第七讲等腰三角形.docx
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第七讲等腰三角形
第七讲等腰三角形
一.知识回顾
1等腰三角形的性质2等腰三角形的判定
二.讲解与练习
1.如图,∠BAC=θ(0°<θ<90°),现只用4根等长的小棒将∠BAC固定,从点A1开始依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1,则角θ的取值范围是 .
2.已知等腰三角形的一个内角是80°,则它的底角是 °.
3.已知等腰△ABC的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围是 .
4.如图,△ABC的周长为32,且AB=AC,AD⊥BC于D,△ACD的周长为24,那么AD的长为 .
5.如图,在直角坐标系中,O是原点,已知A(4,3),P是坐标轴上的一点,若以O,A,P三点组成的三角形为等腰三角形,则满足条件的点P共有 个,写出其中一个点P的坐标是 .
6.如图,在平面直角坐标系xoy中,分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A(3,4).连接OA,若在直线a上存在点P,使△AOP是等腰三角形.那么所有满足条件的点P的坐标是 .
56
7.已知A(1,5),B(3,﹣1)两点,在x轴上取一点M,使AM﹣BM取得最大值时,则M的坐标为 .
8.如图,在直角坐标系中,A(﹣3,﹣1),B(﹣1,﹣3),若D是x轴上一动点,C是y轴上的一个动点,则四边形ABCD的周长的最小值是 .
9
9.如图,已知:
在△ABC中,D、E是BC上的两点,且AD=BD,AE=CE,∠ADE=82°,∠AED=48°,则∠BAC= .
10.如图,△ABC中,AE为中线,AD为高,∠BAD=∠EAD.若BC=10cm,则DC= .
1011
11.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,∠ABC的平分线BE交AD于点F,AG平分∠DAC.给出下列结论:
①∠BAD=∠C;②AE=AF;③∠EBC=∠C;④FG∥AC;⑤EF=FG.其中正确的结论是 .
12.如图,已知S△ABC=8m2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则S△ADC= m2.
1214
13.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,DE∥AB交直线AC于点E.若AC=6,DE=4,则DF= .
14.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BD于点D,DE∥AC交AB于点E,若AB=8,则DE= .
15.如图,在△ABC中,AB=AC=a,BC=b,且2a>b,BG⊥AC于G,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)在图
(1)中,D是BC边上的中点,判断DE+DF与BG的关系.
(2)在图
(2)中,D是线段BC上的任意一点,DE+DF与BG的关系是否仍然成立?
如果成立,证明你的结论;如果不成立,请说明理由.
(3)在图(3)中,D是线段BC延长线上的点,探究DE、DF与BG的关系.(不要求证明)
16.如图,△ABC中AB=AC=5,BC=6,点P从点B出发沿射线BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①,当点P为AB的中点时,求CD的长;
(2)如图②,过点P作直线BC的垂线垂足为E,当点P、Q在移动的过程中,线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?
请说明理由.
17.数学课上,同学们探究下面命题的正确性:
顶角为36°的等腰三角形具有一种特性,即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形.为此,请你解答问题
(1).
(1)已知:
如图①,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,直线BD平分∠ABC交AC于点D.求证:
△ABD与△DBC都是等腰三角形;
(2)在证明了该命题后,小乔发现:
下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性.请你在图②、图③中分别画出一条直线,把它们分成两个小等腰三角形,并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数;
(3)接着,小乔又发现:
其它一些非等腰三角形也具有这样的特性,即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形.请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图,并在图中标出可能的各内角的度数.(说明:
要求画出的两个三角形不相似,且不是等腰三角形.)
(4)请你写出两个符合(3)中一般规律的非等腰三角形的特征.
18.如图1,Rt△ABC中AB=AC,点D、E是线段AC上两动点,且AD=EC,AM垂直BD,垂足为M,AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断△DEF的形状,并加以证明.
说明:
(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);
(2)在你经历说明
(1)的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件,完成你的证明.
1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长,然后顺时针旋转90°后图形;
2、点K在线段BD上,且四边形AKNC为等腰梯形(AC∥KN,如图2).
附加题:
如图3,若点D、E是直线AC上两动点,其他条件不变,试判断△DEF的形状,并说明理由.
19.如图,在△ABC中,∠ACB=3∠B,∠1=∠2,CD⊥AD于D,求证:
AB﹣AC=2CD.
20.如图,△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点D在线段BC上运动(点D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E,在D的运动过程中,△ADE可以是等腰三角形吗?
如果可以,请算出∠BDA的度数.
三.作业
1.从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发,能将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的底角等于 度.
2.在直角坐标系中,O为坐标原点,已知A(1,1),在x轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P的个数共有 个,点P的坐标分别为 .
3.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是 .
①∠BAD=∠ACD;②∠BAD=∠CAD;③AB+BD=AC+CD;④AB﹣BD=AC﹣CD.
4.如图:
点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,若∠AOB=45°,OP=
,则△PMN的周长的最小值为 .
5.如图,∠BAC=100°,∠B=40°,∠D=20°,AB=3,则CD= .
56
6.如图,在△ABC中,∠BAC=135°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,那么∠C= °.
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的度数为 .
8.
(1)已知△ABC中,∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来.只需画图,不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数)
(2)已知△ABC中,∠C是其最小的内角,过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求∠ABC与∠C之间的关系.
9.操作发现
将一副直角三角板如图
(1)摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.
问题解决
将图1中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在BF上.AC与BD交于点O,连接CD,如图2.
(1)若DF=4,求BF的长;
(2)求证:
△CDO是等腰三角形.
10.在△ABC中,AD平分∠BAC,且AB=AD,过点C作CM⊥AD交AD延长线于M.
(1)若AC=BC,求∠B的度数并探究AB+AC与AM的数量关系,并证明;
(2)若AC≠BC,则
(1)中AB+AC与AM的数量关系还会成立吗?
请说明理由.
第七讲等腰三角形
参考答案与试题解析
1.解:
∵A1A2=AA1∴θ1=∠A2A1A3=2θ,∴θ2=∠A2A4A3=θ+2θ=3θ,∴θ3=∠A2A4A3+θ=4θ,由题意得:
,∴18°≤θ<22.5°.
2.50或80.3.
<x<5. 4 8 .5. 8 ,(5,0).
6.(8,4)或(﹣3,4)或(﹣2,4)或(﹣
,4) .
7.(3.5,0) .8.6
.9.115° .10. 7.5cm .11. ①②④ .
12. 4 m2.
13.解:
分为三种情况:
(1)如图①∵DF∥AC,DE∥AB,∴四边形AFDE是平行四边形.∴AF=DE=4,
∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C,又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠FDB=∠B,
∴DF=BF=6﹣4=2;
(2)图②中:
AF=DE=4,BF=DF=6+4=10;
(3)如图③中,DE=AF=4,而AB=AC=6,即此时不符合题意;故答案为:
2或10.
14. 4 .解:
∠ABD=∠BDE,∴DE=BE,∴DE=
AB,∵AB=8,∴DE=
×8=4.
15.
【解答】解:
(1)∴DE+DF=BG.
(2)延长FD,使FM=BG,∵DF⊥AC,BG⊥AC,
∴四边形BMFG是矩形,∴BG=MF,∵∠EDB+∠ABD=90°,∠FDC+∠C=90°,∠ABC=∠C,∴∠EDB=∠FDC,∵∠FDC=∠BDM,∴∠EDB=∠BDM.∵∠BED=∠BMD,BD=BD,∴△EBD≌△MBD,∴ED=MD.∴BG=DE+DF.
(3)BG=DE﹣DF.
16.解:
(1)如图,过P点作PF∥AC交BC于F,∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ,∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠CQD,又∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PFB,∴BP=PF,∴PF=CQ,又∠PDF=∠QDC,
∴证得△PFD≌△QCD,∴DF=CD=
CF,又因P是AB的中点,PF∥AQ,
∴F是BC的中点,即FC=
BC=3,∴CD=
CF=
;
(2)分两种情况讨论,得ED为定值,是不变的线段如图,如果点P在线段AB上,过点P作PF∥AC交BC于F,∵△PBF为等腰三角形,∴PB=PF,BE=EF,∴PF=CQ,∴FD=DC,∴ED=
,
∴ED为定值,同理,如图,若P在BA的延长线上,
作PM∥AC的延长线于M,∴∠PMC=∠ACB,
又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PMC,
∴PM=PB,根据三线合一得BE=EM,同理可得△PMD≌△QCD,所以CD=DM,
,
综上所述,线段ED的长度保持不变.
17.
(1)证明:
在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵∠A=36°,∴∠ABC=∠C=
(180°﹣∠A)=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2=36°∴∠3=∠1+∠A=72°,∴∠1=∠A,∠3=∠C,∴AD=BD,BD=BC,∴△ABD与△BDC都是等腰三角形.
(2)解:
如下图所示:
(3)解:
如图所示:
(4)解:
特征一:
直角三角形(直角边不等);
特征二:
2倍内角关系,在△ABC中,∠A=2∠B,0°<∠B<45°,其中,∠B≠30°;
18.解:
△DEF是等腰三角形证明:
如图,过点C作CP⊥AC,交AN延长线于点P
∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90°,∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB,∠BAD=∠ACP
∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°∴∠ABD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP,∠ADB=∠P∵AD=CE∴CE=CP∵CN=CN∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠CEN
∴∠CEN=∠ADB∴∠FDE=∠FED∴△DEF是等腰三角形.
附加题:
△DEF为等腰三角形
证明:
过点C作CP⊥AC,交AM的延长线于点P∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAC=90°,∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB=∠ECN∵AM⊥BD∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°
∴∠ABD=∠CAP∴△BAD≌△ACP∴AD=CP,∠D=∠P∵AD=EC,CE=CP又∵CN=CN
∴△CPN≌△CEN∴∠P=∠E∴∠D=∠E∴△DEF为等腰三角形.
19.证明:
延长CD交AB于E,∵∠1=∠2,∠ADE=∠ADC,∴∠AED=∠ACD,∴AE=AC,∴ED=CD,∴EB=EC,∵∠ACD=∠ACB﹣∠ECB=3∠B﹣∠ECB,
∠AED=∠B+∠ECB,∴3∠B﹣∠ECB=∠B+∠ECB,∴∠B=∠ECB,
∴EB=EC,∵EB=AB﹣AE=AB﹣AC,EC=2CD,∴AB﹣AC=2CD.
20.解:
△ADE可以是等腰三角形,∵△ADE是等腰三角形;①当AD=DE时,
∵∠ADE=40°,∴∠DAE=∠DEA=70°,∴∠BDA=∠C+∠DAC=110°,②当DE=AE时,∵∠ADE=40°,∴∠DAE=∠ADE=40°,∴∠BDA=∠DAC+∠C=80°.
【作业】
1.72或
度.2. 4 个,点P的坐标分别为 (2,0),(1,0),(
,0),(﹣
,0) .
3. ②③④ .解:
应添加的条件是②③④;证明:
②当∠BAD=∠CAD时,
∵AD是∠BAC的平分线,且AD是BC边上的高;则△ABD≌△ACD,
∴△BAC是等腰三角形;
③延长DB至E,使BE=AB;延长DC至F,使CF=AC;连接AE、AF;
∵AB+BD=CD+AC,∴DE=DF,又AD⊥BC;∴△AEF是等腰三角形;
∴∠E=∠F;∵AB=BE,∴∠ABC=2∠E;同理,得∠ACB=2∠F;
∴∠ABC=∠ACB,即AB=AC,△ABC是等腰三角形;
④△ABC中,AD⊥BC,根据勾股定理,得:
AB2﹣BD2=AC2﹣CD2,
即(AB+BD)(AB﹣BD)=(AC+CD)(AC﹣CD);∵AB﹣BD=AC﹣CD①,
∴AB+BD=AC+CD②;∴①+②得:
,2AB=2AC;
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形
故答案为:
②③④.
4. 6 .5. 3 .
解:
∵∠BAC=100°,∠B=40°,
∴∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC=40°,
∴∠ACB=∠B,∴AC=AB=3,
∵∠D=30°,∴∠DAC=∠ACB﹣∠D=30°,
∴∠DAC=∠D,∴CD=AC=3.故答案为:
3.
6.解:
在DC上截取DE=BD,连接AE,∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90°,∵AD=AD,∴△ADB≌△ADE,∴∠B=∠AED,AE=AB,∵AB+BD=DC,DE+EC=DC,∴AE=AB=EC,∴∠AEB=2∠EAC=2∠C,∴∠B=2∠C,
∵∠BAC=135°,∠B+∠C+∠BAC=180°,∴3∠C=45°,
∴∠C=15°.故答案为:
15.
7. 63°或27° .
8.解:
(1)如图(共有2种不同的分割法).
(2)设∠ABC=y,∠C=x,过点B的直线交边AC于D.在△DBC中,
①若∠C是顶角,如图1,则∠CBD=∠CDB=90°﹣
x,∠A=180°﹣x﹣y.
而∠ADB>90°,此时只能有∠A=∠ABD,即180°﹣x﹣y=y﹣(90°﹣
x)
即3x+4y=540°,即∠ABC=135°﹣
∠C;
②若∠C是底角,
第一种情况:
如图2,当DB=DC时,则∠DBC=x,△ABD中,∠ADB=2x,∠ABD=y﹣x.
由AB=AD,得2x=y﹣x,此时有y=3x,即∠ABC=3∠C.
由AB=BD,得180°﹣x﹣y=2x,此时3x+y=180°,即∠ABC=180°﹣3∠C.
由AD=BD,得180°﹣x﹣y=y﹣x,此时y=90°,即∠ABC=90°,∠C为小于45°的任意锐角.
第二种情况,如图3,当BD=BC时,∠BDC=x,∠ADB=180°﹣x>90°,此时只能有AD=BD,
从而∠A=∠ABD=
∠C<∠C,这与题设∠C是最小角矛盾.
∴当∠C是底角时,BD=BC不成立.
综上,∠ABC与∠C之间的关系是:
∠ABC=135°﹣
∠C或∠ABC=180°﹣3∠C或∠ABC=3∠C或∠ABC=90°,∠C是小于45°的任意角
9.解:
(1)∵在Rt△DEF中,∠DEF=30°,∠EDF=90°,DF=4,
∴BF=8.
(2)∵在△BDC中,BC=DE,∴∠BDC=∠BCD.∵∠DEF=30°,
∴∠BDC=∠BCD=75°,∵∠ACB=45°,∴∠DOC=30°+45°=75°.∴∠DOC=∠BDC,
∴△CDO是等腰三角形.
10.解:
(1)∵AB=BC,∴∠B=∠BAC,∵AB=AD,∴∠B=∠ADB,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=
∠BAC=
ADC,∵∠ADC=∠DAC+∠ACD,∴∠DAC=∠ACD,
∴∠B=∠BAC=2∠ACB,∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°,∴∠B=∠ACB=72°,
如图1,延长AM至N,使DM=MN,连接CN,∵CM⊥AD,DM=MN,
∴CN=CD,∴∠CDN=∠DNC,∴∠DNC=∠ADB,∵AD=AB,∴∠B=∠ADB,∴∠B=∠ANC,∵∠BAD=∠CAD,∴∠ADB=∠ACN,∴∠ANC=∠ACN,
∴AN=AC,∴AB+AC=AD+AN=AD+AM+MN=AD+AM+DM=2AM,
∴AM=
(AB+AC).
(2)AM=
(AB+AC),
理由:
如图2,延长AM至N,使DM=MN,连接CN,
∵CM⊥AD,DM=MN,
∴CN=CD,
∴∠CDN=∠DNC,
∴∠DNC=∠ADB,
∵AD=AB,
∴∠B=∠ADB,
∴∠B=∠ANC,
∵∠BAD=∠CAD,
∴∠ADB=∠ACN,
∴∠ANC=∠ACN,
∴AN=AC,
∴AB+AC=AD+AN=AD+AM+MN=AD+AM+DM=2AM,
∴AM=
(AB+AC).
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