高三全真模拟数学试题2 含答案.docx

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高三全真模拟数学试题2含答案

2021年高三全真模拟数学试题2含答案

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1．复数（为虚数单位）的模为▲．

【答案】

2．已知向量，，则▲．

【答案】4

3．在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是▲．

【答案】

4．下表是某同学五次数学附加题测试的得分，则该组数据的方差▲．

星期

一

二

三

四

五

件数

36

21

30

28

35

【答案】

5．命题：

“若，则”的否命题是“▲”．

【答案】若，则

6．将函数的图象向右至少平移▲个单位可得到函数的图象．

【答案】

7．若函数（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数的值为▲．

【答案】1

8．设是等差数列{an}的前项的和．若，，则a7的值为▲．

【答案】13

9．给出下列等式：

，

，

，

……

请从中归纳出第个等式：

▲．

【答案】

10．在锐角△中，若，，依次成等差数列，则的值为▲．

【答案】1

【解析】依题意，因为，所以

，所以；

11．在平面直角坐标系xOy中，若直线：

与圆：

相切，且圆心

在直线的上方，则的最大值为▲．

【答案】

【解析】易得，又圆心在直线的上方，所以，从而，因为

，所以（当且仅当，即，时等号成立，），从而

的最大值为．

12．已知，，则的值为▲．

【答案】

【解析】

．

13．已知实数x，y满足设，则z的取值范围是▲．

（表示a，b两数中的较大数）

【答案】

【解析】设，，则，易得，，

则z．

14．若幂函数（a）及其导函数在区间（0，）上的单调性一致（同为增函数或同

为减函数），则实数a的取值范围是▲．

【答案】

【解析】易得，，当时，，；当

时，，；当时，，；当时，，

；当时，，，综上得，．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤．

15．（本题满分14分）

在平面直角坐标系中，设向量m，n，其中A，B为

△ABC的两个内角．

（1）若，求证：

为直角；

（2）若，求证：

为锐角．

【解】

（1）易得

，（3分）

因为，所以0，即．

因为，且函数在内是单调减函数，

所以，即为直角；（6分）

（2）因为，所以，

即．（8分）

因为A，B是三角形内角，所以，

于是,因而A，B中恰有一个是钝角．（10分）

从而

，

所以，即证为锐角．（14分）

16．（本题满分14分）

如图，在四棱锥中，为二面角的平面角．

（1）求证：

平面平面；

（2）若平面，求证：

平面．

证明：

（1）因为为二面角的平面角，

所以，，（2分）

又，

平面，

所以平面，（5分）

又平面,

故平面平面；（7分）

（2）由

（1）得，平面，

又平面，

所以，（10分）

又平面，

平面，

所以平面．（14分）

17．（本题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：

与x轴的两个交点（点B在点A右侧），点，x轴

上方的动点P使直线PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差

数列．

（1）求证：

动点P的横坐标为定值；

（2）设直线PA，PB与圆O的另一个交点分别为S，T．

求证：

点Q，S，T三点共线．

【证】

（1）由题设知，．

设，则，．

因为kPA，kPQ，kPB成等差数列，

所以2kPQ=kPA＋kPB，即，

由于，所以，即证；（7分）

（2）由

（1）知，，．

直线PA的方程为，代入得，

于是点S的横坐标，从而．

同理可得．（11分）

因为，

，

所以直线QS和直线QT的斜率相等，

故点S，T，Q共线．（14分）

18．（本题满分16分）

如图，圆的半径为，为圆上的两个定点，且，为优弧的中点．

设（在左侧）为优弧（不含端点）上的两个不同的动点，且//．

记，四边形的面积为．

（1）求关于的函数关系；

（2）求的最大值及此时的大小．

解：

（1）设过圆心O作的垂线分别与，交于点E，F，

易得，，

①当时，如图1，

易得，，

所以

；（3分）

②当时，

；（5分）

③当时，如图2，

易得，，

所以

；

综上得，，；（9分）

（2）令，

因为，所以，从而，

故，（12分）

此时，，

所以当时，，此时．（16分）

19．（本题满分16分）

设数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求；

（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．

解：

（1）当n1时，，解得．（2分）

当n≥2时，

，即．

因为，所以，从而数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以．（5分）

（2）因为，所以，

故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，

从而，（7分）

，

所以．（10分）

（3）假设中存在三项成等差数列，不妨设第m，n，k（mnk）项成等差数列，

则，即．（12分）

因为mnk，且m，n，k，

所以n+1≤k．

因为

，

所以，故矛盾，

所以数列中不存在三项成等差数列．（16分）

20．（本题满分16分）

设定义R上在函数

（a，b，m，n为常数，且）

的图象不间断．

（1）求m，n的值；

（2）设a，b互为相反数，且是R上的单调函数，求a的取值范围；

（3）若a1，．试讨论函数的零点的个数，并说明理由．

解：

（1）依题意，，，

即

解得（3分）

（2）因为是减函数，且是R上的单调函数，

所以在中，应该有，故（5分）

在中，其中，

，导函数的对称轴为，

故，解得；（8分）

（3）易得函数，

则，

其判别式，

记的两根为，（），

列表：

+

0

-

0

+

↗

极大值

↘

极小值

↗

当b>0时，无解，无解，

又

方程在（0，4）上有两解，方程一共有两个解；（10分）

当时，有一解，有一解，

又，，

故方程在（0，4）上有两解，方程共有4个解；（12分）

当-1

又，，

方程在（0，4）内只有一解，方程共两解；（14分）

当b=0时，有x4和x两解，b-1时，有，，三个解，

综上得，当时，有2个零点；

当时，有3个零点；

当时，有4个零点．（16分）

试题Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若

多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．（几何证明选讲）

如图，已知△的两条内角平分线，交于点，且．

求证：

，，，四点共圆．

证明：

依题意得，

，（5分）

又，

所以，

故，，，四点共圆．（10分）

B．（矩阵与变换）

已知矩阵，满足，求矩阵．

解：

设，

由得（7分）

解得此时.（10分）

C．（极坐标与参数方程）

设点A为曲线C：

在极轴上方的一点，且，以A为直角顶点，AO

为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求点B的轨迹方程．

解：

设，且满足，，

依题意，即

代入并整理得，，，

所以点B的轨迹方程为，．（10分）

D．（不等式选讲）

已知正数，，，满足，求证：

．

证明：

因为，

又，，

所以．（10分）

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．

22．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p（0

均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是

．

（1）求p的值；

（2）设该运动员投篮命中次数为，求的概率分布及数学期望E（）．

解：

（1）设事件：

“恰用完3次投篮机会”，则其对立事件：

“前两次投篮均不中”，

依题意，，

解得；（3分）

（2）依题意，的所有可能值为0，1，2，3，

且，

，

，

故

，

的概率分布表为：

0

1

2

3

（8分）

E（）（次）．（10分）

23．设函数，，且，其中常数为区间（0，1）内的有理数．

（1）求的表达式（用和表示）；

（2）求证：

对任意的正整数，为有理数．

解：

（1）易得，

又，

所以，

解得，

从而；（4分）

（2）证明：

（10分）&341208548蕈c404559E07鸇n2170254C6哆1249126150慐316107B7A筺3473587AF螯2661467F6柶

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