青海省高中数学 222 对数函数及其性质导学案 新人教a版必修1.docx
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青海省高中数学222对数函数及其性质导学案新人教a版必修1
2.2.2对数函数及其性质
班级:
__________姓名:
__________设计人__________日期__________
课前预习·预习案
【温馨寄语】
你有涌泉一样的智慧和一双辛勤的手,不管你身在何处,幸运与快乐时刻陪伴着你!
【学习目标】
1.理解对数函数的定义和意义.
2.了解反函数的概念.
3.掌握对数函数的图象和性质.
【学习重点】
对数函数的图象与性质
【学习难点】
对数函数的图象与性质
【自主学习】
1.对数函数的定义
(1)解析式为:
.
(2)自变量是:
.
2.对数函数的图象和性质
3.反函数
指数函数
,且
)与对数函数 互为反函数.
【预习评价】
1.若函数
与
互为反函数,则
A.
B.
C.
D.不确定
2.函数
的定义域为
A.(1,+∞) B.
C.(-∞,1) D.
3.对数函数
与
的图象如图,则
A.
B.
C.
D.
4.已知函数
,则
的值为 .
5.若对数函数
的图象经过点(8,3),则函数的解析式为 .
6.对数函数
在定义域内是减函数,则的取值范围是 .
知识拓展·探究案
【合作探究】
1.对数函数的图象与性质
(1)在同一坐标系内画出函数
和
的图象.并说出函数图象从左到右的变化趋势.
(2)在问题
(1)所画图象的基础上,现画出函数
和
的图象,观察所画出的两个函数图象的变化趋势及这四个函数图象的特征,回答下列问题:
①函数
和
的图象从左到右的变化趋势是怎样的?
②函数
和
的图象间有什么关系?
和
呢?
③观察所画出的四个函数的图象,请说出对数函数图象的大致走势有几种?
主要取决于什么?
2.对数函数的解析式 请你根据所学过的知识,思考对数函数解析式中的底数能否等于0或小于0?
3.对数函数的解析式 根据对数函数的解析式,完成下列填空,并明确其具有的三个结构特征
(1)特征1:
底数
曾大于0且不等于1的 ,不含有自变量
.
(2)特征2:
自变量
的位置在 ,且
的系数是 .
(3)特征3:
的系数是 .
【教师点拨】
1.对数函数值的变化规律
(1)
(2)
2.对对数函数图象与性质的三点说明
(1)定点:
所有对数函数的图象均过定点(1,0).
(2)对称性:
底数互为倒数的对数函数图象关于
轴对称.
(3)图象随底数变化规律:
在第一象限内,底数自左向右依次增大.
3.确定对数函数解析式的关键
确定对数函数
解析式的关键是确定底数
的值.
4.对对数函数一般形式的说明
(1)定义中所说的形如
的形式一般来说是不可改变的,否则就不是对数函数.
(2)解析式中底数
取值范围为
,其他范围都是不可以的.
【交流展示】
1.下列函数中是对数函数的是 .
(1)
.
(2)
.(3)
.
(4)
.(5)
.
2.若对数函数
的图象过点
,求
及
.
3.函数
的图象恒过定点 .
4.画出函数
的图象,并指出其值域和单调区间.
5.函数
的定义域是
A.
B.
C.
D.
6.求下列函数的定义域.
.
(2)
.
7.若
,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
8.解不等式
.
9.已知函数
,
,则函数
的最大值为 .
10.已知函数
,
,设
.
(1)求函数
的定义域,判断它的奇偶性.
(2)若
,求
的解集.
【学习小结】
1.判断一个函数是对数函数的方法
(1)看形式:
判断一个函数是否是对数函数,关键是看解析式是否符合
这一结构形式.
(2)明特征:
对数函数的解析式具有三个特征,只要有一个特征不具备,则不是对数函数.
2.对数函数性质的综合应用
(1)常见的命题方式:
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合,求解中通常会涉及对数运算.
(2)解此类问题的基本思路:
首先要将所给的条件进行转化,然后结合涉及的知识点,明确各知识点的应用思路、化简方向,与所求目标建立联系,从而找到解决问题的思路.
3.解对数不等式的两种类型及转化方法
(1)当
时,①
;
②
(2)当
时,①
②
提醒:
解简单对数不等式时不要忘记真数大于0这一条件.
4.对数式比较大小的三种类型和求解方法
(1)底数相同时,利用单调性比较大小.
(2)底数与真数均不相同时,借助于0或1比较大小.
(3)真数相同时,可利用换底公式换成同底,再比较大小,但要注意对数值的正负.
5.解答
型或
型函数要注意的问题
(1)要注意变量的取值范围.例如
,
,则
中需有
;
中需有
.
(2)判断
型或
型函数的奇偶性,首先要注意函数中自变量的范围,再利用奇偶性的定义判断.
【当堂检测】
1.设
,
,
,则
A.
B.
C.
D.
2.已知
,
,
,则
A.
B.
C.
D.
3.图中的曲线是
的图象,已知
的值为
,
,
,
,则相应曲线
,
,
,
的
依次为
A.
,
,
,
B.
,
,
,
C.
,
,
,
D.
,
,
,
4.若函数
是函数
的反函数,其图象经过点
,则
.
5.求下列函数的定义域:
(1)
.
(2)
.
6.比较下列各组数的大小:
(1)
与
.
(2)
与
.
(3)
与
.(4)
与
.
7.设函数
若
,求实数
的取值范围.
8.已知
,完成下列问题:
(1)求
的定义域.
(2)判断的
奇偶性并予以证明.
(3)求使
的
的取值范围.2.2.2对数函数及其性质
详细答案
课前预习·预习案
【自主学习】
1.
(1)y=logax(a>0,且a≠1)
(2)x
2.(0,+∞) R (1,0) 增 减
3.y=logax(a>0,且a≠1)
【预习评价】
1.A
2.B
3.C
4.2
5.f(x)=log2x
6.(1,2)
知识拓展·探究案
【合作探究】
1.
(1)①列表
x
1
2
3
4
y=log2x
-2
-log23
-1
0
1
log23
2
y=log3x
-log34
-1
-log32
0
log32
1
log34
描点画图
②图象的变化趋势:
这两个函数的图象从左到右均是不断上升的.
(2)图象如图所示:
① 这两个函数的图象从左到右是下降的.
②结合图形,函数y=log2x和
的图象关于x轴对称,同样,函数y=log3x和
的图象也关于x轴对称.
③对数函数图象的大致走势有两种,一种是从左到右图象是下降的,而另一种恰好相反,图象的走势主要取决于底数a与1的大小关系.
2.因为
,而在指数函数中底数a需满足a>0且a≠1,故在对数函数解析式中a的取值范围不能等于0或小于0.
3.
(1)常数
(2)真数上 1 (3)1
【交流展示】
1.
(1)(3)
2.设f(x)=logax(a>0且a≠1),因为f(4)=2,所以loga4=2,所以a2=4,又a>0且a≠1,所以a=2.
所以f(x)=log2x,所以f(8)=log28=3.
3.(2,0)
4.因为当x>0时y=log5x;当x<0时y=log5(-x),
所以函数y=log5|x|的图象如图所示.
由图象可知,y=log5|x|的值域为R,递增区间为(0,+∞),递减区间为(-∞,0).
5.B
6.
(1)由
得
所以x>-1且x≠999,所以函数的定义域为{x|x>-1且x≠999}.
(2)loga(3-4x)≥0.(*)
当a>1时,(*)可化为loga(3-4x)≥loga1,所以3-4x≥1,
.
当0<a<1时,(*)可化为loga(3-4x)≥loga1,
所以0<3-4x≤1,
.综上所述,当a>1时,函数定义域为
;当0<a<1时,函数定义域为
.
7.C
8.当a>1时原不等式
;
当0<a<1时原不等式
,
综上,当a>1时原不等式的解集为(0,1),
当0<a<1时原不等式的解集为(-1,0).
9.13
10.
(1)因为f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1)的定义域为(-1,+∞),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1)的定义域为(-∞,1).
所以函数h(x)的定义域为(-1,1).
因为h(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)
=-[loga(1+x)-loga(1-x)]=-h(x),
所以h(x)为奇函数.
(2)因为f(3)=loga4=2,所以a=2,
所以
,
即log2(1+x)<log2(1-x),
所以
解得-1<x<0,
故h(x)<0的解集为{x|-1<x<0}.
【当堂检测】
1.B
2.B
3.A
4.
5.
(1)(1,2)∪(2,3)
(2)
6.
(1)因为f(x)=log3x为增函数,且2.5<3.7,所以log32.5<log33.7.
(2)因为f(x)=log0.2x为减函数,且2<4.1,所以log0.22>log0.24.1.
(3)因为log30.24<log31=0,log0.20.24>log0.21=0,所以log30.24<log0.20.24.
(4)当a>1时,因为f(x)=logax为增函数,且3<3.1,所以loga3<loga3.1;
当0<a<1时,同理可得,loga3>loga3.1.
7.
(1)当a>0时,-a<0,f(a)=log2a,
.
因为f(a)>f(-a),所以
,所以log2a>-log2a,
所以log2a>0,所以log2a>-log21,所以a>1.
(2)当a<0时,-a>0,
,f(-a)=log2(-a).
因为f(a)>f(-a),所以
,所以-log2(-a)>-log2(-a),所以
.
综上所述a的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).
8.
(1)因为
,需有
,
即
或
所以
.
所以函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)因为
,
又由
(1)知f(x)的定义域为(-1,1),
所以f(x)为奇函数.
(3)
,
因为a>1,所以可得
,
由
(1)中知x∈(-1,1),有1-x>0.
所以可得1+x>1-x,解得x>0.
即当a>1时,x∈(0,1),有f(x)>0.
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