高考数学理模拟试题八.docx
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高考数学理模拟试题八.docx
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高考数学理模拟试题八
绝密★启用前
注意事项:
2019年高考模拟试题(八)
理科数学
时间:
120分钟分值:
150分
1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。
4、考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(CUA)B=()
A.{1,2,4}
B.{2,3,4}
C.{0,2,4}
D.{0,2,3,4}
2.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义域扩大到复数集,
π
i
建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,e3
模为()
表示的复数的
A.1B.
1C.
2
3D.π
23
3.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,7),若P(ξ<2)=P(ξ>4),则μ与D(ξ)的值分别为()
A.
μ=
3,D(ξ)=
B.
μ=
3,D(ξ)=7
C.μ=3,D(ξ)=7D.μ=3,D(ξ)=
π3
4.
已知cos(-x)=,则sin2x=()
45
A.
18B.
25
-24
25
C.
-725
D.
725
5.下列不等式一定成立的是()
A.lg(x2+1)>lgx(x>0)4
B.
1
x2+1
>1(x∈R)
第1页共6页
C.sinx+
1
sinx
≥2(x≠kπ,k∈Z)
D.x2+1≥2|x|(x∈R)
6.函数y=xcosx(-π≤x≤π)的图象可能是()
AB
CD
7.
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是底面ABCD上的动点,则(CE-CA1)⋅D1B1的最大值为()
A.
2B.1C.D.
2
a1
8.定义运算:
a3
a
=a1a4
4
-a2a3
,将函数f(x)=
sinωxcosωx
(ω>0)的图象向左平移2π个单位长度,
3
所得图象对应的函数为偶函数,则ω的最小值是()
A.
1B.
4
3C.
4
5D.7
44
9.数列{an}中,a1=1,an+1+an=(-2)n(n∈N*,n≥1),Sn是数列{an}的前n项和,则S10=()
A.-682
x2-2
B.682C.
-62
D.62
10.经过双曲线
4
y=1的右焦点的直线与双曲线交于两点A、B,若AB=4,则这样的直线有()条.
A.4B.3C.2D.1
11.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:
设f'(x)是函数y=f(x)的导数,f''(x)是
的f'(x)导数,若方程f''(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:
任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对
第2页共6页
称中心.设函数g(x)=1x3-1x2+3x-5
,则g(1
)+g(
2)+⋅⋅⋅+g(2018)=()
3212
2019
2019
2019
A.2019B.2018C.2017D.2016
2
12.已知椭圆C:
x
4
+
y2
3
=1,直线l:
x=4与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A,B
两点,点C在直线l上,则“BC∥x轴”是“直线AC过线段EF中点”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题:
把答案填在相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).
13.已知点P在曲线C:
y=
4
ex+1
上,则曲线C在P处切线的倾斜角的取值范围是.
14.《中国诗词大会》亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.因为前四场播出后反响很好,所以节目组决定《将进酒》、《ft居秋暝》、
《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场,并要求《将进酒》与《望岳》相邻,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《ft居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻,且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有种.(用数字作答)
15.已知球O是正三棱锥A-BCD(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)的外接球,BC=3,
AB=2,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围
是.
16.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列四个论断中正确的是.(把你认为是正确论断的序号都写上)
①若sinA=cosB,则B=π;
ab4
②若B=πb=2,c=,则满足条件的三角形共有两个;
4
③若a,b,c成等差数列,sinA,sinB,sinC成等比数列,则△ABC为正三角形;
④若a=5,c=2,△ABC的面积S
△ABC
=4,则cosB=3.
5
第3页共6页
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.(本小题满分12分)
单调递增数列{a}的前n项和为S,且满足4S=a2+4n.
nnnn
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令b=an,求数列{b}的前n项和T.
n2nnn
18.(本小题满分12分)
某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为2,中将可以获得2
3
分;方案乙的中奖率为2,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖
5
中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(Ⅰ)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率;
(Ⅱ)若小明,小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:
他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?
第4页共6页
19.(本小题满分12分)
如图,∠ACB=πBC=3,过动点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上且异于点B,连接AB,沿AD
4
将△ABD折起,使∠BDC=π.(如下图所示)
2
(Ⅰ)当BD的长为多少时,三棱锥A-BCD的体积最大;
(Ⅱ)当三棱锥A-BCD的体积最大时,设点E,M分别为棱BC,AC的中点,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求EN与平面BMN所成角的大小.
20.(本小题满分12分)
1
在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:
x2=4y,直线l与抛物线C交于A,B两点.
(Ⅰ)若直线OA,OB的斜率之积为-1,证明:
直线l过定点;
4
(Ⅱ)若线段AB的中点M在曲线C2
:
y=4-1x2(-24
第5页共6页
2)上,求AB的最大值. 21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=aex+x2-bx(a,b∈R,e=2.71828⋅⋅⋅是自然对数底数),其导函数为y=f'(x) (Ⅰ)设b=0,若函数f(x)在R上有且只有一个零点,求a的取值范围; (Ⅱ)设b=2,且a≠0,点(m,n)(m,n∈R)是曲线y=f(x)上的一个定点,是否存在实数x0 (x≠m),使f(x)=f'(x0+m)(x -m)+n得成立? 证明你的结论. 0020 (二)选考题(共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做第一题计分) 22.(本小题满分12分)选修4—4: 坐标系于参数方程 ⎧ ⎪⎪x=1+ 在平面直角坐标系中xOy,已知直线的参数方程为⎨ ⎪ ⎪y=2+ ⎩ 2t 2(t为参数),以原点为极点,x轴的 2t 2 正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ(ρ-4cosθ-2sinθ)=-m,且直l线与圆C相交于不同的A,B两点. (Ⅰ)求线段AB垂直平分线l'的极坐标方程; (Ⅱ)若m=1,求过点N(4,4)与圆C相切的切线方程. 23.(本小题满分12分)选修4—5: 不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|. (Ⅰ)求不等式的f(x)<|2x+1|-1解集A; (Ⅱ)证明: 对于任意的a,b∈A,都有f(ab)>f(a)-f(-b)成立. 第6页共6页 参考答案 1.C【解析】由题意知CUA={0,4},所以(CUA)B={0,2,4},故选C. ππ iππi 2.A【解析】由题意知e3=cos+isin,所以e3表示的复数的模为 =1,故选A. 33 3.C【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N(μ,7),所以D(ξ)=7.又P(ξ<2)=P(ξ>4),所以由正态 分布曲线的对称性得,μ=4+2=3,故选C. 2 π 4.C【解析】cos(-x)= 2(sinx+cosx)=3,即sinx+cosx=3 2,同时平方得1+sin2x=18,即 sin2x=-7 25 425525 ,故选C. 5.D【解析】A项,∀x>0,lg(x2+1)>lgx⇔x2+1>x,∀x>0⇔x2-x+1=(x-1)2>0,∀x>0, 4442 当x=1时不等式不成立,故A项错误. 2 B项,因为x2+1≥1,所以 1 x2+1 <1,故B项错误. C项,由于sinx可正可负,当为负值时,sinx+ 1 sinx ≥2不成立,故C项错误. D项,利用均值不等式即有x2+1=|x|2+1≥2|x|(x∈R) ,故D项正确. 6.A【解析】当x∈(-π,-π时,x<0,cosx<0,则xcosx>0; 2 当x∈(-π0)时,x<0,cosx>0,则xcosx<0; 2 ,) 当x∈(0π时,x>0,cosx>0,则xcosx>0; 2 当x∈ππ)时,x>0,cosx<0,则xcosx<0.故选A. (, 2 7.B【解析】根据题意以点A为原点,AD为x轴正方向,AB为y轴正方向,AA1为z轴正方向,建立 如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,1),D1(1,0,1),B1(0,1,1),设E(x,y,0),则A1E=(x,y,-1),D1B1=(-1,1,0),则(CE-CA1)⋅D1B1=A1E⋅D1B1=-x+y,因为0≤x≤1,0≤y≤1,所以-1≤-x+y≤1,即-1≤(CE-CA1)⋅D1B1≤1,故 选B. 8.C【解析】由题意得f(x)= 3cosωx-sinωx=2cos(ωx+π,且函数f(x+2π=2cos[ω(x+2π+π )))] 6336 第1页共11页 =2cos(ωx+2ωπ+π是偶函数,则有2ωπ+π=kπ,k∈Z,即ω=3(k-1),k∈Z,又ω>0,所以ω 363626 的最小值是3(1-1)=5,故选C. 264 9. 1 A【解析】由题意,根据a1=1,an+1+an=(-1)n⋅2n,得a + a2 =S2 =-2,an+1+an=Sn+1-Sn-1=(-2)n, 102 所以利用递推法得S10-S8=(-2)9,S8-S6=(-2)7,S6-S4=(-2)5,S4-S2=(-2)3;累加得S-S =(-2)3[1-(-2)8]1-(-2)2 =-680,因为S2=-2,所以S10=-682,故选A. 10. B【解析】由题意,双曲线右焦点F2( 5,0),渐近线为y=±1x,若直线斜率不存在,则直线与双曲 2 线交点距离AB=1,不满足题意,故直线斜率存在.若直线斜率为零,则AB=2a=4,满足题意;若直 线斜率不为零,设x=my+ ,代入双曲线方程,得(m2-4)y2+2 5my+1=0;当m =±2时, 仅一个交点,不符题意;当m≠±2时,y+y =-2 5m,yy=1 ,则AB= y-y 12m2-4 12m2-412 ==4(1+m2) |m2-4| =4,即1+m2 =m2 -4或1+m2 =4-m2 ,解得m=±,即 2 两条直线符合要求.综上,共三条直线符合要求,故选B. 11.B【解析】由g(x)=1x3-1x2+3x-5 ,得g'(x)=x2-x+3,g''(x)=2x-1,令g''(x)=2x-1=0, 3212 得x=1,而 2 g (1)2 =1,所以函数的“拐点”即对称中心为(1,1),可得g(x)+g(1-x)=2,则设 2 g(1 )+g( 2)+⋅⋅⋅+g(2018)=m g(2018)+g(2017)+⋅⋅⋅+g(1 )=m两式相加得2⨯2018=2m, 2019 2019 2019 2019 2019 2019 则m=2018,g( 1 2019 )+g( 2 2019 )+⋅⋅⋅+g(2018)=2018,故选B. 2019 12.A【解析】由题意E(4,0),F(1,0),故EF中点为5 ,设A(x,y),B(x,y),则C(4,y). (,0) 2 11222 ①先证明充分性: 若BC∥x轴: 则B、C均不在x轴上,所以点A也不在x轴上,考虑到椭圆的对称性, 此时设y1>y2 ,可设直线方程为x-1=my,代入椭圆方程可得(3m2+4)y2+6my-9=0,解得 y1= 3m2+4 ,y2= 3m2+4 ,则y1-y2= 3m2+4 ,而x1-4=my1+1-4=my1-3≠0, 则直线的解析式可表示为 y=y1-y2(x-4)+y.当y=0时,y1-y2(x-4)=y,即 my1-3my1-3 第2页共11页 99m (y1-y2)(x-4)=-y2(my1-3),由根与系数的关系y1y2=-2,则-my1y2+3y2=2+ 3m2+4 = 3m2+4 -y(my-3) ,故x-4=21= y1-y2 =-3 2 ,解得x= 5,故直线经过点(5 22 0),即 BC∥x轴时,直线AC过线段EF中点。 ②再证明必要性: 当直线AC与x轴重合时: C(4,0),此时直线AC与x轴重合,则直线AC必经过点 (5,0) 2 ,但此时BC与x轴重合,并不满足BC∥x轴,即直线AC过线段EF中点时,BC∥x轴不一定 成立.综上所述,“BC∥x轴”是“直线AC过线段EF中点”的充分不必要条件,故选A. 13. [3π 4 π)【解析】因为y=x ,所以y'= - 4ex x2 - 4,因为ex+ 1 1≥2 =2,当 e+1 (e+1) ex++2e ex 且仅当ex=1 ex 时等号成立,所以-1≤y'<0,设曲线C在P处切线的倾斜角为α,则tanα∈[-1,0),所 以α的取值范围是[3π,π). 4 14. 3 36【解析】将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列,共有A3=6种排法,排好后共有四个空,再将《ft居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排), 有A2=6种排法,则后六场的排法有A3A2=6⨯6=36种. 333 15.[2π,4π]【解析】令△BCD的中心为O1,球O的半径为R,连接O1D,OD,O1E,OE, 可求得OD=3sin60。 ⨯2= ,则AO= =3,在Rt△OOD中, 1311 1 由勾股定理得R2=3+(3-R)2,解得R=2,由BD=3BE,知OE∥BC, DE=2DB=2,所以OE= =1,所以OE==, 31 当截面与OE垂直时,截面的面积最小,此时截面圆的半径r==, 此时截面面积为2π;当截面过球心时,截面圆的面积最大,此时截面圆的面积为4π. 16. ①③【解析】①由正弦定理: sinA=sinB,则当sinA=cosB时,sinB=cosB,由于B为三角形 abab 内角,则B=π.故①正确。 4 ②由题意B=πb=2,c= ,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,代入相关数值得c2- 6c+3-4=0, , 4 即c2- 6c-1=0,由于c是三角形的一条边,则c>0,而方程两根之积为-1<0,则方程c2- 6c-1=0 第3页共11页 仅有一正解,故满足条件的三角形只有一个,②错误. ③设三角形的外接圆半径为R,则a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,由题意2b=a+c, sin2B=sinAsinC,则⎧2sinB=sinA+sinC,得(2sinB)2-4sin2B=(sinA+sinC)2-4sinAsinC ⎨ ⎩sin2 B=sinAsinC =(sinA-sinC)2=0,则sinA=sinC,由于A+C<π,则A=C,得sin2B=sinAsinC=sin2A,而 sinB>0,则sinB=sinA,同理A=B,则A=B=C,则为正三角形,③正确. ④a=5,c=2,△ABC的面积S =4,由S =1acsinB有1⨯5⨯2sinB=4,得sinB=4,则 cosB=±3,故④错误. 5 综上所述,正确的是①③. △ABC △ABC225 17. n 解(Ⅰ)因为4Sn=a2+4n,所以4S n-1 2 =a n-1 +4(n-1)(n≥2),.................................1分 当n=1时,4S1=a1=a2+4,得a =2,
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