六年级上册奥数试题第11讲圆柱体与圆锥体全国通用含答案.docx

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六年级上册奥数试题第11讲圆柱体与圆锥体全国通用含答案

第11讲  圆柱体与圆锥体

知识网络

如图1所示，把一个长方形以它的一边为固定轴旋转一周后，就形成一个圆柱。

圆柱上、下两个面叫做底面，底面是面积相等的两个圆。

两底面之间的距离叫做圆柱的高。

一般地，用r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高，用

表示圆柱的侧面积，

表示圆柱的全面积（或表面积），

表示圆柱的体积。

那么有

如图2所示，把一个直角三角形以它的一条直角边为固定轴旋转一周后，就形成一个圆锥。

在圆锥的侧面上，无论直角三角形的斜边旋围到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线。

圆锥的底面是圆，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。

一般地，用r 表示圆锥的底面半径，用h表示圆锥的高，用l表示圆锥侧面的母线长。

那么有

重点·难点

在本讲中，不仅要注意上讲所提到的四个重点，还必须注意到圆柱与圆锥之间的相互关系，即：

（1）圆锥体积等于和它等底等高的圆柱体积的

；圆柱体积等于和它等底等高的圆锥体积的3倍。

（2）圆锥体积比和它等底等高的圆柱体积小

；圆柱体积比和它等底等高的圆锥体积大2倍。

（3）如果圆锥和圆柱的体积和底面积相等，则圆锥高是圆柱高的3倍；如果是体积和高相等，则圆锥底面积是圆柱底面积的3倍。

学法指导

有关圆柱与圆锥的问题一般都是涉及圆柱和圆锥的体积或表面积，或者与它的侧面展开图有关的问题，因此认清物体的结构特征及圆柱和圆锥的有关基本数量的关系，是迅速、准确解决问题的关键。

经典例题

[例1]把一块长为15.8厘米，宽为8.4厘米，高为6厘米的长方体铝块和一块底面积直径为8.4厘米，高10厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为10厘米的圆锥形铝块，求这块圆锥形铝块的高是多少厘米？

思路剖析

要想求出圆锥体的高，必须确定它的体积，而圆锥体是用两个不同形状的几何体熔铸而成的，故圆锥体的体积就等于长方体的体积加上圆柱体的体积。

解答

长方体的体积为15.8×8.4×6=796.32（立方厘米）

圆柱体的体积为

（立方厘米）

设圆锥体的高为x厘米，则圆锥体的体积为

（立方厘米）

根据题意，圆锥体积等于长方体体积与圆锥体体积之和，列方程可得

即104.64x=1350.22

从而x=12.90（厘米）

答：

这块圆锥体铝块的高是12.90厘米。

[例2]一个圆柱体的底面周长和高相等，说明圆柱体的侧面展开是一个正方形。

从图3可以看出，表面积减少的部分（即阴影部分）实际上是高为2厘米的圆柱的侧面积，从而底面周长为62.8÷2=31.4（厘米）。

由底面周长可以求出底面半径，然后求出底面积，再求出原来圆柱体的体积。

解答

底面周长为62.8÷2=31.4（厘米）

从而底面半径为

所以圆柱体的体积为

答：

原来圆柱体的体积是2464.9立方厘米。

[例3]图4是一个珠宝箱的直观图，它的下部是一具棱长为20厘米的正方体，上部是圆柱体的一半。

求这个珠宝箱的表面积和体积。

思路剖析

这是一个由两个基本几何体组成的形体，因此将它拆分成两个部分分别来求体积和表面积。

这两个部分为：

上部的半圆柱体、下部的正方体。

解答

（1）先求这个珠宝箱的表面积：

将这个几何体的表面积分成两上部分：

一部分是圆柱表面积的一半，另一部分是正方体的5个面的面积之和。

由于正方体的棱长为20厘米，从而圆柱底面半径为10厘米，高为20厘米，因此圆柱的表面积为

，可得第一部分的表面积为1884÷2=942（平方厘米）；而第二部分的表面积为：

；故此珠宝箱的表面积为942+2000=2942（平方厘米）。

（2）再求这个珠宝箱的体积：

第一部分的体积为

；第二部分的体积为

；故此珠宝箱的体积为3140+8000=11140（立方厘米）。

答：

这个珠宝箱的表面积为2942平方厘米，体积为11140立方厘米。

[例4]如图5a所示，壁虎在一座油罐的下底边A处，它发现在自己的正上方，油罐上边缘的B处有一只害虫，壁虎决定捕捉这只害虫。

为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击。

请问；壁虎沿着螺旋线至少要爬行多少米才能捕到害虫？

思路剖析

为了找到最短路线，我们可以把圆柱的侧面沿AB剪开，展成一个平面（如图5b所示），在一个平面上两点间以直线段距离最短，因此连接AB，即为最短路线。

解答

将圆柱的侧面沿AB剪开，展成如图5b）所示的平面，连接AB即为最短路线，并且BC=5米，

答：

壁虎至少要爬行13米才能抓到害虫。

[例5]如图6所示，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。

已知正方体的棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求图中立体图形的体积。

思路剖析

将正方体内部挖空的部分填满，得到图7所示的形体，即图6中的立体图形的体积是正方体的体积减去图7所示的形体的体积，而该形体的体积可以看成一个“十”字形的体积和两个小圆柱的体积之和。

解答

正方体的体积为10×10×10=1000（立方厘米），“十”字形的体积为2×（4×4×10）-4×4×4=256（立方厘米），两个小圆柱的体积为

。

从而要求的立体图形的体积为V=1000-256-75.36=668.64（立方厘米）

[例6]有一个粮仓，它的上面是圆锥体，下面是圆柱体（如图8所示）。

已知圆柱的底面周长是18.84米，高4米，圆锥的高是0.9米，求这个粮仓的体积是多少立方米？

思路剖析

一般思路是将这个粮仓上下两部分的体积算出来，再求总的体积；但考虑到圆柱和圆锥的底面积相等，所以可以将圆锥折合成等体积等底面积的圆柱。

解答

☆解法一：

圆柱或圆锥底面的半径为18.84÷3.14÷2=3（米）

从而圆柱的体积为

圆锥的体积为

从而粮仓的体积为113.04+8.478=121.518（立方米）

☆解法二：

在保证底面积不变的前提下，将圆锥体转化成圆柱体，为了保持体积不变，新的圆柱体的高应当为圆锥体高的

，即0.3米，从而新的粮仓成为高为4+0.3=4.3（米）的圆柱体，并且与原粮仓的体积相等。

圆柱的底面半径为18.84÷3.14÷2=3（米）

从而原粮仓的体积=新粮仓的体积=

答：

这个粮仓的体积是121.518立方米。

[例7]一个正方体的纸盒中恰好能放入一个体积为628立方厘米的圆柱体（如图9所示），求这个纸盒的容积？

思路剖析

我们可以假设正方体的棱长，再用棱长表示出圆柱体的体积，从而求出棱长和立方（即立方体的体积）；也可以根据圆柱体和正方体的高一样，从而它们的体积比与它们的底面积相等。

解答

☆解法一：

设正方体的棱长为a厘米，从而圆柱体的高为a厘米，底面圆的直径为a厘米，由圆柱体的体积公式可得

☆解法二：

根据题意，圆柱体和正方体的高是相等的，因此，底面积和体积成比例关系。

设正方体的底面积为1，则圆柱体的底面积为

设正方体的体积为x立方厘米，那么

  从而x=800

答：

正方体纸盒的容积为800立方厘米。

点津

对本讲中的题要抓住其中的不变量，如图1的总体积不变；例3分成两部分后体积不变，表面积不变。

对一些有变化的量要明确了解变化的位置，如例2的侧面积和例4的侧面展开面。

对一些不规则的图形，如例3、例5、例6，则要求或割补、或填充，将之化成规则的图形。

总之要将图形尽量往我们比较熟悉的图形上化简，这样才能准确解出题来。

发展思维训练

1．在一只底面半径为20厘米的圆柱体小桶内，有一个直径为10厘米的圆柱形钢材浸在水中，当钢材从桶内取出后，桶内的水面下降了3厘米，则这段钢材的长为______厘米。

2．一个圆柱的侧面展开是一个正方形，这个正方形的周长是50.24厘米，则这个圆柱的体积是______立方厘米（得数保留两位小数）。

3．将一个棱长为20厘米的正方体，削成一个圆柱体，并且要使圆柱体的体积最大，则削去部分的体积是______立方厘米。

4．把一块长19厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体和一块棱长为7厘米的正方体铁块熔铸成一个底面周长为31.4厘米的圆柱体铁块，则这块圆柱体铁块的高是______厘米。

5．有一种饮料瓶的容积是30立方分米，其瓶身呈圆柱体（不包括瓶颈）。

现往瓶中装一些饮料，如图10所示，正放着时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米，问瓶中现有饮料多少立方分米？

6．从图样上剪下半径为30厘米的扇形，做成一个圆锥。

圆锥的底面直径是20厘米。

（1）求剪下的扇形的圆心角。

（2）求圆锥的表面积。

7．在一个底面直径为6厘米，高为10厘米的圆柱体的上下两个面的中心打通一个棱长为2厘米的长方体小孔，求打孔后的几何体的体积及表面积。

8．在一个化妆舞会上，如图11所示。

A是母线SB的三分之一分点，从A绕过圆锥侧面经进取短路线绕向B点拉一根绳子。

在绳子上面的部分，把圆锥染成红色；在绳子下面的部分，把圆锥侧面染成蓝色。

假设圆锥的母线长为30厘米，请问红色区域面积大还是蓝色区域面积大？

大多少？

参考答案

发散思维训练

1．解：

根据题意，桶内的水面下降了3厘米这部分的体积应该等于钢材的体积。

而这部分的体积是

，即钢材的体积是3768立方厘米，又钢材的底面积为

，从而这段钢材的长为3768÷78.5=48（厘米）。

2．解：

由于正方形的周长是50.24厘米，从而它的边长为50.24÷4=12.56（厘米），即圆柱体的高和底面周长均为12.56厘米，从而底面半径为12.56÷3.14÷2=2（厘米），因此圆柱体的体积为

3．解：

显然，只有当圆柱体的底面直径和高均为20厘米时，圆柱体的体积最大，削去部分的体积设为V，则有

即削去部分的体积为1720立方厘米。

4．解：

这块圆柱体铁块的体积等于长方体铁块和正方体铁块的体积之和。

由

，可知圆柱体铁块的体积为628立方厘米。

而它的底面半径为31.4÷3.14÷2=5（厘米），从而它的底面积为

，所以它的高为628÷78.5=8（厘米）。

5．解：

因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积也不变，所以空余部分的体积相等。

将正放与倒放的空余部分交换一下位置可以看出，饮料瓶的容积应当等于底面积不变、高为20+5=25（厘米）的圆柱体的体积，因此饮料占容积的

，所以瓶内有饮料

。

6．解：

设扇形的圆心角为n，则扇形的弧长为

；这弧长恰为圆锥的底面周长，从而

，解得n=120°。

。

答：

扇形的圆心角是120°，圆锥的表面积是1256平方厘米。

7．解：

答：

所求几何体的体积为242.6立方厘米，表面积为316.92平方厘米。

8．解：

由于圆锥形帽子的侧面展开图为四分之一圆，因此三角形

为直角三角形。

从图中可知红色区域为三角形SAB，蓝色区域为扇形去掉三角形SAB以外的部分。

先求红色区域的面积

：

由于SB=30厘米，

因此

再求蓝色区域

：

由于

由于

，所以蓝色区域的面积大于红色区域的面积，多的面积为406.5-300=106.5（平方厘米）。

答：

蓝色区域面积较大，且比红色区域面积大106.5平方厘米。