一元二次方程的应用教案 2.docx
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一元二次方程的应用教案 2.docx
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一元二次方程的应用教案2
一元二次方程的应用
适用学科
数学
适用年级
初中三年级
适用区域
全国
课时时长(分钟)
60
知识点
会用一元二次方程解决等增长率或等降低率问题
教学目标
列一元二次方程解应用题,会用一元二次方程解决等增长率或等降低率问题
教学重点
列一元二次方程解应用题,要正确理解题意,分析、寻找数量之间的关系,建立恰当的方程模型,将实际问题抽象成数学模型,即要先解决好数学问题
教学难点
列一元二次方程解应用题,找到等量关系,建立方程解应用题。
教学过程
一、复习预习
方程类应用题是初中数学的重要内容,也是中考的重点和热点.近年来各地中考数学试题中,方程应用题占有相当的比重.涉及丰富的现实生活背景,重点对初中所学有关列方程(组)解应用题的知识点进行考查,考查同学们的阅读理解能力、综合分析能力、解决问题的能力,但由于同学们缺乏社会经验与生活常识,再加之有些试题中名词、术语专业性太强、阅读量大、数量关系复杂,客观上给我们解答造成了思维障碍,甚至一些同学见之望而生畏。
通过本讲典例学习,你会进一步提高分析、解决问题的能力,获取解决实际问题的技巧。
一元二次方程的定义:
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。
一般表达式:
方程的解:
使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
把
(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,a为二次项
系数;b为一次项系数;c为常数项。
二、知识讲解
考点/易错点1
要正确理解题意,分析、寻找数量之间的关系,建立恰当的方程模型,将实际问题抽象成数学模型,即要先解决好数学问题,再进一步解决应用问题,可应用以下一般方法:
认真阅读,理解题意------抽象概括,寻找方程关系------解决数学问题------解决实际问题。
考点/易错点2
列方程(组)解应用题的基本思路:
(1)审题→
(2)设恰当的未知数→(3)找等量关系,列方程(组)→(4)解方程(组)→(5)检验→(6)答。
考点/易错点3
一元二次方程解应用题的步骤与以前列方程解应用题一样.其中审题是解决问题的基础,找等量关系列方程是关键,恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易,它可以为正确合理的答案提供有利的条件.方程的解必须进行实际题意的检验.
三、例题精析
【例题1】
【题干】一件商品的原价是100元,经过两次提价后的价格为121元,如果两次提价的百分率都相同,求每次提价的百分率.
【答案】:
解:
令每次提价的百分率为x,
则100(1+x)2=121
解之得x=0.1x=-2.1(不合题意,舍去)
即每次提价的百分率为10%,
答:
每次提价的百分率为10%
【解析】设平均每次提价的百分率为x,根据原价为100,表示出第一次提价后的价钱为100(1+x),然后再根据价钱为100(1+x),表示出第二次提价的价钱为100(1+x)2,根据两次提价后的价钱为121元,列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,经过检验得出满足题意的x的值,即为平均每次提价的百分率
【例题2】
【题干】元旦期间,商场中原价为100元的某种商品经过两次连续降价后以每件81元出售,设这种商品每次降价的百分率相同,求这个百分率.
【答案】:
解:
设每次降价的百分率为x,第二次降价后价格变为100(x-1)2元,
根据题意得:
100(x-1)2=81,
即x-1=0.9,
解之得x1=1.9,x2=0.1.
因x=1.9不合题意,故舍去,所以x=0.1.
即每次降价的百分率为0.1,即10%.
答:
这个百分率为10%.
【解析】此题主要考查了一元二次方程的解法,解这类问题要移项,把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a≥0)的形式,利用数的开方直接求解.此题可设每次降价的百分率为x,第一次降价后价格变为100(1-x),第二次在第一次降价后的基础上再降,变为100(x-1)(x-1),从而列出方程,求出答案.
【例题3】
【题干】)某化肥厂一月份生产化肥500吨,从二月份起,由于改进操作技术,使得第一季度共生产化肥1750吨,问二、三月份平均每月的增长率是多少?
【答案】
解:
依题意得二月份的产量是500(1+x),
三月份的产量是560(1+x)(1+x)=500(1+x)2,
∴500+500(1+x)+500(1+x)2=1750
【解析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),根据二、三月份平均每月的增长为x,则二月份的产量是500(1+x)吨,三月份的产量是500(1+x)(1+x)=500(1+x)2,再根据第一季度共生产钢铁1750吨列方程即可
四、课堂运用
【基础】某商场销售一种商品,原销售价为100元,为了增加利润,经过两次涨价,现销售价为144元,试求出平均每次涨价的百分率?
答案:
解:
令每次提价的百分率为x,
则100(1+x)2=144
解之得x=0.2x=-2.2(不合题意,舍去)
即每次提价的百分率为20%,
答:
每次提价的百分率为20%
解析:
设平均每次提价的百分率为x,根据原价为100,表示出第一次提价后的价钱为100(1+x),然后再根据价钱为100(1+x),表示出第二次提价的价钱为100(1+x)2,根据两次提价后的价钱为144元,列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,经过检验得出满足题意的x的值,即为平均每次提价的百分率
【巩固】某商品原售价为50元,经过连续两次降价后售价为32元,则平均每次降价的百分率是多少?
答案:
解:
设平均每次降价的百分率为x,根据题意列方程得
50×(1-x)2=32
解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不符合题意,舍去).
故答案为:
20%.
解析:
此题可设平均每次降价的百分率为x,那么第一次降价后的单价是原来的(1-x),那么第二次降价后的单价是原来的(1-x)2,根据题意列方程解答即可.
【拔高】20XX年底某市汽车拥有量为100万辆,而截止到20XX年底,该市的汽车拥有量已达到144万辆.
(1)求20XX年底至20XX年底该市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度,要求到20XX年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆,预计20XX年报废的汽车数量是20XX年底汽车拥有量的10%,求20XX年底至20XX年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求.
答案:
(1)设20XX年底至20XX年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x,
根据题意,100(1+x)2=144
1+x=±1.2
∴x1=0.2=20%x2=-2.2(不合题意,舍去)
答:
20XX年底至20XX年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%.
(2)设20XX年底到20XX年底该市汽车拥有量的年平均增长率为y,
根据题意得:
144(1+y)-144×10%≤155.52
解得:
y≤0.18
答:
20XX年底至20XX年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在不超过18%能达到要求
解析:
(1)设20XX年底至20XX年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x,根据20XX年底该市汽车拥有量为100万辆,而截止到20XX年底,该市的汽车拥有量已达144万辆可列方程求解.
(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆,则20XX年底全市的汽车拥有量为144(1+y)×90%万辆,根据要求到20XX年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆可列不等式求解.
课程小结
列方程解应用问题的步骤:
①审题, ②设未知数, ③列方程, ④解方程, ⑤答
列一元二次方程解应用题,步骤与以前列方程解应用题一样,其中审题是解决问题的基础,找等量关系列方程是关键,恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易,它可以为正确合理的答案提供有利的条件.方程的解必须进行实际题意的检验.
课后作业
【基础】
1.一种药品经过两次降价,药价从原来每盒60元降至现在的48.6元,则平均每次降价的百分率是多少?
答案:
解:
设平均每次降价的百分率是x,则第二次降价后的价格为60(1-x)2元,
根据题意得:
60(1-x)2=48.6,
即(1-x)2=0.81,
解得,x1=1.9(舍去),x2=0.1.
所以平均每次降价的百分率是0.1,即10%.
解析:
本题可设平均每次降价的百分率是x,则第一次降价后药价为60(1-x)元,第二次在60(1-x)元的基础之又降低x,变为60(1-x)(1-x)即60(1-x)2元,进而可列出方程,求出答案
【巩固】
2.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被传染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染,请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
答案:
解:
设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意得:
1+x+(1+x)x=81,
整理得(1+x)2=81,
则x+1=9或x+1=-9,
解得x1=8,x2=-10(舍去),
∴(1+x)2+x(1+x)2=(1+x)3=(1+8)3=729>700.
答:
每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台.
解析:
本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑,则第一轮后共有(1+x)台被感染,第二轮后共有(1+x)+x(1+x)即(1+x)2台被感染,利用方程即可求出x的值,并且3轮后共有(1+x)3台被感染,比较该数同700的大小,即可作出判断.
【拔高】
3.根据某市电信部门统计,20XX年底全市手机拥有量为50万部,截止到20XX年底全市手机拥有量已达72万部.
(1)求20XX年底至20XX年底该市手机拥有量的年平均增长率;
(2)另据估计,从20XX年起,该市此后每年报废的手机数量是上年底手机拥有量的10%,假定每年新增手机数量相同,要求到20XX年底全市手机拥有量不少于96.32万部,该市每年新增手机数量至少要多少万部?
答案:
(1)设20XX年底至20XX年底该市手机拥有量的年平均增长率为x,由题意,得
50(1+x)2=72,
解得:
x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去)
答:
20XX年底至20XX年底该市手机拥有量的年平均增长率为20%.
(2)设该市每年新增手机数量至少要a万部,则20XX年底拥有的手机数量为(72×90%+a)万部,20XX年底拥有的手机数量为[(72×90%+a)×90%+a]万部,由题意,得
(72×90%+a)×90%+a≥96.32,
解得:
a≥20.
答:
市每年新增手机数量至少要20万部.
解析:
(1)设20XX年底至20XX年底该市手机拥有量的年平均增长率为x,根据增长率问题建立方程求出其解即可;
(2)设该市每年新增手机数量至少要a万部,则20XX年底拥有的手机数量为(72×90%+a)万部,20XX年底拥有的手机数量为[(72×90%+y)×90%+a]万部,根据要求到20XX年底全市手机拥有量不少于96.32万部建立不等式求出其解即可.
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- 关 键 词:
- 一元二次方程的应用教案 一元 二次方程 应用 教案