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概率论习题参考解答
概率论第4章习题参考解答
1.若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮,命中3炮的概率,至少命中3炮的概率,最可能命中几炮.
解:
设§为射击10炮命中的炮数,则§~万(10,0.7),命中3炮的概率为
P{^=3}=C^jxO.7'x0.3=0.0090
至少命中3炮的概率,为1减去命中不到3炮的概率,为
2
P{gn3}=1-<3}=1-xO.71x0.3叫'=0.9984
f-0
因血尸10X0.7+0.7=7.7不是整数,因此最可能命中[7.7]=7炮.
2.在一泄条件下生产某种产品的废品率为0.01,求生产10件产品中废品数不超过2个的槪率.
解:
设§为10件产品中的废品数,则^5(10,0.01),则废品数不超过2个的概率为
2
P{§S2}=£C;ox0.01‘x0.99g=0.9999
J-0
3.某车间有20部同型号机床,每部机床开动的概率为0.&若假左各机床是否开动彼此独立,每部机床开动时所消耗的电能为15个单位,求这个车间消耗电能不少于270个单位的槪率.
解:
设每时刻机床开动的数目为J则§~万(20,0.8),假设这个车间消耗的电能为4个单位,则4二15§,因此
270
P">270)=P{15纟>270}=P{g>—}=P{纟>18)=
1
20=工C;°x0・8『xO.220^=0.2061J-18
4.从一批废品率为0.1的产品中,重复抽取20个进行检査,求这20个产品中废品率不大于0.15的概率.
解:
设这20个产品中的废品数为则CM20,0.1),假设这20个产品中的废品率为“,则"二§/20.因此
右3
P{77<0.15}=P{—<0.15)=P{gS3}=工C;°x0・I’x0.9如二0・867
5.生产某种产品的废品率为0.1,抽取20件产品,初步检查已发现有2件废品,问这20件中,废品不少于3件的概率.
解:
设《为这20件产品中的废品数,则§~万(20,0.1),又通过检查已经知道《上不少于2件的条件,则要求的是条件槪率
因事件<>2)=>{^>3},因此{^>3r>^>2}=^>2
因此
20
P{§n3}
p忙n2}
工=
~20
工m
i-2
20
工P{g="—P<=2}
20
工m
f-2
P{f=2}
20
j-2
十严2}
1-£Pg}
J-0
C£oxO.12xO.918
=1—
1-0.92°-20x0.1x0.919
0.2852
=1
0.6083
=0.5312
6.抛掷4颗骰子,《为岀现1点的般子数目,求§的概率分布,分布函数,以及出现1点的骰子数目的最可能值.
解:
因掷一次骰子岀现一点的概率为1/6则rm1/6),因此有
伙=0,123,4),
P[^=k}=C^
x
x<0
0 x>4 § 0 1 2 3 4 P 0.4823 0.3858 0.1157 0.0154 0.0008 或者算出具体的值如下所示: 0x<0 0.48230 0.8681l F(x)= 0.98382 0.99923 1x>4 从分布表可以看出最可能值为0,或者亦尸(4/6)+1/6二5/6小于1且不为整数,因此最可能值为[5/6]二0. 7.事件月在每次试验中出现的概率为0.3,进行19次独立试验,求 (1)岀现次数的平均值和标准差; (2)最可能出现的次数. 解: 设19次试验中事件岀现次数为。 则^5(19,0.3),因此 (1)f的数学期望为£<=ztp=19X0.3=5.7 方差为P<=jv(1-P)=19X0.3X0.7=3.99 标准差为b;==丽=1.997 (2)因亦p=5・7+0.3=6为整数,因此最可能值为5和6. 8.已知随机变量《服从二项分布,厅§二12,"二&求p和n. 解: 由E^=np=12 (1) 和Z? <=np(l-p)=8 (2) 由 (1)得n=12/pf代入到 (2)得 12(1-R二&解岀p=(12-8)/12=1/3=0.3333 代回到⑴式得n=12/p=12X3=36 9.某柜台上有4个售货员,并预备了两个台秤,若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤,求一天10小时内,平均有多少时间台秤不够用. 解: 每个时刻构成一沪4的贝努里试验,且尸15/60二0.25,因此,设§为每个时刻要用秤的售货员数,则广万(4,0.25),当02时,台秤不够用.因此每时刻台秤不够用的概率为 >2)=C: x0.253x0.75+0.254=0.0508 因此10个小时内平均有0.0508X10=0.508个小时台秤不够用. 10.已知试验的成功率为P,进行4重贝努里试验,计算在没有全部失败的情况下,试验成功不止一次的概率. 解: 设§为4次试验中的成功数,则§~万(4,刃,事件"没有全部失败"即事件{00},而事件"试验成功不止一次"即事件(O1},因此要求的是条件概率PfOll00},又因事件{§>1}被事件{§>0}包含,因此这两个事件的交仍然是{<>! },因此 P<>1}_1—P<=O}—P{§=1} P<>0}1-^=0) ]_g4一4pq' I7? - 其中q=l-p 11.§服从参数为2,p的二项分布,已知尸(§21)二5/9,那么成功率为p的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少? 解: 因曲23,则必有P(^>l)=l-P«=O)=l-(l-p)2=5/9,解得 (I-/? )2=1一5/9=4/9 1-/? =2/3 /7=1_2/3=1/3 则假设〃为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数,"'万(4,1/3),则 >1)=1-P(〃=0)=1-(1一p)4 12・一批产品20个中有5个废品,任意抽取4个,求废品数不多于2个的概率解: 设§为抽取4个中的废品数,则《服从超几何分布,且有 13・如果产品是大批的,从中抽取的数目不大时,则废品数的分布可以近似用二项分 布公式计算.试将下例用两个公式计算,并比较其结果.产品的废品率为0・1,从1000个产品中任意抽取3个,求废品数为1的概率・ 解: 设任抽3个中的废品数为「则§服从超几何分布,废品数为0.1X1000=100 而如果用二项分布近似计算,/2=3,P-Q.1,^5(3,0.1) P{f=1}◎C;x0」x0.92=0.2430 近似误差为0.0005,是非常准确的. 14. 从一副朴克牌(52张)中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布.解: 设《为发出的5张中黑桃的張数,则《服从超几何分布,贝I」 则按上式讣算出概率分布如下表所示: §0 1 2 3 4 5 P0.2215 0.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.0005 15.从大批发芽率为0・8的种子中,任取10粒,求发芽粒数不小于8粒的概率. 解: 设《为10粒种子中发芽的粒数,则《服从超几何分布,但可以用二项分布近似,其中尸0・&千10,则 10 P忙>8}=^C;oxO.8/xO.2,0^=0.6778 16.一批产品的废品率为0.001,用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率,以及不超过2件的概率. 解: 设§为800件产品中的废品数,则$服从超几何分布,可以用二项分布近似,则"5(800,0.001),而因为试验次数很大废品率则很小,可以用普阿松分布近似,参数为 人二斫800X0.001=0.8 P检=2}^牛-严=0」438 2AOf P{疳<2}^-严8=0.9526 日)" 17.某种产品表而上的疵点数服从普哇松分布,平均一件上有0.8个疵点,若规泄疵点数不超过1个为一等品,价值10元,疵点数大于1不多于4为二等品,价值8元,4个以上为废品,求产品为废品的概率以及产品的平均价值. 解: 设§为产品表面上的疵点数,则§服从普哇松分布,久二0.8,设“为产品的价值,是《的函数.则产品为废品的概率为 储>4}=1-P{gS4}=1-工一;-严=0.0014 /-01・ p{〃=io}=<1}=^~re^=°・8088 f-ol・ 4q P{77=8}=P{1v§S4}=》一严=0.1898 则产品的平均价值为 En二10XP{/? =10}+8XP{7? =8}=10X0.8088+8X0.1898=9.6064(元) 18.一个合订本共100页,平均每页上有两个印刷错误,假定每页上E卩刷错误的数目服从普哇松分布,计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率. 解: 设§为每页上的印刷错误数目,则$服从普哇松分布,人二2,则1页印刷错误都不超过4个的概率为 42" P{§S4}=工〒不$=09473 而100页上的印刷错误都不超过4个的槪率为 [P{^<4}]I(X)=0.004454 19.某型号电子管的“寿命”《服从指数分布,如果它的平均寿命5<=1000小时,写岀§的概率密度,并计算尸(1000<§W1200). 解: 因5<=1000=1/zl,其概率密度为 1 x>0 x<0 /loop 0(x)=11000 0 10001200 P(1000<^<1200)=丁而__严=0.0667 20.1),God)是它的分布函数,处3是它的概率密度,5(0),加(0), 尸(§二0)各是什么值? 解: 因有 O0(x)=\-^==^dt,因此血(对为偶函数,由对称性可知 并有(0)= 因《为连续型随机变量,取任何值的槪率都为0,即尸(§二0)二0・ 21.求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下,还可以继续使用100小时而不坏的概率? 解: 要求的概率为Ai>600! i>500),因此 22.若《服从具有刀个自由度的分布,证明需的概率密度为 x>0 x<0 称此分为为具有”个自由度的X-分布 证: 设〃=詹,则因§的概率密度函数为 对两边求导得 23・1),求F{^0}tP{^l<3},F{0«W5},P{§>3},尸{-1<§〈3} 解: 根据《的对称性质及查表得: F{"0}二15(0)二0.5 P{C<3}=20o(3)-1=2X0.99865-1=0.9973 P{0〈§W5}二%(5)-0・5=0.5 P{<>3}=l-^>o(3)=l-0.99865=0.00135 P{-1<§<3}=5(3)-6(-1)=5(3)+0。 ⑴-1=0.99865+0.8413-1=0.83995 24.为什么说事件〃在一次试验中几乎必然出现? 解: 因为—i~N(0,l) b 因此在一次试验中几乎必然岀现. 25.<"M10,2s),求P(10<<<13),H">13),P(|<-10|<2).解: 因为宁E(O,1) P{10<^<13)=P{0< <1.5)=①()(1.5)一①o(0)=0.93319-0.5=0.43319 P{§>13}=P{^_>1.5}=1-①o(1.5)=1-0.93319=0.06681 2 P{l§—10lv2}=P{ <1)=2①o(l)一1=2x0.8413-1=0.6826 26.若上题中已知P{\<-101 因为5二巴~N(0J),则有 2 =0.95 c1+0Q5c 解得①()(_)=…=0.975,查表得一=1.96,得&3.92 222 再由 4-10d-10〃一10 222 知匕巴V0,因此①°(匕_巴)=1_^(! ±«)=0.0668 222 即①°(! 2z£)=1-0.0668=0.9332, 2 查表得巴二"=1・5,解得d=10-3=7 2 27.若§: ¥(“,/),对于尸{二0・90,或0.95,或0.99,分别查表 找岀相应的&值. 解: 先求尸{"如<二0.90对应的&值・ 因£二£~"(0」),因此 b P{“一v§v“+kcr}=P{ 即①0伙)=1一磐0=0.95,査表得A=l.64 2 同理,由①。 伙)=1_岁、=0.975,査表得ri.96 2 1+099 由①°伙)=一=0.995,査表得k=2.57 2 28.某批产品长度按M50,0.2M)分布,求产品长度在49・5czn和50.5皿之间的概率,长度小于 49・2皿的概率. 解: 设幼产品长度,则CM50,0.25=),且有謬~叫),则 P{49・5<4<50.5)=P{-2<<2}=P{, "0.25|0.25 =2①° (2)-1=2x0.97725-1=0.9545 4-5049.2-50 P{§<49.2}=P{-^<-()? .--}=①(K—3.2)=1—①。 (3.2) =1—0.9993129=0.0006871 _133___ 孑=孑工釦〃=工(彳-事‘求cov(£,QE〃,cov(£,〃) sr-1r-1 解: 此题要用到,两个独立的服从正态分布的随机变量相加后得到的随机变量仍然服从正态分布.因此,因为 虏=0,%=於±刍 2/=i COV為)=硏)=誓洌4E萤=1 Eg-卽=E(g: —2镭+孕)=Eg: 一2c°、《g)+E孕 3_2 £)2=3x^=2 J=1d 也服从正态分布,且有 COV©一滴胡g©一列=砾一膚2=卜卜0 即纟与§一§不相关,而因为它们服从正态分布,因此也就是纟与§一§相互独立, 则旨与(&-£)2也相互独立,则旨与〃中的加和中的每一项相互独立,当然也与"相互 独立,因此有cov@,77)=0,因为相互独立的随机变量一左不相关. ■Is, I——(X*+V*)小r 30.(仁4)有联合概率密度——e丄,: =/+〃「,求V的概率密度. 2兀 解: 由联合概率密度看出,§与n相互独立服从标准正态分布,则有样与"'也相互独立且服从自由度为1的塔-分布,即^x=(l),": ~干 (1),因此《二厂+"_干 (2),即它的概率密度为 0x<0 ■ 即(服从4=1/2的指数分布. (注: 可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢! )
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