821 几个函数模型的比较.docx
- 文档编号:29089958
- 上传时间:2023-07-20
- 格式:DOCX
- 页数:19
- 大小:105.55KB
821 几个函数模型的比较.docx
《821 几个函数模型的比较.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《821 几个函数模型的比较.docx(19页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
821几个函数模型的比较
8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
课标要求
素养要求
1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义.
2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异.
3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题.
通过本节的学习,使学生认识函数模型的作用,提升学生数学建模、数据分析等素养.
自主梳理
比较三种函数模型的性质,填写下表:
函数
性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xα(α>0)
在(0,+∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随α值的不同而不同
增长速度
ax的增长快于xα的增长,xα的增长快于logax的增长
增长后果
当x足够大时,有ax>xα>logax(a>1)
自主检验
1.思考辨析,判断正误
(1)当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数.(√)
(2)一个好的函数模型,既能与现有数据高度符合又能很好地推演和预测.(√)
(3)函数y=log
x衰减的速度越来越慢.(√)
(4)由于指数函数模型增长速度最快,所以对于任意x∈R恒有ax>x2(a>1).(×)
提示 当x趋于无穷大时ax>x2(a>1)恒成立.
2.已知函数为y=1+2x,当x减少1个单位时,y的变化情况是( )
A.y减少1个单位B.y增加1个单位
C.y减少2个单位D.y增加2个单位
答案 C
解析 结合函数y=1+2x的变化特征可知C正确.
3.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A.y=exB.y=lnx
C.y=x2D.y=e-x
答案 A
解析 结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确.
4.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看更为有前途的生意是________(填序号).
①y=10×1.05x;②y=20+x1.5;
③y=30+lg(x-1);④y=50.
答案 ①
解析 增长速度最快的函数为y=10×1.05x,故选①.
题型一 函数模型的增长差异
【例1】
(1)下列函数中,增长速度最快的是( )
A.y=2021xB.y=x2021
C.y=log2021xD.y=2021x
(2)四个自变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________.
答案
(1)A
(2)y2
解析
(1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快,故选A.
(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
思维升华 指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数.
【训练1】
函数f(x)=2x和g(x)=3x的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1 (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; (2)结合函数图象,比较f(3),g(3),f(2021),g(2021)的大小. 解 (1)C1对应的函数为g(x)=3x,C2对应的函数为f(x)=2x. (2)∵f(3)=8,g(3)=9,∴f(3) ∵f(4)=16,g(4)=12,∴f(4)>g(4),∴3 从图象上可以看出,当x>x2时,f(x)>g(x), ∴f(2021)>g(2021). 又g(2021)>g(3), ∴f(2021)>g(2021)>g(3)>f(3). 题型二 函数模型的选取 【例2】 科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案: 当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位: 万元)随投资收益x(单位: 万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%. (1)现有三个奖励函数模型: ①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100log20x+50,x∈[3000,9000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求? (2)根据 (1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金额达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元? 解 (1)由题意符合公司要求的函数f(x)在[3000,9000]上为增函数, 且对∀x∈[3000,9000],恒有f(x)≥100且f(x)≤ . ①对于函数f(x)=0.03x+8,当x=3000时,f(3000)=98<100,不符合要求; ②对于函数f(x)=0.8x+200为减函数,不符合要求; ③对于函数f(x)=100log20x+50,x∈[3000,9000], 显然f(x)为增函数,且当x=3000时,f(3000)>100log2020+50=150≥100;又因为f(x)≤f(9000) =100log209000+50<100log20160000+50=450; 而 ≥ =600,所以当x∈[3000,9000]时,f(x)max≤ . 所以f(x)≥ 恒成立;因此f(x)=100log20x+50为满足条件的函数模型. (2)由100log20x+50≥350得log20x≥3,所以x≥8000, 所以公司的投资收益至少要达到8000万元. 思维升华 不同的函数增长模型的特点 对于函数模型选择的问题,熟悉各种函数模型的增长特点是关键.一次函数模型的增长是匀速的,二次函数模型是对称的,一侧增,一侧减;指数型函数模型适合描述增长速度很快的变化规律;对数型函数模型比较适合描述增长速度平缓的变化规律;幂型函数模型介于指数型函数模型和对数型函数模型之间,适合描述不快不慢的变化规律. 【训练2】 某汽车制造商在2021年初公告: 公司计划2021年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示: 年份 2018 2019 2020 产量(万) 8 18 30 如果我们分别将2018,2019,2020,2021年定义为第一、二、三、四年,现在你有两个函数模型: 二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1).哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系? 解 建立生产量y与年份x的函数,可知函数图象必过点(1,8),(2,18),(3,30). (1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点的坐标代入, 可得 解得a=1,b=7,c=0, 则f(x)=x2+7x, 故f(4)=44,与计划误差为1. (2)构造指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1), 将点的坐标代入可得 解得a= ,b= ,c=-42, 则g(x)= × -42, 故g(4)= × -42=44.4,与计划误差为1.4. 由 (1) (2)可得f(x)=x2+7x能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系. 1.掌握4类不同增长的函数模型 (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型. (2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型. (3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型. (4)增长速度平稳的函数模型是幂型函数模型. 2.注意1个易错 实际应用题易忘记定义域和作答. 一、选择题 1.下表是函数值y随自变量x变化而变化的一组数据,它最可能的函数模型是( ) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型B.幂函数模型 C.指数函数模型D.对数函数模型 答案 A 解析 根据已知数据可知自变量每增加1函数值增加2,因此函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型. 2.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t的数据,将其整理得到如图所示的图形.下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是( ) A.y=2tB.y=2t2C.y=t3D.y=log2t 答案 D 解析 由图知该函数可能是y=log2t.故选D. 3.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台,第二个月销售了200台,第三个月销售了400台,第四个月销售了790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4,x∈N*)之间关系的是( ) A.y=100xB.y=50x2-50x+100 C.y=50×2xD.y=100x 答案 C 解析 将数据代入各函数中,易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应. 4.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( ) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A.y=2x-2B.y= (x2-1) C.y=log2xD.y=2x 答案 B 解析 由表格可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大的越来越快,分析选项可知B符合,故选B. 5.2003年至2015年河北省电影放映场次(单位: 万次)的情况如图所示,下列函数模型中最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是( ) A.f(x)=alnx+bB.f(x)=aex+b C.f(x)=eax+bD.f(x)=ax2+bx+c 答案 A 解析 由图象可得这13年间电影放映场次逐年变化规律是随着x的增大,f(x)逐渐增大,图象逐渐上升.对于A,a>0时,为“上凸函数”,不符合图象的特征;a<0时,为单调递减函数,不符合图象的特征;对于B,取a>0,b>0,可得满足条件的函数;对于C,取a>0,b>0,可得满足条件的函数;对于D,f(x)=ax2+bx+c,取a>0,- <0,可得满足条件的函数. 二、填空题 6.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四年的年产量f(x)(单位: 万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下: x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.62 7.00 8.86 则f(x)近似符合以下三种函数模型之一: ①f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a;③f(x)=x2+b.你认为最适合的函数模型的序号是________. 答案 ① 解析 若模型为②,则f (1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此时f (2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与表格中的数据相差太大,不符合;若模型为③,则f (1)=1+b=4,解得b=3,于是f(x)=x2+3,此时f (2)=7,f(3)=12,f(4)=19,与表格中的数据相差太大,不符合;若模型为①,则根据表中数据得 即 解得 经检验是最适合的函数模型. 7.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y=a·0.5x+b,现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件,则此工厂3月份生产该产品________万件. 答案 1.75 解析 由题意得 解得 ∴y=-2×0.5x+2, ∴3月份该产品的产量为 y=-2×0.53+2=1.75(万件). 8.某新能源汽车公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2018年(记为第1年)全年投入研发资金5300万元,在此基础上以后每年投入的研发资金比上一年增长8%,则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是________(参考数据: lg1.08≈0.03,lg5.3≈0.72,lg7≈0.85). 答案 2023 解析 设从第n年开始超过7000万元, 则5300×(1+8%)n-1>7000, 即(n-1)lg1.08>lg7-lg5.3, n-1> ≈ ≈4.3,取n=5,又2018+5=2023, 因此开始超过7000万元的年份是2023年. 三、解答题 9.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现: 该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减. (1)下列几个模拟函数中: ①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,单位: 千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位: L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适? 说明理由. (2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2L;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5L,把 (1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少? 解 (1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.而②③④表示的函数在区间上是单调函数,所以②③④都不合适,故用①来模拟比较合适. (2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2L;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5L,把x=1,y=2;x=4,y=5代入到y=ax2+bx,得 解得a=- ,b= ,所以函数解析式为y=- x2+ x(x∈[0.5,8]). 因为y=- x2+ x=- + ,所以当x= 时,年人均A饮料的销售量最多是 L. 10.某工厂生产一种产品,根据预测可知该产品的产量平稳增长,记2015年为第1年,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示: x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.52 7.00 8.49 现有三种函数模型: f(x)=ax+b,f(x)=a·2x+b,f(x)=log0.5x+a (1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取x=1,3这两年的数据求出相应的函数解析式; (2)因受市场环境的影响,2021年的年产量估计要比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,估计2021年的年产量. 解 (1)符合条件的函数模型是f(x)=ax+b; 若模型为f(x)=a·2x+b, 由已知得 ∴ a= ,b=3, ∴f(x)= ×2x+3, ∴f (2)=5,f(4)=11,与已知差距较大; 若模型为f(x)=log0.5x+a,f(x)为减函数,与已知不符; 若模型为f(x)=ax+b,由 ∴ a= ,b= , ∴f(x)= x+ ,∴f (2)=5.5,f(4)=8.5,与已知符合较好.∴相应的函数为f(x)= x+ . (2)2021年预计年产量为f(7)= ×7+ =13, 13×(1-30%)=9.1, 所以估计2021年产量应为9.1万件. 11.(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为: f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),以下说法正确的是( ) A.当x>1时,乙走在最前面 B.当0 C.丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面 D.如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲 答案 BCD 解析 f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1)相应的函数模型分别是指数型函数,二次函数,一次函数和对数型函数模型.当x=5时,f1(5)=31,f2(5)=25,∴A不正确;根据四种函数的变化特点,对数型函数的变化是先快后慢,当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合,从而可知当0 12.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,现给某病人静脉注射了该药物2500mg,设经过x个小时后,药物在病人血液中的量为ymg. (1)y与x的关系式为________; (2)当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上时,才有疗效;而低于500mg时,病人就有危险.则要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过________小时(精确到0.1). (参考数据: 0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2,0.89.9≈0.1) 答案 (1)y=2500×0.8x (2)7.2 解析 (1)由题意知,该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,给某病人注射了该药物2500mg,经过x个小时后,药物在病人血液中的量为y=2500×(1-20%)x=2500×0.8x(mg),即y与x的关系式为y=2500×0.8x. (2)当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上时,才有疗效,而低于500mg时,病人就有危险,∴令2500×0.8x≥500,即0.8x≥0.2.∵0.87.2≈0.2,y=0.8x是单调递减函数,∴x≤7.2, ∴要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过7.2小时. 13.假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式,其中P1是按直线上升的房价,P2是按指数增长的房价,t是2002年以来经过的年数. t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 40 P2/万元 20 40 (1)求函数P1=f(t)的解析式; (2)求函数P2=g(t)的解析式; (3)完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格增长方式的差异. 解 (1)因为P1是按直线上升的房价,设f(t)=kt+b(k≠0),t≥0, 由f(0)=k·0+b=20,f(10)=k·10+b=40, 可得k=2,b=20,即P1=2t+20,t≥0. (2)因为P2是按指数增长的房价,设g(t)=a0at(a>0且a≠1),t≥0, 由g(0)=a0a0=20,g(10)=a0a10=40, 可得a0=20,a=2 ,即P2=20×2 ,t≥0. (3)由 (1)和 (2)知,当t=5时,P1=30,P2=20 ; 当t=15时,P1=50,P2=40 ;当t=20时,P1=60, P2=80, 则表格如下: t 0 5 10 15 20 P1/万元 20 30 40 50 60 P2/万元 20 20 40 40 80 则图象为: 根据表格和图象可知: 房价按函数P1=f(t)呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度;按函数P2=g(t)呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例. 14.安徽怀远石榴(Punicagranatum)自古就有“九州之奇树,天下之名果”的美称,今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查,了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标,准备制定激励销售人员的奖励方案: 在销售利润超过6万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位: 万元)随销售利润x(单位: 万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识设计了如下函数模型,其中符合合作社要求的是( ) (参考数据: 1.015100≈4.432,lg11≈1.041) A.y=0.04xB.y=1.015x-1 C.y=tan D.y=log11(3x-10) 答案 D 解析 对于函数: y=0.04x,当x=100时,y=4>3不合题意; 对于函数: y=1.015x-1,当x=100时,y=3.432>3不合题意; 对于函数: y=tan ,不满足递增,不合题意; 对于函数: y=log11(3x-10),满足x∈(6,100]时,函数为增函数, 且y≤log11(3×100-10)=log11290
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 821 几个函数模型的比较 几个 函数 模型 比较
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)