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分数再认识
单位“1”的困惑
(2010-04-2419:
15:
36)
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标签:
教育
自然数
分数
三个苹果
物体
法中
杂谈
分类:
工作日记
是听了张老师的课以后,对单位“1”有了新的更深刻的认识。
一般老师在讲《分数的意义》的时候,都会强调,我们可以把一个物体,一个计量单位,或者多个物体看做一个整体,都可以叫作:
单位“1”,然后把它平均分,从当中取若干分数,得到分数。
比如有三个苹果,我们把他们看做一个整体,平均分成三份,取其中一份,就是1/3。
当单独的个体组合起来看做一个整体,再去找分数的时候不知道学生是不是都能理解?
张老师首先也把三个苹果看做一个整体,然后问学生那么六个呢?
十二个呢?
学生分别得到整数2和4。
此时学生还没有接触到分数,这是开始理解认识什么是单位“1”,为什么叫作单位“1”,从中知道,单位“1”就是一个计量单位,有几个单位“1”就是几。
比如一个月饼看做单位“1”的时候,一般老师只会说,平均分成四份,取其中的三份,就是3/4,可是没有说过,这时候,两个月饼就是2,我觉得在刚刚接触分数的时候确实没有必要讲,因为当时都是针对独个的物体,可是当我们面对多个物体的时候,难道“1”的概念不是改变了么?
这时候,我们本来脑海中的“1”已经不是原来的“1”了,我们也用“1”来表示3个,4个,甚至更多,一个班如果是单位“1”,两个班不就是2么?
如果不够单位“1”的时候,我们就用分数表示。
可是YOYO不赞成这么讲。
说我们一般把一堆物体看做一个整体,平均分成若干份,取其中几分就是几分之几。
没必要讲整数。
突然课件做不下去了,课也备不下去了。
打电话求助,找师傅,找江办,没有一个人接电话,毕竟今天休息时间。
XX什么是单位“1”。
也许,我应该上一堂更加传统的课?
因为所谓创新,我已经吃太多亏了……对于名师,创新是风范,是引领,对于我们这种小角色,来点突然的新的别人没有见过的东西,那很难有人说是大胆创新,很可能是错误,是不应该,是多余,当然,对于新人来说,那就更加勿庸置疑了:
那是,没经验。
我当然也是没经验,现在还有的选择,唯一保险做法就是,求教领导,再上,按指示来。
师傅回了电话,意思同YOYO一样,连小郭同志都赞成YOYO的说法,于是又重新备课。
想来张老师虽然是全国名师,那样上课也是颇具勇气的,当然,他也说是共同探讨。
但是一样获得一致好评。
所以我说,作为一个普通老师,还是不要做此挑战的好。
死心塌地的决定好了,按最传统方式上。
单位一
定义
算术概念,也称整体“1”。
目前没有形式化定义,只有广泛存在于分数教学实践中的描叙性定义:
把一个完整的量(比如一段路程、一项工程、一筐苹果、一本书、一段时间等)或一个数(正数)视为一个整体或一个单位,并赋予自然数1的特性,可记为“1”。
数学意义
①.原有量的单位(指组成原有量的更小量,如一段路程3小时走完,平均每小时走的路程就是一段路程的单位。
)或数的单位能转换成比“1”更小的单位,于是有分数定义:
把单位一(或整体“1”)平均分成若干份表示其中的一份或几份的数是分数。
②.可以以“1”为单位重新定义一个与原有量同单位的其它量,并用分数表示。
这个分数也常常被称为那个其它量的对应分率。
通常把①产生分数的方法称为切分法,把②产生分数的方法称为量比法。
切分法中“1”处于分子位置,量比法中“1”处于分母位置。
例子
例1.把2米平均分成3份,问每份有多少米?
用切分法:
2÷3=2/3(米),“2米”是单位一,是分子。
例2.问2米是3米的多少?
用量比法:
2÷3=2/3,“3米”是单位一,是分母,2/3是3米为“1”时2米的对应分率。
例3.把2米平均分成3份,问每份是2米的多少?
方法一,先按例1的方法将2米切分成每份是2/3米,再用量比法法,求2/3米是2米的多少:
2/3÷2=1/3。
方法二,2米恒为“1”,“1”=1,用切分法:
1÷3=1/3。
0和单位一
0在量比法中不能为单位一,但在切分法中可以为单位一。
寻找单位一
单位一在试题中通常在“比”、“是”、“占”、“相当于”等词的后面,但不绝对。
转换单位一
方法通常是取倒数,如:
2米是3米的2/3,则3米是2米的3/2。
是将3米为单位一转换成2米为单位一。
单位一和自然数1
单位一和自然数1的区别可参考如下观点:
对于任意有限集合N,单元素集合{a},定义{N}的基数是单位一,{a}的基数是自然数1。
分数的意义”教学实录1(张齐华)一、由1到“1”
师:
(板书:
1)认识吗?
瞧,老师往这儿一站,几个人?
生:
(齐)1个人。
师:
能用1这个数来表示吗?
想想我们周围,还有哪些物体的数量也可以用1来表示?
(生答:
一个苹果、一张桌子、一把直尺……)
师:
看来,能用1表示的物体还真不少。
不过,像这样一个苹果、一张桌子、一把直尺能用1来表示,我想一年级的同学一定也会。
咱们都几年级啦?
五年级学生,就应该有五年级的认识水平嘛。
想想看,除了刚才同学们所列举的这一个物体可以用1来表示,还有什么也能用1来表示?
看看谁能率先超越!
生:
(略有迟疑)一个班级也能用1来表示。
师:
嗯,一个班级可不止1个学生哦,40多个同学,能用1来表示吗?
谁来评判评判?
生:
我觉得能!
你想呀,尽管是40多个同学,但我们是一个班集体。
既然是一个整体,当然可以用1来表示啦。
师:
说得真好。
掌声!
(师带头鼓掌)40多个同学一旦看做一个整体,自然就可以用1来表示了。
感谢你的思考,一下子给我们打开了局面。
谁接着来?
生:
一群羊也能用1来表示。
师:
呵,思维很有跳跃性嘛,一下就从一群人联想到了一群羊。
(生笑)
生:
我觉得一堆石子也能用1来表示。
生:
一束花也能用1来表示。
师:
这样下去,能说完吗?
(生:
不能)看来,小小的1还真是无所不包。
(师在1上加双引号)不过,这时的l和我们一年级时所认识的1一样吗?
生:
不一样。
以前认识的1,表示的是1个物体,比如1个人、1瓶水,但现在这个1不但可以表示1个物体,还可以表示由一些物体组成的整体。
师:
说得真好!
1的内涵发生了变化,变得更丰富了。
二、揭示单位“1”
师:
既然这样,(出示3个苹果)这儿有3个苹果,能看做“1”吗?
生:
(齐)能。
师:
可我怎么看都觉得像3呀。
有没有什么办法,能让我们一眼看上去就像个“1”?
生:
装到一个盒子卫,就像“1”了。
生:
给它们套个圈,就成了一个整体,也就可以用“1”来表示了。
(师课件演示:
将3个苹果圈成一个整体)
师:
3个苹果可以看做“1”,那么6个苹果呢?
9个、12个苹果呢?
瞧,小小的“1”多神奇呀。
不过,话也得说回来。
一旦我们把3个苹果看做“1”了,那么,(课件出示:
6个苹果)6个苹果通常就不再看做“1”了。
想一想:
这时的6个苹果又该用哪个数来表示呢?
生:
(齐)应该用2来表示。
师:
为什么?
生:
3个苹果看做“1”,现在有2个这样的“1”,当然就是2了。
生:
3个苹果看做“1”,6里面有2个这样的“1”,2个“1”就是2。
(师课件演示:
6个苹果,每3个圈一圈)
师:
(课件出示:
12个苹果一字排开)现在呢?
生:
应该用4来表示。
生:
因为3个苹果看做了“1”,12里面有4个这样的“1”。
生:
4个“1”就是4。
师:
说得真好!
如果有5个这样的“1”呢?
8个这样的“1”呢?
10个这样的“1”呢?
一句话,有几个这样的“1”——
生:
(齐)就可以用几来表示。
师:
这样看来,在这里,3个苹果所看做的“1”,其实不就成了一个计量的单位?
(生点头以示赞同)正因为如此,数学上,我们就把这样的“1”又叫单位“1”。
(补充板书:
单位)想想看,为什么会叫单位“1”呢?
生:
因为有几个“1”就是几,它就是一个计量的单位。
师:
说得真好!
可别小看这样的单位“1”,今天的学习,我们就将从这里开始。
三、沟通“1”、整数、分数的联系
(师课件出示1个月饼)
师:
能把这1个月饼看做单位“1”吗?
生:
(齐)能。
师:
把1个月饼看做单位“1”,那么,下面这些月饼,(课件出示5个月饼)又该用哪个数来表示呢?
生:
用5来表示。
生:
1个月饼看做单位“1”,有5个这样的单位“1”,就可以用5来表示。
(师课件出示3个月饼)
师:
现在呢?
生:
用3来表示。
(师课件出示1个月饼)
师:
现在呢?
生:
现在只能用1来表示了,因为只有1个单位“1”了。
(师课件出示下图)
师:
那现在?
生:
(齐)用3/4来表示。
师:
奇怪,同样都是月饼,为什么刚才大家都用整数来表示,而现在却选择了分数?
生:
因为刚才不止1个月饼,所以用整数来表示。
现在还不满1个月饼,只能用分数表示。
生:
把1个月饼看做单位“1”,满几个单位“1”就用几来表示。
现在还不满一个单位“厂,当然只能用分数来表示了。
师:
有道理!
不过,分数有很多,大家为什么都选择用3/4来表示呢?
生:
因为它被分成了4份,取了其中的3份。
生:
不对,是平均分成了4份。
师:
更准确了!
不过,你们在说谁呀?
生:
是这个月饼。
师:
也对,但还不够专业。
生:
是单位“1”。
师:
没错。
这回不但不到1个单位“1”,而且还把单位“1”——
生:
平均分成了4份,取了其中的3份。
当然只能用3/4来表示了。
师:
回顾刚才的学习,同学们一定已经发现,把1个月饼看做单位“1”,有几个单位“1”,就是几;而不足一个单位“1”的,就可以用分数来表示。
四、建构3/4的意义
(师课件出示下图)
师:
继续来看,认识吗?
生:
1个长方形、1米、8个小圆片。
师:
没错,它们也能看做单位“1”吗?
生:
能!
师:
把1个长方形、1米这样的长度单位、8个圆片组成的整体分别看做单位“1”,下面的括号里又该分别用怎样的数来表示呢?
(课件出示下图)
想不想自己动手试一试?
(生试填,师巡视并作指导。
交流结果时,师引导学生就每组图的最后一幅,具体说一说思考的过程,丰富学生对二的感性认识)
师:
继续观察四幅图。
如果整体来看一看,你有没有什么新发现?
生:
无论把什么看做单位“1”,只要满几个单位“1”,就可以用几来表示。
不满1个单位“1”的,只能用分数表示。
生:
我还发现,每幅图的最后一个都可以用3/4来表示。
(顺着学生的发言,师课件出示下图)
师:
的确都可以用3/4来表示。
不过,仔细观察每幅图,单位“1”一样吗?
生:
(齐)不一样。
师:
单位“1”各不相同,为什么涂色部分都可以用3/4表示呢?
生:
因为它们都是把单位“1”平均分成4份,表示了这样的3份。
生:
尽管单位“1”不同,但它们都是把单位“1”4等分后所取的3份,所以都可以用3/4表示。
师:
这样看来,能不能用3/4表示,与把什么看做单位“1”有没有什么关系?
生:
(齐)没有。
生:
就算把别的什么看做单位“1”,只要是把单位“1”平均分成4份,表示这样的3份,照样可以用3/4表示。
师:
既然能不能用3/4表示与单位“1”是什么没啥关系,那么,我们能不能就直接用0到1这样的一条线段来表示这里的每一个单位“1”?
生:
(稍作思考)能!
师:
把0到1这一段看做单位“1”,3/4该如何表示呢?
生:
把0到1这一段平均分成4份,再表示出这样的3份。
(结合学生的发言,师分步
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