小学奥数难题汇编50道精选二1120.docx
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小学奥数难题汇编50道精选二1120
小学奥数难题汇编50道精选
(二)(11-20)
11.特殊值
有些数学题,按一般思路不易求解,若从给出的特殊值入手,紧扣条件和问题之间的联系,将会优化解题思路,很快找到解题捷径。
例1如图,梯形ABCD被它的一条对角线BD分为两部分,S△DBC比S△ABD大10cm2。
BC与AD的和为5cm,差为5cm,求S梯?
一般是借助“辅助线”解。
其实只要仔细分析题意,利用给出的特殊条件可简捷求解。
底,它们等高,由BC=2AD,知△BDC=2△ABD。
所以
S梯=10×(2+1)=30(cm2)。
例2设直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米,用四个这样的直角三角形拼成如图所示正方形,求大正方形的边长。
此题用勾股定理求解
=10。
通过观察可以发现,大正方形和阴影部分小正方形的面积是条件和问题的联系纽带。
小正方形的边长为直角三角形两条直角边之差8-6=2(cm),大正方形面积为四个直角三角形的面积和小正方形面积的和。
1/2×8×6×4+(8-6)2=100(cm2)。
这个面积是一个特殊值100=10×10,所以大正方形的边长为10cm。
例3四个一样的长方形和一个小的正方形拼成了一个大正方形(如图)大正方形的面积是49平方米,小正方形面积是4平方米。
问长方形的短边长度是几米?
(第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛题)
因为4=2×2,49=7×7,所以小正方形边长2cm,大正方形边长7cm。
长方形长宽之和为7cm,差为2cm,即
从而可求得,宽为2.5cm。
例41992年奥林匹克决赛题:
一个正方形(如图),被分成四个长方形,他们的面积分别是
图中阴影部分是一个正方形,那么它的面积是多少平方米。
大正方形边长为1米。
仔细观察还可发现小正方形的边长与长方形Ⅰ、Ⅲ的长和宽有关。
只要求出Ⅲ的长和Ⅰ的宽即可求得小正方形的边长了。
12.特殊结论
有些题目按照一般的思考方法解答,或者较麻烦,或者不能获得正确答案。
用特殊结论解题,思路清楚,方法简便。
例1周长为28cm的长方形,如果长和宽都增加1cm,这个长方形的面积增加多少?
增加部分的面积=(半周长+增加数)×增加数。
分析示意图,不难发现。
(28÷2+1)×1=15(cm2)
例2周长为28cm的长方形,长增加1cm,宽增加2cm,面积增加24cm2,求原长方形的面积。
思路一:
假设长和宽都增加1cm,根据以上结论,这个长方形的面积增加:
(28÷2+1)×1=15(cm2),因实际宽比假设多增加1cm,而面积多增加24-15=9(cm2)如图,所以原长方形的长为9÷1-1=8(cm)。
宽为28÷2-8=6(cm)。
面积是8×6=48(cm2)
思路二:
假设长和宽都增加2cm,根据以上结论,面积增加:
与题给条件24cm2相差8cm2这是因为长没增加2cm,只增加1cm,假设比实际多的部分的面积如图中阴影部分的面积。
所以,原长方形的宽为8÷1-2=26(cm),长为28÷2-6=8(cm)。
面积为8×6=48(cm2)
例3如图,已知S阴影=6.28cm2,求空白部分的圆面积。
S圆=6.28×2
=12.56(cm2)根据:
结论——任意一个圆心角为90°的扇形面积,等于以这个扇形的半径为直径的圆的面积。
证明:
设有一圆心角为90°,半径为R的扇形。
则它的面积为
直径为R的圆的面积为
结论,得证。
13.特殊数题1
(1)21-12
当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时,其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
因为这样的两位数减法,最低起点是21-12,差为9,即(2-1)×9。
减数增加1,其差也就相应地增加了一个9,故31-13=(3-1)×9=18。
减数从12—89,都可类推。
被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……,常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数,其差不变。
如
210-120=(2-1)×90=90,
0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。
(2)31×51
个位数字都是1,十位数字的和小于10的两位数相乘,其积的前两位是十位数字的积,后两位是十位数字的和同1连在一起的数。
若十位数字的和满10,进1。
如
证明:
(10a+1)(10b+1)
=100ab+10a+10b+1
=100ab+10(a+b)+1
(3)26×8642×62
个位数字相同,十位数字和是10的两位数相乘,十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数,后两位是个位数的积。
若个位数的积是一位数,前面补0。
证明:
(10a+c)(10b+c)
=100ab+10c(a+b)+cc
=100(ab+c)+cc(a+b=10)。
(4)17×19
十几乘以十几,任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10,加个位数的积。
原式=(17+9)×10+7×9=323
证明:
(10+a)(10+b)
=100+10a+10b+ab
=[(10+a)+b]×10+ab。
(5)63×69
十位数字相同,个位数字不同的两位数相乘,用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字,再乘以10,加个位数的积。
原式=(63+9)×6×10+3×9
=72×60+27=4347。
证明:
(10a+c)(10a+d)
=100aa+10ac+10ad+cd
=10a[(10a+c)+d]+cd。
(6)83×87
十位数字相同,个位数字的和为10,用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数,后两位是个位数的积。
如
证明:
(10a+c)(10a+d)
=100aa+10a(c+d)+cd
=100a(a+1)+cd(c+d=10)。
(7)38×22
十位数字的差是1,个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘,积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
原式=(30+8)×(30-8)
=302-82=836。
(8)88×37
被乘数首尾相同,乘数首尾的和是10的两位数相乘,乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字,是积的前两位数,后两位是个位数的积。
(9)36×15
乘数是15的两位数相乘。
被乘数是偶数时,积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时,积为被乘数加上它本身减去1后的一半,和的后面添个5。
(10)125×101
三位数乘以101,积为被乘数与它的百位数字的和,接写它的后两位数。
125+1=126。
原式=12625。
再如348×101,因为348+3=351,
原式=35148。
(11)84×49
一个数乘以49,把这个数乘以100,除以2,再减去这个数。
原式=8400÷2-84
=4200-84=4116。
14.特殊数题2
(12)85×99
两位数乘以9、99、999、…。
在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
原式=8500-85=8415
不难看出这类题的积:
最高位上的两位数(或一位数),是被乘数与1的差;
最低位上的两位数,是100与被乘数的差;
中间数字是9,其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明:
设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0),则
如果被乘数的个位数是1,例如
31×999
在999前面添30为30999,再减去30,结果为30969。
71×9999=709999-70=709929。
这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式,由9组成的自然数可表示为(10n-1)的形式,其积为
(13)1÷19
这是一道颇为繁复的计算题。
原式=0.052631578947368421。
根据“如果被除数不变,除数扩大(或缩小)若干倍,商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质,可很方便算出结果。
原式转化为0.1÷1.9,把1.9看作2,计算程序:
(1)先用0.1÷2=0.05。
(2)把商向右移动一位,写到被除数里,继续除
如此除到循环为止。
仔细分析这个算式:
加号前面的0.05是0.1÷2的商,后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1=0.005,就是把商向右移动一位写到被除数里,除以1.9。
这样我们又可把除数看作2继续除,依此类推。
除数末位是9,都可用此法计算。
例如1÷29,用0.1÷3计算。
1÷399,用0.1÷40计算。
15.顺推
例1永明在去农安时速45千米的客车上发现第一块里程碑上的数是AB;过了1小时见第二块里程碑上的数是BA;又过了1小时,见第三块里程碑上的数是A0B。
经研究很快明白了,这三块里程碑上的数分别是16、61、106。
试说明算理?
思路一BA与AB的差,只能是两位数或一位数。
车匀速前进,B必大于A。
A0B与BA的差必等于BA与AB的差,不会是三位数。
A只能是1,若是2以上的数,则A0B与BA的差肯定是三位数了。
由下表知:
思路二:
由速度一定知BA-AB=A0B-BA。
写成十进数,化简
(10B+A)-(10A+B)=(100A+B)-(10B+A)
10B+A-10A-B=100A+B-10B-A
9B-9A=99A-9B
B=6A
B是一位数,且只能是一位数。
故A=1,B=6。
A和B的数字确定了,其它随之出现。
例2美国小学数学奥林匹克(1982~1983)第二次2题:
1个面包和6个鸡蛋价值1.80元,同样价格下,2个面包和4个鸡蛋价值2.40元。
问1个面包多少钱。
由2个面包和4个鸡蛋价值2.40元,可知,1个面包和2个鸡蛋价值2.40÷2=1.20(元)。
又由1个面包和6个鸡蛋价值1.80元,知4个鸡蛋价值1.80-1.20=0.60(元)。
所以1个面包价值(2.40-0.60)÷2=0.90(元)。
16.数字的双重作用
例美国小学数学奥林匹克,第一次(1980年11月)题2:
时钟1点钟敲1下,2点钟敲2下,3点钟敲3下,依次类推。
从1点至12点这12小时共敲了()下。
由“首尾之和”知
例2第二次(1980年12月)2题:
如果全体自然数如下表排列,数到1000应在哪个字母的下面。
()
ABCDEFG
1234567
891011121314
151617………………
…………………………
1、2、3、4、5、6既是列的序数,又是对应列以下各数除以7的余数;而7既是列的序数,本列除以7余数为0。
1000÷7=142余6
所以1000与6位于同一列,即在字母F的下面。
17.竖式填空之巧填除法例题1
奥数难题:
竖式填空之巧填除法例题1
例1一个三位数,其十位数字是0,且能被一个一位数整除;如果被另一个一位数除则余3。
请填上所有适合的情况。
根据所有条件,全面分析,有序思考:
式
(1)中,由除数与商的首位数之积是一个数字,知被除数的百位数字为1;
式
(2)中,由余数是3,且除数与商的末位数的积是一位数和“余数必小于除数”,知除数只能为4、5、6,被除数的前两位数为10,除数只能为5,被除数的末位数字为8,这个数为108;
因为108能被2、3、4、6、9整除,但除数为2不符合式
(1)的书写形式。
答案为:
18.竖式填空之巧填除法例题2
例2
由第一乘积和第一余数,知除数是35;商的十位数字可能是6或4。
商是62不合题意,则除数是35,商为42。
例3下式可整除,请在□中填进适当的数。
对比联想,逆向思考——转除为乘。
显然,A位只能为7。
B=5,是一定的。
C只能是2,到此整个算式解开。
19.竖式填空之巧填除法例题3
例4第五册数学思考题:
首尾观察:
观察式
(1),知商的百位上是6;再观察式
(2),知商的个位上是2。
则被除数为4816。
例5美国小学数学奥林匹克,第四次(1981年2月)题5:
在右边的除法算式中,方格表示擦掉的数字,A和B表示商的数字。
求A和B的值。
ABAB
由B×5□=432,知B=8;进而知A×54=□6□,A=3。
20.竖式填空之巧填乘法例题1
奥数难题:
竖式填空之巧填减法例题1
例1式中的字母各代表什么数。
M不能大于3,如果是4、则4×4=16。
也不能小于3,如果是2,则2×2=4,都不符合积的要求。
M=3。
3×N=21,N=7;P=0。
即
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