第八章 静电场中的导体和电介质精.docx
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第八章静电场中的导体和电介质精
第八章静电场中的导体和电介质
一、基本要求
1.理解导体的静电平衡,能分析简单问题中导体静电平衡时的电荷分布、场强分布和电势分布的特点。
2.了解两种电介质极化的微观机制,了解各向同性电介质中的电位移和场强的关系,了解各向同性电介质中的高斯定理。
3.理解电容的概念,能计算简单几何形状电容器的电容。
4.了解电场能量、电场能量密度的概念。
二、本章要点
1.导体静电平衡
导体内部场强等于零,导体表面场强与表面垂直;导体是等势体,导体表面是等势面。
在静电平衡时,导体所带的电荷只能分布在导体的表面上,导体内没有净电荷。
2.电位移矢量
在均匀各向同性介质中
D=εE=ε0εrE
介质中的高斯定理D⋅ds=∑Qi自si
3.电容器的电容
C=
电容器的能量Q∆U
1Q2
W=2C
4.电场的能量
电场能量密度
w=
电场能量1E⋅D2
W=⎰VwdV
三、例题
8-1下列叙述正确的有(B)
(A)若闭合曲面内的电荷代数和为零,则曲面上任一点场强一定为零。
(B)若闭合曲面上任一点场强为零,则曲面内的电荷代数和一定为零。
103
(C)若闭合曲面内的点电荷的位置变化,则曲面上任一点的场强一定会改变。
(D)若闭合曲面上任一点的场强改变,则曲面内的点电荷的位置一定有改变。
(E)若闭合曲面内任一点场强不为零,则闭合曲面内一定有电荷。
i解:
选(B)。
由高斯定理E⋅ds=∑qi/ε0,由∑q=0⇒φ=0,但场强则
不一定为零,如上题。
(C)不一定,受静电屏蔽的导体内部电荷的变动不影响外部场强。
(D)曲面上场强由空间所有电荷产生,改变原因也可能在外部。
(E)只要通过闭曲面电通量为0,面内就可能无电荷。
8-2如图所示,一半径为R的导体薄球壳,带电量为-Q1,在球壳的正上方距球心O距离为3R的B点放置一点电荷,带电量为+Q2。
令∞处电势为零,则薄球壳上电荷-Q1在球心处产生的电势等于___________,+Q2在球心处产生的电势等
于__________,由叠加原理可得球心处的电势U0等于_____________;
球壳上最高点A处的电势为_______________。
解:
由电势叠加原理可得,球壳上电荷-Q1在O点的电势为
U1=-
点电荷Q2在球心的电势为Q14πε0R
U2=
所以,O点的总电势为Q2Q2=4πε0⋅3R12πε0R
U0=U1+U2=
由于整个导体球壳为等势体,则Q2-3Q112ε0R
UA=U0=Q2-3Q112ε0R
8-3两带电金属球,一个是半径为2R的中空球,一个是半径为R的实心球,两球心间距离r(>>R),因而可以认为两球所带电荷都是均匀分布的,空心球电势为U1,实心球电势为U2,则空心球所带电量Q1=___________,实心球所带电Q2=___________。
若用导线将它们连接起来,则空心球所带电量为______________,两球电势为______________。
解:
连接前,空心球电势U1=Q1,所以带电量为
4πε02R
104
Q1=8πε0RU1实心球电势U2=Q2
4πε0R,所以带电量为
Q2=4πε0RU2
连接后,两球电势相等,但总电量不变。
有
'=U2'=U'或U1Q1'8πε0R='Q2
4πε0R
Q'1+Q'2=Q1+Q2
联立解得
Q1'=8πε0R2U1+U2(2U1+U2)U'=33
8-4一不带电的导体壳,壳内有一个点电荷q0,壳外有点电荷q1和q2。
导体壳不接(A)q1与q2的电量改变后,壳内场强分布不变。
(B)q1与q2在壳外的位置改变后,壳内的场强分布不变。
(C)q0的电量改变后,壳外的场强分布不变。
(D)q0在壳内的位置改变后,壳外的场强分布不变。
8-5如图,半径为R的不带电的金属球内有两个球形空腔,在两个空腔中分别放点电荷q1和q2,在金属球外放一点电荷q3,它们所带电荷均为q。
若q1和q2到球心距离都是地,下列说法中正确的是(A、B、D);若导体壳接地,下列说法中正确的是(A、B、C、D)。
R/2,q3到球心距离r>>R,则q1受力为_______,q2受力为_________,q3受力约为________。
解:
q1、q2受力为0。
球为等势体,球外
表面感应电荷均匀分布,电场在球外也呈径向
对称分布。
由高斯定理球外场强为
E=
所以,q3受力约为q1+q24πε0r2
q3(q1+q2)2q2
F==224πε0r4πε0r
8-6半径分别为R1和R2(R1<R2)互相绝缘的两个同心导
体球壳,内球带电+Q。
取地球与无限远的电势均为零。
求
(1)外球的电荷和电势。
105
(2)将外球接地后再重新绝缘,此时外球的电荷和电势。
(3)再将内球接地,此时内球的电荷。
解:
(1)由于内球带电+Q,由静电平衡条件和高斯定理知,外球壳内表面带电-Q,外表面带电+Q。
因为外球壳外面的场强为
E=
所以,外球的电势为Q4πε0r2(r>R2)
U=⎰∞
R2∞E⋅dr=⎰Q4πε0r2R2dr=Q4πε0R2
(2)外球接地,内表面电量不变,外表面电量变为零,电势为零。
(3)将内球接地后,内球电势为零。
设内球电量变为q,则
U=q
4πε0R1-Q4πε0R2=0q=R1QR2
8-7在半径为R1的均匀带电Q的金属球外有一层相对介电常数为εr均匀电介质,外半径为R2,画出电势U~r关系曲线和场强E~r关系曲线(r是球心到场点之间的距离)。
解:
利用高斯定理
2D⋅ds=D⋅4πr=Q内自s
D=Q内自
4πr2由于D=εE,且
⎧0⎪Q内自=⎨Q
⎪Q⎩
所以,场强分布为r
⎧⎪0⎪Q⎪E=⎨2⎪4πε
0εrr
Q⎪⎪4πεr2
0⎩r
106
下面求电势分布:
r>R2时
U=⎰
∞r
∞E⋅dr=⎰
R
Q4πε0r2
dr=
Q4πε0r
R1 U=⎰= ∞ r R2E⋅dr=⎰ r Q4πε0εrrQ + 2 dr+⎰Q ∞ Q4πε0r 2 R2 dr Q4πε0εrr - 4πε0εrR24πε0R2 r≤R1时 U=⎰ ∞r R1R2E⋅dr=⎰0dr+⎰ r R1 Q4πε0εrrQ 2 dr+⎰Q ∞ Q4πε0r 2 R2 dr = Q4πε0εrR1 - 4πε0εrR2 + 4πε0R2 U~r曲线和E~r曲线如图所示: 8-8如图,一无限大均匀带电介质平板A,电荷面密度为σ1,将介质板移近导体B后,B导体外表面上靠近P点处的电荷面密度为σ2,P点是B导体表面外靠近导体的一点,则P点的电场强度大小为__________________。 解: 仅知P点附近电荷面密度,其它地方不知,不能用场强叠加方法。 做如图所示的高斯面,其底面面积s很小,可认为s面上各点场强相等。 由于导体表面是等势面,所以s面上各点场强垂直于导体表面。 P点在底面上,另一底面在导体内部,面上各点场强为零。 由高斯定理,得 EPs=σ2s/ε0EP=σ2/ε0 8-9 将一带电导体平板A和一电介质平面B平行放置,如图所示。 在真空中平衡后, 107 A两侧的面电荷密度分别为σ1和σ2,则B的面电荷密度σ3等于 ___________。 解: 在导体平板内任找一点P,则 σσσEP=E1-E2-E3=0=1-2-3=0 2ε02ε02ε0 所以 σ3=σ1-σ2 8-10半径为R、相对介电常数为εr均匀电介质球中心放一点电荷 Q,球外是真空,在距中心r>R的P点场强大小为__________。 解: 利用高斯定理容易求得P点场强E=Q 4πε0r2。 8-11平行板电容器中充满某种均匀电介质,电容器与一个电源相连,然后将介质取出,则电容器的电容量C、电量Q、电位移D、电场强度E、板间电压U与取出介质前相比,增大的有_______,减小的有__________,不变的有__________。 解: 介质取出前,有 E=UεUεsεsD=εE=C=Q=Udddd 介质取出后,有 E=εUεsεsUD=0C=0Q=0Udddd 所以,各量均无增大,减小的有C、Q、D,不变有E、U。 8-12一球形电容器由半径为R的导体球壳和与它同心的半径为4R的导体球壳所组成,R到2R为相对电容率为εr=2的电介质,2R到4R为真空。 若将电容器两极板接在电压为U的电源上,求 (1)电容器中场强的分布; (2)电容器的电容。 -Q,由高斯定理容易求得场强分布解: 不妨先设内外球壳电量分别为+Q、 Q⎧⎪⎪4πε0εrr2 E=⎨Q⎪2⎪⎩4πε0rR 电容器两极板之间的电压为 4R2R4RQQQ=U=⎰E⋅dr=⎰dr+dr⎰2R4πε0r2RR4πεεr28πε0R0r 所以 Q= 8πε0RU 108 (1)电容器中场强的分布 ⎧RU⎪2E=⎨r2RU⎪2⎩r (2)电容器的电容R Q=8πε0RUC= 8-13半径分别为R1和R2的同轴导体圆筒间充满相对 电容率为εr的均匀电介质。 现使圆筒带电,单位长度电荷 各为+λ1(内筒)和+λ2(外筒),如图所示。 (1)求两筒间的电压; (2)设轴线上电势为零,分别求P点和Q点的电势。 (P 和Q与轴分别相距rP和rQ) 解: (1)场强分布为 ⎧0⎪E=⎨λ1 ⎪⎩2πε0εrr 两筒间电压r U=⎰R2 R1R2E⋅dr=⎰R1λ1λ1dr=lnR2/R12πε0εrr2πε0εr UP=0 (2)设轴线上电势为零,则 UR1-UQ=⎰Edr=⎰R1rQrQR1λ1λ1dr=lnrQ/R12πε0εrr2πε0εr UQ=-λ1lnrQ/R12πε0εr 8-14将一空气平行板电容器与电源相连进行充电,使电容器储存能量W1。 若充电后断开电源,然后将相对介电常数为εr的电介质充满该电容器,电容器储存的能量变为W2,则比值W1/W2=______________;如果充电后不断开电源,则比值W1/W2=______________。 解: (1)若充电后断开电源,则Q不变。 因为 εS1Q2 W=C= d2C 109 所以 W1C2ε===εrW2C1ε0 (2)如果充电后不断开电源,则U不变。 因为所以 110W=12CU2W1C1εW==0=12C2εεr
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- 第八章 静电场中的导体和电介质精 第八 静电场 中的 导体 电介质