高考数学文新课标版考前冲刺复习第2部分专题四 立体几何 第2讲 空间点线面的位置关系.docx
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高考数学文新课标版考前冲刺复习第2部分专题四立体几何第2讲空间点线面的位置关系
第2讲 空间点、线、面的位置关系
空间线面位置关系的判断[学生用书P41]自主练透 夯实双基
空间线面位置关系判断的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题;
(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.
[题组通关]
1.(2016·西宁模拟)对于三个不同的平面α,β,γ和四条不同的直线a,b,m,n,下列命题中为真命题的是( )
A.若a⊥m,a⊥n,m⊂α,n⊂α,则a⊥α
B.若a∥b,b⊂α,则a∥α
C.若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b
D.若a⊂β,b⊂β,a∥α,b∥α,则β∥α
C [解析]对于A,只有m,n相交时结论才成立;对于B,还有可能a⊂α;对于D,只有当a,b相交时结论才成立;对于C,该结论是两平面平行的性质定理,是真命题.故选C.
2.(2016·大连双基检测)已知互不重合的直线a,b,互不重合的平面α、β、γ,给出下列四个命题,错误的命题是( )
A.若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥b
B.若α⊥β,a⊥α,b⊥β,则a⊥b
C.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则a⊥α
D.若α∥β,a∥α,则a∥β
D [解析]构造一个长方体ABCDA1B1C1D1.对于D,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,A1B1∥平面ABCD⇒/A1B1∥平面A1B1C1D1.
3.(2016·石家庄教学质量检测
(二))设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若m⊂α,n∥α,则m∥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;③若α∩β=n,m∥n,则m∥α,且m∥β;④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2D.3
B [解析]①m∥n或m,n异面,故①错误;②根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知②正确;③m∥α或m⊂α,m∥β或m⊂β,故③错误;④根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知④错误,所以真命题的个数为1,故选B.
判断空间线面位置关系应注意的问题
解决空间点、线、面位置关系的组合判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.
空间平行、垂直关系的证明[学生用书P42]数学思想 活学活用
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理:
a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理:
a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理:
a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理:
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理:
m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理:
a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理:
a⊂β,a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理:
α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
如图,
在四棱锥PABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【证明】
(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE.
所以四边形ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD,而且四边形ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD.
由
(1)知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点,
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE,EF∩BE=E,
所以CD⊥平面BEF.
因为CD⊂平面PCD,
所以平面BEF⊥平面PCD.
(1)平行关系及垂直关系的转化
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.
(2)思想方法
①本例在证明线面垂直、线面平行、面面垂直时,采用了转化化归思想.
②利用转化化归思想还可以解决本专题中的距离等问题.
[题组通关]
1.(2016·高考山东卷)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.
(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:
AC⊥FB;
(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:
GH∥平面ABC.
[证明]
(1)因为EF∥DB,
所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.
因为AE=EC,D为AC的中点,
所以DE⊥AC.
同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE=D,
所以AC⊥平面BDEF,
因为FB⊂平面BDEF,
所以AC⊥FB.
(2)设FC的中点为I,连接GI,HI.
在△CEF中,因为G是CE的中点,
所以GI∥EF.
又EF∥DB,所以GI∥DB.
在△CFB中,因为H是FB的中点,
所以HI∥BC,
又HI∩GI=I,
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI,
所以GH∥平面ABC.
2.(2016·高考江苏卷)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
[证明]
(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.
又A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE,
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
平面图形的翻折问题[学生用书P43]共研典例 类题通法
1.将平面图形沿其中一条或几条线段折起,使其成为空间图形,这类问题称为平面图形翻折问题.常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合来命题.
2.一般地翻折后还在同一个平面上的图形的性质不发生变化,不在同一个平面上的图形的性质发生变化.
(2016·高考全国卷甲)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
(1)证明:
AC⊥HD′;
(2)若AB=5,AC=6,AE=
,OD′=2
,求五棱锥D′ABCFE的体积.
【解】
(1)证明:
由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得
=
,故AC∥EF.
由此得EF⊥HD,EF⊥HD′,所以AC⊥HD′.
(2)由EF∥AC得
=
=
.
由AB=5,AC=6得DO=BO=
=4.
所以OH=1,D′H=DH=3.
于是OD′2+OH2=(2
)2+12=9=D′H2,
故OD′⊥OH.
由
(1)知,AC⊥HD′,又AC⊥BD,BD∩HD′=H,所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′.
又由OD′⊥OH,AC∩OH=O,所以OD′⊥平面ABC.
又由
=
得EF=
.
五边形ABCFE的面积S=
×6×8-
×
×3=
.
所以五棱锥D′ABCFE的体积V=
×
×2
=
.
平面图形翻折问题的求解方法
(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.
(2)在解决问题时,要综合考虑翻折前后的图形,既要分析翻折后的图形,也要分析翻折前的图形.
[跟踪训练]
如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F分别在线段BC,AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起,记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.
(1)求证:
NC∥平面MFD;
(2)若EC=3,求证:
ND⊥FC;
(3)求四面体NEFD体积的最大值.
[解]
(1)证明:
因为平行四边形MNEF和EFDC都是矩形,
所以MN∥EF,EF∥CD,MN=EF=CD,
所以MN
CD.
所以四边形MNCD是平行四边形,所以NC∥MD.
因为NC⊄平面MFD,MD⊂平面MFD,
所以NC∥平面MFD.
(2)证明:
连接ED,交FC于点O.
因为平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,平面MNEF∩平面ECDF=EF,NE⊂平面MNEF,所以NE⊥平面ECDF.
因为FC⊂平面ECDF,
所以FC⊥NE.
因为EC=CD,
所以四边形ECDF为正方形,
所以FC⊥ED.
又因为ED∩NE=E,ED,NE⊂平面NED,
所以FC⊥平面NED.
因为ND⊂平面NED,所以ND⊥FC.
(3)设NE=x,
则FD=EC=4-x,其中0<x<4,
由
(2)得NE⊥平面FEC,
所以四面体NEFD的体积为VNEFD=
S△EFD·NE=
x(4-x).
所以VNEFD≤
=2,
当且仅当x=4-x,即x=2时,四面体NEFD的体积最大,最大值为2.
课时作业[学生用书P124(独立成册)]
1.(2016·贵州适应性考试)已知α,β表示两个不同平面,a,b表示两条不同直线,对于下列两个命题:
①若b⊂α,a⊄α,则“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件;
②若a⊂α,b⊂α,则“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要条件.判断正确的是( )
A.①,②都是真命题
B.①是真命题,②是假命题
C.①是假命题,②是真命题
D.①,②都是假命题
B [解析]若b⊂α,a⊄α,a∥b,则由线面平行的判定定理可得a∥α,反过来,若b⊂α,a⊄α,a∥α,则a,b可能平行或异面,则b⊂α,a⊄α,“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件,①是真命题;若a⊂α,b⊂α,α∥β,则由面面平行的性质可得a∥β,b∥β,反过来,若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α,β可能平行或相交,所以,若a⊂α,b⊂α,则“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充分不必要条件,②是假命题,选项B正确.
2.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )
A.α⊥β且m⊥α B.α⊥β且m∥α
C.m∥n且n⊥βD.m⊥n且n∥β
C [解析]依题意,对于A,注意到直线m可能平行或位于平面β内,因此选项A不正确;对于B,注意到直线m可能平行或位于平面β内,因此选项B不正确;对于C,由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”得知,C正确;对于D,注意到直线m可能平行或位于平面β内,因此选项D不正确.综上所述,选C.
3.设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( )
A.若AC与BD共面,则AD与BC共面
B.若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直线
C.若AB=AC,DB=DC,则AD=BC
D.若AB=AC,DB=DC,则AD⊥BC
C [解析]A中,若AC与BD共面,则A,B,C,D四点共面,则AD与BC共面;B中,若AC与BD是异面直线,则A,B,C,D四点不共面,则AD与BC是异面直线;C中,若AB=AC,DB=DC,AD不一定等于BC;D中,若AB=AC,DB=DC,可以证明AD⊥BC.
4.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出四个命题:
①若α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则α⊥β;
②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
④若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.
其中正确的命题是( )
A.①②B.②③
C.①④D.②④
B [解析]两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况,①不正确;垂直于同一条直线的两个平面平行,②正确;当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时,它们所成的二面角为直二面角,故③正确;当两个平面相交时,分别与两个平面平行的直线也平行,故④不正确.
5.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P,Q分别是AA1,A1D1,CC1,BC的中点,给出以下四个结论:
①A1C⊥MN;②A1C∥平面MNPQ;③A1C与PM相交;④NC与PM异面.其中不正确的结论是( )
A.①B.②
C.③D.④
B [解析]作出
过M,N,P,Q四点的截面交C1D1于点S,交AB于点R,如图中的六边形MNSPQR,显然点A1,C分别位于这个平面的两侧,故A1C与平面MNPQ一定相交,不可能平行,故结论②不正确.
6.(2016·高考全国卷乙)平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
A [解析]如图,过点A补作一个与正方体ABCDA1B1C1D1相同棱长的正方体,易知平面α为平面AF1E,则m,n所成角为∠EAF1,因为△EAF1为正三角形,所以sin∠EAF1=sin60°=
,故选A.
7.
如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:
①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是________.
[解析]对于①,因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.因为AB为⊙O的直径,所以BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC;对于②,因为点M为线段PB的中点,所以OM∥PA,因为PA⊂平面PAC,所以OM∥平面PAC;对于③,由①知BC⊥平面PAC,所以线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故①②③都正确.
[答案]①②③
8.(2016·兰州实战考试)已知α,β是两个不同的平面,有下列三个条件:
①存在一个平面γ,γ⊥α,γ∥β;
②存在一条直线a,a⊥β;
③存在两条垂直的直线a,b,a⊥β,b⊥α.
其中,所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是________.
[解析]对于①,存在一个平面γ,γ⊥α,γ∥β,则α⊥β,反之也对,即“存在一个平面γ,γ⊥α,γ∥β”是“α⊥β”的充要条件,所以①对;对于③,存在两条垂直的直线a,b,则直线a,b所成的角为90°,因为a⊥β,b⊥α,所以α,β所成的角为90°,即α⊥β,反之也对,即“存在两条垂直的直线a,b,a⊥β,b⊥α”是“α⊥β”的充要条件,所以③对.
[答案]①③
9.如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将△ADE沿AE折起.则下列说法正确的是________.(填上所有正确说法的序号)
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC;
②不论D折至何位置都有MN⊥AE;
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB;
④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.
[解析]
如图,设Q,P分别为CE,DE的中点,可得四边形MNQP是矩形,所以①②正确;不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN与AB是异面直线,不可能MN∥AB,所以③错;当平面ADE⊥平面ABCE时,可得EC⊥平面ADE,故EC⊥AD,④正确.
[答案]①②④
10.用一个边长为
的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将半径为1的鸡蛋(视为球体)放入其中,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为________.
[解析]由题意知折起后原正方形顶点距离最远的两个相差为1,如平面图中的DC,折起后原正方形顶点到底面的距离为
,如平面图中的BC,由图知鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离OF=
+
=
.
[答案]
11.(2016·大连模拟)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为3的菱形,∠ABC=60°.PA⊥平面ABCD,且PA=3.E为PD的中点,F在棱PA上,且AF=1.
(1)求证:
CE∥平面BDF;
(2)求三棱锥PBDF的体积.
[解]
(1)证明:
如图所示,取PF的中点G,连接EG,CG.连接AC交BD于点O,连接FO.
由题可得F为AG的中点,O为AC的中点,
所以FO∥GC.
因为G为PF的中点,E为PD的中点,
所以GE∥FD.
又GE∩GC=G,GE,GC⊂平面GEC,FO∩FD=F,FO,FD⊂平面FOD,
所以平面GEC∥平面FOD.
因为CE⊂平面GEC,所以CE∥平面BDF.
(2)因为PA⊥平面ABCD,所以PA是三棱锥PABD的高,又S△ABD=
×3×3×
=
,
所以VPABD=
×S△ABD×PA=
,同理VFABD=
×S△ABD×FA=
.
所以VPBDF=VPABD-VFABD=
.
12.(2016·东北四市教研联合体模拟)如图,已知多面体ABCDEF中,ABCD为菱形,∠ABC=60°,AE⊥平面ABCD,AE∥CF,AB=AE=1,AF⊥BE.
(1)求证:
AF⊥平面BDE;
(2)求多面体ABCDEF的体积.
[解]
(1)证明:
连接AC交BD于O,则BD⊥AC,
又AE⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥AE,
又AC∩AE=A,
所以BD⊥平面EACF,
又AF⊂平面EACF,
所以BD⊥AF.
又AF⊥BE,BD∩BE=B,
所以AF⊥平面BDE.
(2)连接EO,由
(1)知AF⊥平面BDE,
又EO⊂平面BDE,
所以EO⊥AF,
所以∠AEO=∠CAF,
所以tan∠AEO=tan∠CAF=
=
,
所以FC=
,
设所求多面体的体积为V,
则V=VBACFE+VDACFE=
.
13.(2016·湖南东部六校联考)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=
CD=1.现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF,然后沿边AD将矩形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直.
(1)求证:
BC⊥平面BDE;
(2)若点D到平面BEC的距离为
,求三棱锥FBDE的体积.
[解]
(1)证明:
在矩形ADEF中,ED⊥AD,
因为平面ADEF⊥平面ABCD,
所以ED⊥平面ABCD,
所以ED⊥BC.
又在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,∠BDC=45°,
所以BC=
,
在△BCD中,BD=BC=
,CD=2,
所以BD2+BC2=CD2,
所以BC⊥BD,且BD∩ED=D,
所以BC⊥平面BDE.
(2)由
(1)得,平面DBE⊥平面BCE,作DH⊥BE于点H,则DH⊥平面BCE,
所以DH=
.在△BDE中,BD·DE=BE·DH,
即
·DE=
(
),
解得DE=1.
所以VFBDE=VBEFD=
×
×1×1×1=
.
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