版优化方案高一数学人教版必修三学案 第三章 概率311随机事件的概率.docx
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版优化方案高一数学人教版必修三学案第三章概率311随机事件的概率
3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
1.问题导航
(1)什么叫做必然事件、不可能事件、确定事件、随机事件?
(2)什么叫做概率?
(3)什么叫做频数、频率?
(4)频率与概率的区别与联系是什么?
2.例题导读
通过教材中的“思考”,我们认识到:
频率是变化的,概率是不变的.概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值.根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.
1.事件的概念及分类
2.频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=
为事件A出现的频率.
3.概率
(1)含义:
概率是度量随机事件发生的可能性大小的量.
(2)与频率联系:
对于给定的随机事件A,事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
(3)范围:
从定义中,可以看出事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1,这是因为在n次试验中,事件A发生的频数m满足0≤m≤n,所以0≤
≤1.当A是必然事件时,P(A)=1,当A是不可能事件时,P(A)=0.
1.判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)随机事件A的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值;( )
(2)任意事件A发生的概率P(A)总满足0
(3)若事件A的概率趋近于0,即P(A)→0,则事件A是不可能事件.( )
解析:
根据频率与概率的关系,
(1)正确;随机事件的概率满足0
(2)不正确;当P(A)→0,事件A发生的可能性很小,(3)不正确.
答案:
(1)√
(2)× (3)×
2.下列事件:
①明天阴天;②若x+2=x2,则x=2;③奥巴马当选美国下届总统;④若x∈R,则x2+2x+2≥1.其中随机事件的个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
解析:
选B.①②是随机事件,③奥巴马现在已连任两届总统,不可能再连任下届总统,是不可能事件,④是必然事件.
3.某出版公司对发行的三百多种教辅用书实行跟踪式问卷调查,连续五年的调查结果如表所示:
发送问卷数
1006
1500
2015
3050
5200
返回问卷数
949
1430
1917
2890
4940
则本公司问卷返回的概率约为( )
A.0.95B.0.94
C.0.93D.0.92
解析:
选A.949÷1006≈0.94334,1430÷1500≈0.95333,1917÷2015≈0.95136,2890÷3050≈0.94754,4940÷5200=0.95.都稳定于0.95,故所求概率约为0.95.
4.频率与概率之间有何区别与联系?
解:
(1)概率是频率的稳定值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率;
(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定;(3)概率是一个确定的常数,是客观存在的,在试验前已经确定,与试验次数无关.
1.随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间[0,1]内的某个常数上(即事件A的概率),这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大;反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.
2.任何事件的概率是0~1之间的一个确定的数,小概率(接近0)事件很少发生,大概率(接近1)事件则经常发生,知道随机事件的概率的大小有利于我们作出正确的决策.
事件类型的判断
指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件.
(1)2012年奥运会在英国伦敦举行;
(2)甲同学今年已经上高一,三年后他被北大自主招生录取;
(3)A地区在“十二五”规划期间会有6条高速公路通车;
(4)在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化.
[解]
(1)是必然事件,因事件已经发生.
(2)(3)是随机事件,其事件的结果在各自的条件下不确定.
(4)是不可能事件,在本条件下,事件不会发生.
方法归纳
对事件分类的两个关键点:
(1)条件:
在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的,没有条件,就无法判断事件是否发生;
(2)结果发生与否:
有时结果较复杂,要准确理解结果包含的各种情况.
1.
(1)下面的事件:
①在标准大气压下,水加热到80℃时会沸腾;②a,b∈R,则ab=ba;③一枚硬币连掷两次,两次都出现正面向上.是不可能事件的为( )
A.②B.①
C.①②D.③
解析:
选B.②是必然事件,③是随机事件.
(2)(2015·西南师大附中检测)下列事件:
①一个口袋内装有5个红球,从中任取一球是红球;②抛掷两枚骰子,所得点数之和为9;③x2≥0(x∈R);④方程x2-3x+5=0有两个不相等的实数根;⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军,其中随机事件的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选B.在所给条件下,①是必然事件;②是随机事件;③是必然事件;④是不可能事件;⑤是随机事件.
用随机事件的频率估计概率
某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力,出了10道智力题,每道题10分,然后作了统计,如表所示:
贫困地区:
参加测试的人数
得分情况
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区:
参加测试的人数
得分情况
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两种地区参加测试的儿童中得60分以上的频率;(保留小数点后两位)
(2)若从两种地区各自随机选取一名适龄儿童,试估计他们参加测试得60分以上的概率.
[解]
(1)贫困地区:
参加测试的人数
得分情况
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
0.53
0.54
0.52
0.52
0.51
0.50
发达地区:
参加测试的人数
得分情况
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
0.57
0.58
0.56
0.56
0.55
0.55
(2)贫困地区参加测试的儿童得60分以上的频率稳定在0.5,所以从贫困地区随机选取一名适龄儿童参加测试得60分以上的概率大约是0.5.
发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率稳定在0.55,所以从发达地区随机选取一名适龄儿童参加测试得60分以上的概率大约是0.55.
方法归纳
(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出它的频率,频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近左右摆动,这个稳定值就是概率.
(2)解此类题目的步骤是:
先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值,然后根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.
2.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次击中10环,有3次击中9环,有4次击中8环,有1次未中靶.
(1)求此人中靶的概率;
(2)若此人射击1次,则中靶的概率约为多大?
击中10环的概率约为多大?
解:
(1)因为中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为
=0.9.故此人中靶的概率约为0.9.
(2)若此人射击1次,中靶的概率约为0.9,击中10环的概率约为0.2.
对试验结果的分析
指出下列试验的结果:
(1)袋中装有红、白、黑三种颜色的小球各1个,从中任取2个小球;
(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差.
[解]
(1)结果:
红球,白球;红球,黑球;白球,黑球.
(2)结果:
1-3=-2,3-1=2,
1-6=-5,3-6=-3,
1-10=-9,3-10=-7,
6-1=5,10-1=9,
6-3=3,10-3=7,
6-10=-4,10-6=4.
[互动探究] 若将本例
(2)中的“作差”改为“作和”,指出其试验的结果.
解:
结果:
1+3=4,3+6=9,
1+6=7,3+10=13,
1+10=11,6+10=16.
方法归纳
准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判断一些事件,指出试验结果,这是求概率的基础.在写试验结果时,一般采用列举法写出,必须首先明确事件发生的条件,根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列结果没有重复,也没有遗漏.
3.
(1)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球,从中摸出2个球,问:
①共有多少种不同结果?
②摸出2个黑球有多少种不同的结果?
解:
①从装有4个球的口袋内摸出2个球,共有6种不同的结果:
(白,黑1)、(白,黑2)、(白,黑3)、(黑1,黑2)、(黑1、黑3)、(黑2,黑3).
②从3个黑球中摸出2个黑球,共有3种不同的结果:
(黑1,黑2)、(黑1,黑3)、(黑2,黑3).
(2)某人做试验“从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,无放回地取小球两次,每次取一个,构成有序数对(x,y),x为第一次取到的小球上的数字,y为第二次取到的小球上的数字”.求这个试验结果的种数.
解:
当x=1时,y=2,3,4;
当x=2时,y=1,3,4;
同理,当x分别为3,4时,也各有3个不同的y,所以共有12个不同的有序数对,故这个试验结果的种数为12.
易错警示
对随机事件结果判断不准致误
先后抛掷两枚质地均匀的硬币,则
(1)一共可能出现多少种不同的结果?
(2)出现“一枚正面,一枚反面”的情况有几种?
(3)出现“一枚正面,一枚反面”的概率是多少?
[解]
(1)一共可能出现“两枚正面”、“两枚反面”、“一枚正面,一枚反面”、“一枚反面,一枚正面”,4种不同的结果.
(2)出现“一枚正面,另一枚反面”的情况有2种.
(3)出现“一枚正面,一枚反面”的概率为
.
[错因与防范]
将“一正,一反”、“一反,一正”两种情形错认为是“一正,一反”一种情形;欲不重不漏地写出试验的全部条件和结果,需要按照一定的顺序,用有序数组的形式表达出来.
4.某号码锁有6个拨盘,每个拨盘上有从0到9共十个数字,当6个拨盘上的数字组成某一个六位数字号码(开锁号码)时,锁才能打开,如果不知道开锁号码,试开一次就把锁打开的概率是多少?
解:
号码锁每个拨盘上的数字有10种可能的取法;6个拨盘上的数字组成的六位数字号码共有1000000个,
又试开时采用每一个号码的可能性都相等,且开锁号码只有一个,
所以试开一次就把锁打开的概率为P=
.
1.下面的事件:
①实数的绝对值大于等于0;②从标有1,2,3,4的4张号签中取一张,得到4号签;③在标准大气压下,水在1℃结冰,是必然事件的有( )
A.①B.②
C.③D.①②
解析:
选A.②是随机事件,③是不可能事件.
2.n+2件同类产品中,有n件正品,2件是次品,从中任意抽出3种产品的必然事件是( )
A.3件都是次品B.3件都是正品
C.至少有1件是次品D.至少有1件是正品
解析:
选D.由于只有2件次品,故抽出的3件产品不可能都是次品,即至少有1件正品.
3.在掷一枚硬币的试验中,共掷了100次,“正面朝上”的频率为0.49,则共有“正面朝下”的次数为( )
A.0.49B.49
C.0.51D.51
解析:
选D.由100×0.49=49知,有49次“正面朝上”,有100-49=51(次)“正面朝下”.
4.给出下列事件:
①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1;②下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃;③同时掷两颗骰子,向上一面的两个点数之和不小于2;④射击1次,命中靶心;⑤当x为实数时,x2+4x+4<0.其中,必然事件有________,不可能事件有________,随机事件有________.
解析:
由必然事件、不可能事件、随机事件定义可知.
答案:
③ ⑤ ①②④
[A.基础达标]
1.下列试验能够构成事件的是( )
A.掷一次硬币B.射击一次
C.去车站买票D.摸彩票中头奖
解析:
选D.事件必须有条件和结果,D既有条件又有结果,可以构成事件.
2.(2015·洛阳检测)下列说法正确的是( )
A.任何事件的概率总是在(0,1]之间
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增加,事件发生的频率一般会稳定于概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
解析:
选C.由概率与频率的有关概念知,C正确.
3.(2015·深圳调研)“一名同学一次掷出3枚骰子,3枚全是6点”的事件是( )
A.不可能事件
B.必然事件
C.可能性较大的随机事件
D.可能性较小的随机事件
解析:
选D.掷出的3枚骰子全是6点,可能发生,但发生的可能性较小.
4.(2015·滨州高一检测)容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A.0.35 B.0.45
C.0.55D.0.65
解析:
选B.在区间[10,40)的频数为2+3+4=9,所以频率为
=0.45.
5.在20支同型号钢笔中,有3支钢笔是次品,从中任意抽取4支钢笔,则以下事件是必然事件的是( )
A.4支均为正品
B.3支为正品,1支为次品
C.3支为次品,1支为正品
D.至少有1支为正品
解析:
选D.因为仅有3支钢笔是次品,故抽样的结果有以下四种情况:
4支全是正品,有1支次品,有2支次品,有3支次品.
6.已知随机事件A发生的频率是0.02,事件A出现了10次,那么可能共进行了________次试验.
解析:
设共进行了n次试验,则
=0.02,解得n=500.
答案:
500
7.下列事件:
①在空间内取三个点,可以确定一个平面;
②13个人中,至少有2个人的生日在同一个月份;
③某电影院某天的上座率会超过50%;
④函数y=logax(0<a<1)在定义域内为增函数;
⑤从一个装有100只红球和1只白球的袋中摸球,摸到白球.
其中,________是随机事件,________是必然事件,________是不可能事件.(填写序号)
解析:
①空间中不共线的三点可确定一个平面,故①是随机事件;
②一年中有12个月份,故13个人中,一定有至少2个人的生日在同一个月份,为必然事件;
③是随机事件;
④当0<a<1时函数y=logax在定义域内为减函数,故④为不可能事件;
⑤是随机事件.
答案:
①③⑤ ② ④
8.(2015·济南检测)如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同),从中任取一球,取了10次有9个白球,估计袋中数量多的是________.
解析:
取了10次有9个白球,则取出白球的频率是
,估计其概率约是
,那么取出黑球的概率约是
,那么取出白球的概率大于取出黑球的概率,所以估计袋中数量多的是白球.
答案:
白球
9.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布:
成绩
人数
90分以上
43
80分~89分
182
70分~79分
260
60分~69分
90
50分~59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):
(1)90分以上;
(2)60分~69分;(3)60分以下.
解:
总人数为43+182+260+90+62+8=645(人).
修李老师的高等数学课的学生考试成绩在90分以上,60分~69分,60分以下的频率分别为:
≈0.067,
≈0.140,
≈0.109.
∴用以上信息可以估计出王小慧得分的概率情况:
(1)“得90分以上”记为事件A,则P(A)=0.067.
(2)“得60分~69分”记为事件B,则P(B)=0.140.
(3)得“60分以下”记为事件C,则P(C)=0.109.
10.为了估计某自然保护区中天鹅的数量,使用了以下方法:
先从该保护区中捕获一定数量的天鹅200只,给每只天鹅作上记号且不影响其存活,然后放回保护区,让它们和保护区中其余的天鹅充分混合,过了一段时间,再从保护区中捕获150只天鹅,其中有记号的有20只,根据以上数据估计自然保护区中天鹅的数量.
解:
设保护区中天鹅的数量为n,假定每只天鹅被捕获的可能性是相等的,从保护区中捕一只,设事件A:
捕获带有记号的天鹅,则P(A)=
.
第二次从保护区中捕获150只天鹅,其中有20只带有记号,由概率的定义知P(A)≈
.
所以
≈
,解得n≈1500.
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1500只.
[B.能力提升]
1.某人将一枚硬币连掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的( )
A.概率为
B.频率为
C.频率为6D.概率接近0.6
解析:
选B.事件A={正面朝上}的概率为
,因为试验的次数较少,所以事件的频率为
,与概率值相差太大,并不接近.故选B.
2.已知α,β,γ是不重合的平面,a,b是不同的直线,则下列说法正确的是( )
A.“若a∥b,a⊥α,则b⊥α”是随机事件
B.“若a∥b,a⊂α,则b∥α”是必然事件
C.“若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β”是必然事件
D.“若a⊥α,a∩b=P,则b⊥α”是不可能事件
解析:
选D.A错误,因为
⇒b⊥α,故是必然事件,不是随机事件.
B错误,因为
⇒b∥α或b⊂α,故是随机事件,不是必然事件.
C错误,因为当α⊥γ,β⊥γ时,α与β可能平行,也可能相交(包括垂直),故是随机事件,不是必然事件.
D正确,因为如果两条直线垂直于同一个平面,则两直线必平行,故此是不可能事件.
3.(2015·淄博调研)一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃在一年时间里破碎的概率,公司收集了20000部汽车,时间从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率约为________.
解析:
P=
=0.03.
答案:
0.03
4.一袋中装有10个红球、8个白球、7个黑球,现在把球随机地一个一个摸出来,为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球,则k的最小值为________.
解析:
至少需摸完黑球和白球共15个.
答案:
16
5.为了确定某类种子的发芽率,从一大批种子中抽出若干粒进行发芽试验,其结果如下:
种子粒数n
25
70
130
700
2015
3000
4000
发芽粒数m
24
60
116
639
1819
2713
3612
(1)计算各批种子的发芽频率;(保留三位小数)
(2)怎样合理地估计这类种子的发芽率?
(保留两位小数)
解:
(1)各批种子的发芽频率分别为:
0.960,0.857,0.892,0.913,0.903,0.904,0.903.
(2)在这7组种子发芽试验中,前两组试验次数较少,其频率的稳定性比较弱,不适合作为估计种子的发芽率的依据,而后五组试验次数较多,且其种子的发芽频率趋向0.90,即近似地认为这类种子的发芽率为0.90.
6.(选做题)表①和表②分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况:
表①
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2015
优等品数m
45
92
194
470
954
1915
优等品频率
表②
抽取球数n
70
130
310
700
1500
2015
优等品数m
60
116
282
637
1339
1815
优等品频率
(1)分别计算表①和表②中篮球是优等品的各个频率(结果保留到小数点后两位);
(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率分别是多少?
(3)若两厂的篮球价格相同,你打算从哪一厂家购货?
解:
(1)依据频率公式计算表①中“篮球是优等品”的各个频率为0.90,0.92,0.97,0.94,0.95,0.95;表②中“篮球是优等品”的各个频率为0.86,0.89,0.91,0.91,0.89,0.90.
(2)由
(1)可知,抽取的篮球数不同,随机事件“篮球是优等品”的频率也不同.表①中的频率都在常数0.95的附近摆动,则在甲厂随机抽取一个篮球检测时,质量检查为优等品的概率大约为0.95;表②中的频率都在常数0.90的附近摆动,则在乙厂随机抽取一个篮球检测时,质量检查为优等品的概率大约为0.90.
(3)根据概率的定义可知:
概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小.因为P甲>P乙,表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大.因此应该选择甲厂生产的篮球.
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