
我们把大照片抽象成矩形K1(ABCD),小照片抽象成矩形
K2(A'B'C'D')。
而照片的叠放可以看成是从K1到K2K1的连续
映射(由伸缩和旋转的连续形变)。
假设那个不动点为O点,见下图。
要证明的结论可以转化为:
存在O点,使得OAB与OA'B'
相似。
证明:
延长A'b'交AB于点P,然后过A,A,P三点作圆Oi,过B,b',P作圆。
2,记圆Oi和作圆。
2的另一个交点为0。
因为点O,B',P,B在圆02上,所以OB'a'OBP。
(因为OB'A'B'OPB'POB'BPB'BOOBP)
又因为点O,A',A,P在圆Oi上,所以OA'POAP
因此,OAB与OA'b'相似。
这就说明,在O点上,大小照片中的“景物”是相同的。
思考题:
A是定义在[2,4]上而且满足如下条件的函数(x)组成的
集合:
(1),对任意的x[2,4],都有(x)(1,2);
(2),存在常数L(0L1),使得对任意Xi,X2[1,2],都有
|(2xJ(2X2)|L|X1X2I。
(I)。
设(x)3/厂X,x[2,4],证明:
(x)A。
(II)。
设(x)A,如果存在xo(1,2),使得xo(2xo),那么这样
的xo是唯一的
(III)。
设(x)A,任取Xi(1,2),令Xn1(2Xn),n1,2,…
证明:
给定正整数k,对任意正整数p,成立不等式
(2006年广东高考第20题)
参考文献
[1]张恭庆,林源渠,泛函分析讲义,北京大学出版社,2004年6
月。
[2]刘炳初,泛函分析,科学出版社,2005年1月。
[3]杜珣,现代数学引论,北京大学出版社,1998年7月
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- 不动 理论 及其 应用